6.4 数列求和(实战册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

O专题六数列 6.4数列求和 过去考什2 山东新高考全练 答案：P417 1.(2021新高考I卷，16,5分；考点)某校学生 2.(2025新课标I卷，16,15分；考点)设数列 在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会 沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm a.}满足a1-3,-n年十nD ×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到 (1)证明：{na.}为等差数列； 10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图 (2)设f(x)=a1x+a2x2++amxm,求f(-2) 形，它们的面积之和S=240dm,对折2次 共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm, 20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之 和S2=180dm,以此类推，则对折4次共可以 得到不同规格图形的种数为 ;如果 对折4次，那么名S= dm2. 将来考什么 山东模拟专练 m答案：P418 考点闯关) 考点数列求和 2.(2024山东菏泽一模)已知数列{am}的前n 1.(2025山东日照一模)已知数列{a.}为等差 项和为Sm,且Sn=2am一2(n∈N*). 数列，且满足a2m=2an十1(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式； (1)若a1=1,求数列 1一}的前n项 anan+l 2)若。=bgum1,6-6b求证：6+o 和Sn; (2)若数列{bn}满足2b1十b2=b1b2,且数列 {an·bn}的前n项和Tm=(3n一4)2m+1+8, 求数列{bn}的通项公式. 71 实战 实战高考·数学 3.(2024山东德州三模)设S,为数列{a,}的前 a,n为奇数， m项和，已知a=1,5=10,且{各}为等差 (2)若6n= 1 求{b.}的前2n ，n为偶数， 、aman+2 数列。 项和T (1)求{a.}的通项公式； 分层闯关 基础题组 3.(2024山东烟台二模)已知{a.}是公差不为 1.(2025山东青岛一模)设xn是关于x的方 0的等差数列，其前4项和为16，且a1,a2,a5 程x2十log+1x”=n2+3n的实数根.记an 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； [受]，其中[x]表示不超过x的最大整数， 2aa,n为奇数， 设数列{an}的前n项和为Sm,则S2o2s (2)设b.=1 求数列{bn}的 ,n为偶数， =() 、anan+2 A.10122 B.1012×1013 前2m项和T2m. C.10132 D.1013×1014 2.(2025山东济宁一模)已知数列{an}和 {bn}满足a1=1,nan+1=(n十1)an十1，b1+ b2+…+bm=2n-1. (1)求数列{an}和{b}的通项公式； (2)设数列会的前m项和为5，求证：S <6. 72 O专题六数列 能力题组 培优题组 4.创意题(2024山东滨州二模)已知等差数列 5.创意题(2024山东聊城二模)已知数列 {an}的前n项和为Sm,且a4=7,S5=25. {a},{bn}满足a2m-1=b2m-1十12m,a2m= (1)求{a}的通项公式； mb2m,m为常数，若{a.}为等差数列，且b4一 (2)保持数列{am}中各项先后顺序不变，在 b2=2(b3-b)=2(a1+b1)=8. a与ak-1(k=1,2,…)之间插入2-1个3，使 (1)求m的值及{a.}的通项公式； 它们和原数列的项构成一个新的数列{b}, (2)求{b.}的前2n项和S2m, 求{b.}的前150项和T15o. 他省考什么 高考全国视野 答案：P419 真题精练 2.(2023全国甲卷，17,12分)已知数列{an} 1.(2024全国甲卷，18,12分)记S,为数列 中，a2=1,设Sn为{a.}前n项和，2Sn {an}的前n项和，且4Sn=3an十4. =nam… (1)求{a.}的通项公式； (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=(一1)”-1nan,求数列{bn}的前n (2)求数列/+1 的前n项和Tn 项和为T 73 实战 实战高考·数学 模拟精练) 3.(2025辽宁辽阳一模)已知等比数列{a,}是 1.(2025黑龙江哈尔滨一模)已知数列{a.}满 递减数列，记数列{a.}的前n项和为Sm,且 足a十2：+4+…十=2·31-6 n ,2S,8a成等差数列，3a=a十2a,数 列{b.}满足bn+1=2b.-2n+1,b1=3,n (n∈N),若b.= 3 (2n十+1)(2n十3)，则数列 ∈N*. {b.}的前15项和为( (1)求{a.}和{b.}的通项公式： A器-1 B36 173 anbn,n是奇数， c新， D (2)若= (6n+19)a 求数列 bnon+2 ,n是偶数， {c.}的前2n项和T2u. 2.(2025山西晋中模拟)记数列{a.}的前n项 和为Sm,已知a1=3,Sn+1=Sn十an十2. (1)求{an}的通项公式； (2求数列+是的前n项和T 6.5数列的综合 过去考什么 山东新高考全练 答案：P421 (2024新课标I卷，19,17分；考，点)设m为正 分数列的概率为P,证明：P.>3 整数，数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等 差数列，若从中删去两项a:和a;(i<j)后剩余 的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数 都能构成等差数列，则称数列a1,a2,·,am+2 是(i,)一可分数列. (1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6，使数列a1, a2,…,a6是(i,j)一可分数列； (2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,…,a4m+2是 (2,13)—可分数列； (3)从1,2，…，4m+2中一次任取两个数i和 j(i<j),记数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)-可 74Q实战册参考答案及解析 的等比数列，2法-2， n-4 6n+1 则Sn=(2n-1)an,S+1=(2n+1-1)am+1,两式相减得 bn =·青2(1+己)若=6,则6 n-5 2n-5 2n3 a+1=(2+1-1)a+1-(2n-1)an, 1 1 即(2m+1-2)am+1=(2m-1)a,因此a+1-2am,而a1 =bs=8’ =4, 若心，=1+5)<1o1<6, 所以{an}是等比数列. ()-() 因此数列：)的最大项为6，=%=日， (2)解：由(1)知an=a1 Sn=(2n 1 1 由3n∈N,4m+2m2<,得4m+2m2≤8， 1)·23=8-2 即8·(2m)2十2·2m-1≤0，整理得(4·2m-1)(2·2m (3)解：由（2)知，6-，当5时，<0，当≥6时， 十1)<0，则2m≤子，解得m<-2, bm>0, 所以m的取值范围是m≤-2. 6.4数列求和 山东新高考全练 目5240(3-") 解析依题意得S1=120×2= 2(1)证明：由题意证明如下，n∈N*,在数列{an}中，a1 240,S2=60×3=180. =3,0+1=a+1 nn+1 n(n+1)' 当n=3时，共可以得到5dm×6dm,2 dm×12dm, .(n十1)am+1=nam+1,即(n1)am+1-nam=1, ∴.{nan}是以a1=3为首项，1为公差的等差数列. 10dm×3dm,20dm×号d加四种规格的国形，且5×6= (2)解：由题意及(1)得，n∈N*,在数列{nan}中，首项为 30,号×12=30,10X3=30,20×8-30,所以s=30×4 3,公差为1， =120:当n=4时，共可以得到5dnm×3dm号dm× m=3+1×(n-1D,即a=1+是，在f)=a1x+ a2x2+…十amxm中， 6dn,号dnX12dn,l0dm×号dn,20dm×是dm五种 f)=3x+22++(1+是)，f)=3+4红++ 规格的图形， 所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5 (m十2)xm-1, ×3=15,号×6=15，号×12=15,10×2=15,20× :fa=3+4z++(m+2zl, 4 xf(x)=3x+4x2+…+(m+2)xm, 15,所以S4=15×5=75. 当x≠1且x≠0时， 所以可归鳞S-2型×(+1）=240C医+卫， .(1-x)f(x)=3+x十x2+…+xm-1-(m+2)xm=3 2k 所以2s=240(1+是+是++2+尖)， +z1-2”）-(m+2)xm, 1-x 所以号2s=240(景+是++…+会+鼎)，@ f)=+m (1-x)2 1-x ÷1（-2)=-8万+2 3 ①-@，得号×含=240(1+员+六++…+品 [1-(-2)]2 _(m十2)(-2)m 1-(-2) 1-3 黜)小 =1+-2)[1-(-2)m-1]_(m+2)(-2)m 3 24o(层一-+)， =1-名-（-2)m-(m+2)(-2)m 9 9. 3 所以2s=240(3-"3）dn2. .7_(3m+7)(-2)m 9 9 417 答案册 实战高考·数学 山东模拟专练 考点闯关) 目解：1)设等差数列{气的公差为d,因为a1=5=1, 考点数列求和 ①解：(1)当n=1时，由a2m=2an十1，则a2=2a1+1,由 所以=3,即9-1=34，d=所以产=1十 1 a1=1,则a2=3, 所以等差数列{am}的公差为a2一a1=2,所以an=1十(n a-1D,即s-a 2 -1)·2=2n-1, 当n≥2时，an=Sn-Sn1=nnD_nn2D=, 2 2 故1-w2n+1=(2a）》 1 当n=1时，a1=1,满足上式，所以am=n. 故数列a的前n项和S.=(1-}+}一号十…十 n,n为奇数， (2)由(1)知bm= 1 ）=-)广 n(n+2),n为偶数， 则T2m=(b1十b3十b5+…+b2m-1)+(b2+b4十b6+…+ (2)当n=1时，a1b1=T1=(3-4)×22+8=4,可得b1 b2n) 4 1 a1 -1+3+5++2m-D+(文+衣6+6文8++ 当n≥2时，anbn=Tn-Tm-1-[(3n-4)·2m+1+8] 「(3n-7)。2n+8 2nX(2n+2) =3n·2n+1-2n+3-3n·2n+7·2n -1+2+号（合-+-+…+ =2n(6n-8-3n十7)=2m(3n-1), 1 将n=1代入上式，则a1b1=2×(3-1)=4=T1. 综上所述，anbn=2n(3n-1),n∈N+.当n=2时，a2b2= 22×(3×2-1)=20,可得2=20 所以数列6，的前2项和T=心+片十 2 分层闯关 又因为a2=2a1十1，则b=2a1十1' 20 基础题组 由方程20+=6，可得易〔2a1十1)+子a1=1,解得 ①B解析令f(x)=x2十log+1xn-n2一3n,则函数 f(x)在(0，十∞)上为增函数， a1=2, 因为f(n)=2+log+1-2-3n=nlog+1n-3n-3n= 由a2=2a1十1=5，则等差数列{am}的公差为3，所以an -2<0, =3n-1, f(n+1)=(n+1)2+logm+1(n十1)m-n2-3n=1>0, 由anbn=2m(3n-1),n∈N+,得bm=2m. 2(1)解：由Sn=2an-2①， 由零点存在定理可得<+1，则号<受<"， 当n=1时，S1=2a1-2=a1,解得a1=2, 当n为正奇数时，设n=2+1∈N),则k十合<受<k 当n≥2时，Sm-1=2am-1-2②， ①-②，得an=2a-1, +1,则a=[登]= .数列{am}是以首项为2，公比为2的等比数列， an=a12m-1=2m. 当n为正偶数时，设n=2k(h∈N“),则<受<+2， 经验证a1=2符合上式，an=2n, (2)证明：由(1)知a2m-1=22m-1, 则a=[登]=， .bm=log2a2m-1=2n-1,bn+1=2n+1. 所以，S2o25=a1+(a2+a3)+(a4十a5)十 1=1(1-1） +(a2024+a2025) 则cn-6h+1=22m-1一2m+1少 =0+1×2+2×2+…+1012×2= (2+2×1012)×1012=1012×1013. 2 包1)解：因为a=1,0+1=(a+1)ax+1,可得号 “2>0,1-2<1,2（1-2故a a七 1-am+1-1 nn(n+1)-n十nn+1' 1 +c2十c3十…十cm<2 斜十十一只+口，可知数列停十片}为帝数列， 418 Q实战册参考答案及解析 则会+日-a十1=2，所以e,=20-1:又因为十s十 (2)因为在a与ak-1(k=1,2,…)之间插入2-1个3，可知 ak(k≥2)在数列{bm》中对应的项数为n=十20十21十… …十bn=2t一1，则有若n=1,可得b1=1; 若n≥2，则b十b2十…十bm-1=2n-1一1，两式相减得bn 十22=k122=21+é-1， =2n-2n-1=2n-1, 当k=8时，则n=27+7=135,即a8=b135; 且b1=1符合上式，所以bn=2m-1. 当k=9时，则n=28十8=264，即ag=b264; ②证明：由可知2：-， 由题意可知：b136=b137=…=b150=3, 2n-2 2n-1, 所以T150=S8+3×(150-8)=8X(,+15)+426=490. 可得S.=(6-5)+(5-2) ）+…+（2-2-2 /2m+1_2n+3 2 培优题组 ,显然0，所以S<6 ⑤解：(1)由题意知b4-b2=8,b3-b1=4,a1+b=4, 3解：(1)设{am}的公差为d(d≠0)，由题意知 因为a2m-1=b2m-1+12m,a2m=mb2m, ja1+a2十a十a4=16'即{ a1=b1+12m, 4a1+6d=16, 即 a2=mb2, a22=a1a5, (a1+d)2=a(a+4d), 所以3a3=b3+12m, |2a1+3d=8, 有 因为d≠0，可得a1=1,d=2, as=mb4, d=2a1, a1+b1=2a1-12m, 所以an=2n-1. 设等差数列{an}的公差为d, (2)设数列{bn}的前2n项中的奇数项之和为A,偶数项 d=2, 之和为B, a3-a1=b3-b1=4=2d, 则A=201十2%十…十2%21=21十25十…十24n-3= 则a4-2=m(b4-2)=8m=2d,解得m2, 2(1-16n)_2-24n+1_24n+1-2 b=-1, 1-16 1-16 15 a1+b1=2a1-12m=4, a1=5, B=1十1十+ 1 1(1_1+1 1 a2a4 a4a6 a2na2n+2 2d az as as a6 所以am=5+(n-1)X2=2n+3, 1 所以m的值为2，@)的通项公式为加。=2m十3. 1 1 (2)由(1)知，an=2n十3，b2n-1=a2m-1-6,b2n=2a2, 1216n+121 所以S2m=(b1十b3+b5十…+b2m-1)十(b2+b4+b6+… 所以T2m=A+B=24+1-2+1】 1 24n+11 +b2m) 15 1216n+12-15 20 =(a1十a3十a5+…+a2m-1-6n)+2(a2十a4十a6十…+ 1 16n+12* a2n) 能力题组 =n(a+a2m-l)-6m十2×na2十a2）=n(5+4n+) 2 2 PN ④解：(1)因为{am}为等差数列，设公差为d,则S5=5a3 6n+n(7+4n+3) =25,即a3=5, =6n2+7n. 可得d=a4-a3=2,a1=a3-2d=1,所以am=1十2(n 所以{bn}的前2n项和S2n=6n2+7n. 1)=2n-1. 高考全国视野 真题精练) 3Tn=4X31+8X32+12×33+…+4n·3n, ①解：(1)当n=1时，4S1=4a1=3a1+4,解得a1=4. 所以-2Tm=4+4×31+4×32+4×33+…+4×3"-1一 当n≥2时，4Sm-1=3am-1十4，所以4Sm-4Sm-1=4am= 4n·3m=4十4X31-二30--4·3m=4十2X3.(3-1 1-3 3an-3an-1,an=-3an-1, -1)-4n·3n=(2-4n)·3n-2, 而a1=4≠0，故a≠0，故_am=一3， 所以Tm=(2n-1)·3m+1. an-1 所以数列{am}是以4为首项，一3为公比的等比数列，所 2解：(1)因为2Sn=nam,当n=1时，2a1=a1,即a1=0; 当n=3时，2(1十a3)=3ag,即a3=2, 以an=4·(-3)n-1. 当n>2时，2Sm-1=(n-1)am-1,所以2(Sn-Sm-1)=an (2)bm=(-1)m-1·n·4·(-3)n-1=4n·3m-1, -(n-1)an-1=2an, 所以Tn=b1+b2+b3+…+bm=4×30+8×31+12×32 +…+4n·3m-1, 化简，得(n-2a=(n-1Da1,当m≥3时，n2马一号 419 答案 实战高考·数学 =…= 号-1，即an=n-1, 合×(3-)+2×4+合×(3-3)+…+名·4 当n=1,2,3时都满足上式，所以am=n-1(n∈N*). 2因为-是，所以T=1×(兮》广+2×（侵》产+3 +2×(分+2) 2×41-40) x(2)3++nx(侵）严， 1-4”+2+2十)=号4 2n+3,1 2.=1×(合}'+2×（合）》++m-10x(分）”+n 2(n+1)(n+2)+12 ×(2)*1,两式相减，得 3解：(1)设等比数列{am}的公比为q,由题意可 3a2=a1+2a3, 2.=(合}+（合）+（合）°+…+（侵）”-× 得 传》-传》 f3a1q=a1+2a1q2, 则 1-号 4autag)-d+8a, =1-(1+)(2)”,即Tn=2-(2+w(2)”,m∈N 因为等比数列(an是递减数列，解得a1=q=2,所以a 模拟精练 =a1g1=(合）” an=2·3nt1-6 因为bm+1=2bm一2n+1,所以bm+1一2(n+1)-1=2(bn (n∈N*)①， -2n-1), 当n=1时，a1=2×32一6=12， 因为b1=3,则b1一2×1一1=0，所以bm-2n一1=0，故bm 当心2时a+名a十3a++ar1=23- =2n+1. 6②， ②)当n为奇数时62，令A-名01， ①-②，得70=2,3+1-6-(2·3-6)=4·3，所 则A是+名+是+…+， 22n-1, 以an=4n·3", 显然a1也满足上式，所以am=4n·3, 所以子A-多+是+…++品 317 22n-122n+1, 4n·3n 3+13 所以bm=(2m+1)(2m+3）-2n+32n+1' 两个等式作老可得是A.=+十十十2 记数列{bn》的前n项和为Sn, 1 1 4n-13 一4m-1 4n-1 则55=（臀一-）+（号-号）+（一）+…十 22n+12 22n+1 (器贺)-器-1-器-1 -吕-1，化简得A-9日， 6 99·22m-1; 2解：(1)由已知Sn+1=Sn十an十2，则an+1=Sm+1-Sn =an+2, 当n为偶数时，cm= 6n+19 2m(2m+1)(2n+5)= 所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以 4(2m十5)-(2n+1)= 1 1 am=3+2(n-1)=2n+1. 2m(2n+1)(2n+5)(2n+1)·2n-2-(2n+5)·2m’ (2)由(1)可得an=2m十1，则Sn=a)m=(m+2), 11 2 令B.=2c2,则Bm=5X209X2十gX213·24+ 1 1 1 …+(4n+1)·22m2-(4n+5)·2 2(分十2)： =日-n+十，2故T=A+B=0g9 1 459·22m-7 所以工=×4+号×(1-)+2×4华+ 1 (4n+5)·22m 420