6.2 等差数列(实战册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

Q实战册参考答案及解析 -(1+3C+1)=0, n(4+1-1) =四%0》-le:9号+9=g4+ 即0<n(4+1-1)<(n+1)(4+1-4),(mF1(4*-4 pq g <1,因此S+<S e log:e-log.q+log:p-log:(p), n+1n 所以a=a十2，所以ag=pag十g0p,故B正确； 数列受}为递减数列，C正确，D错误。 qq 对于C,由ap叶g=pag十qap,令p=1,得a1+g=ag十qa1, ④ABD解析对于A,令am=logn,且t>1,则有ag= 所以a2=2a1,a3=2a1+a2=4a1,a4=3a1+a3=7a1, log:(pg),ap十ag=logp+logq=log:（pg),所以am= 令p=q,得a2p=pap十pap=2pap, ap十ag,故A正确； 所以a2=2a1,a4=4a2=8a1,则8a1=7a1,所以a1=0,所 对于B,由am=pag十q0p,得g-4+2, 以a2=a3=a4=0, 99p’ 与an<an+1矛盾，故C错误； 令an=n logm,则t>1时，ag=glog(pq),ag=qlog9,ap 对于D,令an=2m,则a叶g=2叶9，aag=2p·29=2+g,所 =p logip, 以ap叶g=apg,故D正确. 6.2 等差数列 山东新高考全练 ①C解析甲：{an}为等差数列，设其首项为a1,公差 .an=a1+(n-1)·d=3n. 为d, (2)bm}为等差数列，∴2b2=1十8，即2-2+1卫 则S.=u1+un2Da,=a1+”2ad-号+a1 a2 al'a3 2 2 2 6(2-1)=6d=1,即a好-3a1d+2ad=0,解得a S+1_Sn=4 n+1n2 =d或a1=2d,∴.d>1,.am>0,又S99-Tg9=99,由等 因此（受}为等差数列，则甲是乙的充分条件， 差数列性质知，99a50一99b50=99,即a50一b50=1, ÷as50-2550-1,即a。-450-2550=0,解得a50=51 反之，乙：{}为等差盘列，中 a50 n+1 n 或a50=-50(舍去). nS+1-(十1)Sn=01-S为常数，设为t, 当a=2d时，a5o=a1+49d=51d=51,解得d=1,与d> n(n+1) n(n+1) 1矛盾，无解； 即n+1一S n(n+1) ,则Sm=nan+1-t·n(n十1)，有Sm-1=(n 当a1=d时，as0=a1十49d-50d=51,解得d= 501 -1)am-t·n(n-1),n≥2， 综上，d認 两式相减，得an=nan+1一(n-1)an一2tn,即am+1一an= 2t.此式对n=1也成立， A(1)解：方法-：“a1=1,∴S=a1=1,=1, 因此{am}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙 的充要条件，C正确. 又：()}是公差为行的等差数列， 23n2-2n解析因为数列{2n一1}是以1为首项，2为 公差的等差数列， =1叶-0-8-叶当22 an 3 数列{3n一2}是以1首项，3为公差的等差数列， 时，Sn1=n+1)a1, 3 所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为 首项，6为公差的等差数列， am=S.-Sm1=n+2)a_n+1)am1,整理可得(n 3 3 所以{a}的前n项和为nX1+nn,1DX6=3m2-2m 2 -1a.-6at+1a-1即2=2n≥2，时a,-a 3解：(1)：3a2=3a1+a3,∴.3d=a1+2d,解得a1=d, Xa2Xa3X…Xam-1Xam s=3ag=3a1+d0=6d,又1n=h+灰+s=号+8 `a1a2 an-2an-1 +器-是， =1x是×号×…X”g×},显然对于n 2 =1也成立， ∴s十T=6d+9-21,即2d-7d+3=0,解得d=3 ·{an}的通项公式am=nnt 2 或d=(舍去)， 方法二：a1=1,S1=a1=1,S=1,又：(S是公 al an 411 答案册 实战高考·数学 差为}的等差数列， 所以数列nD}是常数数列，所以D2= =1+号m-10时2s (+2)a2,Sx+1 ,{am}的通项公式an=n十1 1 an 3 2 _(n+3)am+1 (2)证明：1- 2 3 art1=S+1-Sn-(n+3)axt1_(n+2)az 3 3 ++叶 al a2 整理得an+1=(n十2)an,所以n(n十1)am+1=(n十1)(n =2[(1-)+(分-专）++（分-）门 a+1 an +2)am,即(n+1)(n+2)-n(n+1)' =2(1-+)2 山东模拟专练 考点闯关) 2C解析设等差数列{am}的公差为d,由a1=一l,S7 考点①等差数列及其前n项和 =5a4+10,得7×(-1)+21d=5(-1+3d)+10,解得d ①D解析设数列{an)的公差为d,由S2=2,S6=9, =2,所以S4=4X(-1)+43×2=8. 2 2a1+d=2, 3A解析因为数列{an}各项均为正数，首项a1=3,则 。解得 a+65a= d-子 log3a=1,又数列{log3am}是以-2为公差的等差数列， 所以S0=10a1+10X4=5+9=20 则1680g=1-2X3-1D=-3,故s=3t=7 -4T4 ④A解析由等差数列的通项公式可得：a5十a2010= 2D解析设{an}的公差为d,因为a1=-21,S7=S5, 2a+2023d=1, a1=-21, 且a1+a2024=2a1+2023d=1,所以S2024= 可 7a+7=15a+154,忽得1=3，所以a, 2 d, 2024×(a1+a2024)_2024×1-1012. 2 =2n-23, 5B 解析等差数列{an}的前n项和为Sn,则S,= 可得Sn=-21n+nXG)-1D×2=-22, 2 7(a1十a）=7a4=49,故a4=7, 2 所以当n=11时，Sm取得最小值S11=112一22×11= -121. S16=15Ca1,+a5）=15a8=45,故ag=3, 2 考点2等差数列的性质及应用 由2a6=a4十a8=7+3=10,得a6=5. 3B解析在等差数列{an}中，已知a2十a4=6,所以a2 6BC解析等差数列{an}中，S=7a十a）=7a4 十a4=2a3,即2a3=6,那么a3=3. 2 同样根据等差数列性质，所以a十a5=2a3.则a1十a3十 42,解得a4=6,而a2=4, a5=(a1+a5)+a3=2a3+a3=3a3. 因此公差d=4二g=1,通项am=a2十(n-2d=n十2， 4-2 把a3=3代入可得3a3=3×3=9. ④B解析因为{an}是等差数列，故a1十a4=a5十a0= 对于A,a5=7,A错误； 9,于是S4=14(a,+a1)=63. 对于B.S,-m3++2》=+8 2 2 ,B正确； ⑤D解析，{am}是等差数列，.a3十a7=2a5=10,a5 对于C费-1+品，一}为延减数列，C正确： =5,所以a6=a5a6=7, 对于D,1= 1 a5 ∴.公差d=a6-a5=2,∴.a1=a5-4d=-3, anan+1 +2n=一十所以 1 S6=6×(-3)+6X5×2=12. anan+1 }的前5项和为站+是一日+…十号日 2 115 分层闯关) 3一8=4D错误. 基础题组 ①C解析因为数列{an}为等差数列，所以a3十ag= a￥ 图因为会-号可设S=a(5m十2.工 2a6,所以a6=12. =kn(n十3)，k≠0， 所以S6=6(a1十a6）=6X(2,+12〕=42. 2 2 则装-杀务-器》贵- 5k(5+3)-4k(4+3)4 412 Q实战册参考答案及解析 就答案为早 ∈N*, ,bm=2(n2十n2_2(n十1D 能力题组 n≥2时61-3(0-n3(m-)’ 8C解折“S20=1020×20=100,÷a1十a20=10, 2 令产>1，可得2m<5(或令<1，可得2）， .a10十a11=a1+a20=10. 可知b1<b2<bg<b4=b5>b6>b>…, 又a0>0,a1>0,∴a0·an≤(a0tau）2_100= 2 4 综上，当A=4度=5时6，取得最大值为 25,当且仅当a10=a11=5时取“=”， .a10·a11的最大值为25. 培优题组 g(1)证明：由Sm=2an+1-3,可得n≥2时，an=Sm 00,2,1(答案不唯一，填写其中一个即可)解析因为 Sm-1=2an+1-2an, 即≥2时，a出=号，义因为a=号，EN,所以a= co92(ax十p）=k(0≠0)，所以os2(ug,+p）]+1=k,即 2 an 器- cos[2(wx十p)]=2k-1, 要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需 综上，≥1时，”时=号，所以a}为首项和公比均为 要2k-1=0或士1， an 的等比数列， 所以k=01,号故答案为0，，1答案不唯-，填写其中 (2)解：由1)可得an=(号）”，所以b.=(号)”(r+n),n 一个即可). 高考全国视野 真题精练) 即2ae+2n-1=2nan-2(n-1)a-1+1,即2(n-1)am- ①B解析设等差数列{am}的公差为d,则由题可得 2(n-1)am-1=2(n-1),所以an-am-1=1,n≥2且n∈ 3a十3d6。解得d-3, N*,所以{am}是以1为公差的等差数列. 5a1+10d=-5, （a1=5, (2)解：由(1)可得a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1十8， 所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15. 又a4,a7,ag成等比数列，所以a号=a4·ag, 2C解析因为Sn=-n2+8n,所以当n=1时，a1=S1 即(a1十6)2=(a1十3)·(a1+8),解得a1=-12, =-12+8×1=7, 所以a=13,所以5.=一12m+n=7心- 2 当n≥2时，am=Sm-Sm-1=(-n2+8n)一 2 [-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9, =(-)625, 81 经检验，a1=7满足上式， 所以当n=12或n=13时，Sm取得最小值为一78. 所以an=-2n十9(n∈N*),令am=一2n+9≥0→n≤4， 模拟精练) am=-2n+90→n≥5， ①D解析在等差数列{an}中，a5十a?十ag=3a?=27, 设数列{|an|)的前n项和为Tn,则数列{|an|}的前4 a7=9, 项和为T4=S4=-42+8×4=16, 则2a8-a9=2(a7十d)-(a7十2d)=a7=9. 数列{|an}的前12项和为T2m=a|十|a2十…+ |a12=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-a12 2B 4=号=4，s=引=8，解将d=会二升 6-4 =2S4-S12=2×16-(-122+8×12)=80. =2. 395解析因为数列{an}为等差数列，则由题意得 3C解析由a3十a18>0,得a1+a20=a3十a18>0→S20 a1+2d+a1+3d=7, 13a++a+4a-5解得3.4"则s70a+ =20(a1十a20）=10(a1十a20)>0,故A错误； 2 10×9d=10×(-4)+45×3=95. 由S1g<0→S1g=19Ca1,+a）_19X2a0=19a0<0> 2 2 2 ④（1)证明：因为2Sa+n=2an+1,即2Sn十=2mam十 a10<0,a10十a11=a3十a18>0,所以a11>0,故C正确； n a6十a17=a11十a12>0,故B错误； n①， |a11=a1+10d>0, 由 当n≥2时，2Sm-1+(n-1)2=2(n-1)am-1+(n-1)②， a1o=a1+9d<0 -10<<-9,故D错误。 ①-②，得2Sm十n2-2Sm-1-(n-1)2=2nan+n-2(n ④A解析因为{an}是等差数列，所以S3,S6一S3,S9 1)am-1-(n-1), S6,S12-S9成等差数列， 413 答案 实战高考·数学 又S3=S9=6,所以6，S6-6,6-S6,S12一6成等差数列， 由①②得b+1-bn=2,n∈N*,所以{bn}是公差为2的 则6十S12-6=S6-6+6-S6,则S12=0. 等差数列 ⑤24解析因为a4十a5=6,所以a1十a2十a3十…十a8 (2)因为b1=a1-2=1,所以bn=2n-1, =4(a4十a5)=24. 1 1/1 6证明：(1)由S+2-2S+1+Sm=2+1+2,得 (S+2-S+1)-(S+1-Sm)=2+1+2, 即a+2-a+1=2n+1+2, 所以+a十叶6 因为bm=an-2n,所以(b+2十2n+2)-(b+1十2m+1)= =是×(1-)+是×（分-）+是×（传-号）+… 2m+1+2,所以bn+2一bm+1=2,① 由a3-2a2+a1=2,得(bg+23)-2(b2十22)+ +}×(3282)+x(123》 (b1十2)=2. 整理得b3-2b2+b1=0,即b3-b2=b2一b1,② 6.3等比数列 山东新高考全练 ①士2解析设该等比数列为{am},Snm是其前n项和，则 =128,所以b1对应的区间为(0,1]，则b1=0; S4=4,S8=68, b2,bg对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b2=bg=1,即 设{an}的公比为q, 有2个1； 当q=1时，S4=4a1=4,即a1=1,则S8=8a1=8≠68，显 b4,b5,b6,b7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0， 然不成立，舍去； 7],则b4=b5=b6=b7=2,即有22个2； 当g≠1时，则54-a二2)=4,58=a0二2）=68， b8,b9,…,b15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0， 1-q 1-q 两式相除得等-明，1二2+）-17。 15],则bg=b9=…=b15=3,即有23个3； 1-g4 b16,b17,…,b31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0， 则1十q=17,解得q=士2，所以该等比数列公比为士2. 31],则b16=b17=…-b31=4,即有24个4； 2解：(1)由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首 b32,b33,…,b63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0， 项为a1,公比为q,依题意有 a1q+a1gr3=20, 解得a1=2, 63],则b32=b33=…=b63=5,即有25个5； a1q2=8, b64,b65,…,b1o0对应的区间分别为(0,64]，(0,65)，…， 1 9=2或a41=32,9=2(舍)， (0,100],则b64=b65=…=b100=6,即有37个6. 所以an=2n,所以数列{an}的通项公式为an=2m 所以S100=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6 (2)因为21=2,22=4,23=8,24=16,26=32,26=64,27 ×37=480. 山东模拟专练 考点闯关) 23+25+…+22021=1+2(1-41011)_22023+1 1-4 3 考点①等比数列及其前n项和 考点2等比数列的性质及其应用 ①D解析由等比数列{am}性质可知，a2a3=a1a4=8, 又a2十a3=6,解得 =2支a=4当a=2, 3B解析由等比数列{am}的前n项和的性质可得： 或 时，q= la3=4a3=2,a3=4 S10,S20一S10,S30一S20也成等比数列， 1-24 ∴.(S20-S0)2=S0×(S30-S20),得(20-10)2=10× =2,所以a1=1,故S4=1=2-15； a2 (S30一20)，解得S30=30. 当/4， g=2时，9==1 a2 =之，所以a1=8,故S4= ④D解析设数列{am}的公比为q, 8x[-门-5，上.8=15 由a2十a3=3,ag十a4=6可得s十a4-9a2ta3）=g a2十a3a2十a3 =2, 1 1一2 所以a7+a8=(a2+a3)q=3X25=96. 2A解析依题意，a1十a2=1,an十am+1=2m-1,当n≥2 故选D. 时，an-1十an=2m2,则an+1-an-1=2n-2,所以a2024= ⑤A解析因为一a5,a4,a6成等差数列，所以2a4=一a5 a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2o24-a2022)=1+2+ 十a6,因为{an}是正项等比数列，且a1=1,2a4=-a4·q 41400专题六数列 D.数列 S)为递增数列 B.存在数列{a.},使得对任意正整数p,q, 都满足an=ag十9ap 4.(多选)(2025吉林长春二模)若数列{a.}满 C.存在数列{a.},使得对任意正整数p,q, 足an<a+1,则下列说法正确的是() 都满足ap+g=a,十qap A.存在数列{a},使得对任意正整数p,q, D.存在数列{a.},使得对任意正整数p,q, 都满足ag=ap十ag 都满足ap+g=apag 6.2 等差数列 过去考什么 山东新高考全练 答案：P411 1.(2023新课标I卷，7,5分；考点1)记Sm为 4.(2022新高考I卷，17,10分；考点1)记Sn 数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数 为数列{a}的前项和，已知a=1,S是 a. 列：乙：}为等差数列，则( 公差为的等差数列. A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 (1)求{an}的通项公式： C.甲是乙的充要条件 (2)证明：+1+…+1<2， a a2 an D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 2.(2020新高考I卷，14,5分；考点1)将数列 {2n一1}与{3n一2}的公共项从小到大排列 得到数列{a.},则{an}的前n项和 为 3.(2023新课标I卷，20,12分；考点1)设等 差数列{an}的公差为d,且d>l.令bn= +,记S,T.分别为数列{a,6.}的前 an n项和. (1)若3a2=3a1十a3,S3十T3=21,求{an}的 通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S9一Tg=99, 求d. 65 实战册 实战高考·数学 将来考什么 山东模拟专练 答案：P412 考点闯关) 考点①等差数列及其前n项和 {an}中，a2十a4=6,则a1十a3十a5=( 1.(2024山东济宁一模)已知等差数列{a.}的 A.15 B.9 前n项和为Sm,且S2=2,S6=9,则So C.3√6 D.5√6 =() 4.(2024山东济南一模)记等差数列{a.}的前 A.14 B.16 n项和为Sm.若a5=7,a0=2,则S4 C.18 D.20 =() 2.(2024山东泰安三模)已知S为等差数列 A.49 B.63 {au}的前n项和，a1=一21，S,=Ss,则Sn的 C.70 D.126 最小值为( 5.(2024山东淄博一模)记S.为等差数列 A.-99 B.-100 {an}的前n项和，若a3十a=10,a5a6=35, C.-110 D.-121 则S6=() 考点2等差数列的性质及应用 A.20 B.16 3.(2025山东日照一模)已知等差数列 C.14 D.12 分层闯关 基础题组 前n项和为Sn.若a15十a2o10=1,则S224 1.(2025山东潍坊一模)已知等差数列{an}的 =( ) 前n项和为Sn,若a1=2,a3+ag=24,则S6 A.1012 B.1013 =() C.2024 D.2025 A.12 B.14 5.(2024山东聊城一模)记等差数列{an}的前 C.42 D.84 n项和为Sn,若S,=49,S5=45,则a6 2.(2024山东滨州一模)已知等差数列{an}的 =() 前n项和为Sm,a1=-1,S,=5a4十10，则S4 A.3 B.5 C.7 D.10 =( A.6 B.7 6.(多选)(2024山东泰安二模)已知等差数列 C.8 D.10 {an}的前n项和为Sm,a2=4,S,=42,则下 3.(2024山东日照二模)已知数列{an}各项均 列说法正确的是( 为正数，首项a1=3,且数列{log3am}是以一2 A.a5=4 为公差的等差数列，则a3=( ) B.S- A易 B号 C.(a为递减数列 n C.1 D.9 4.(2024山东临沂一模)已知等差数列{am}的 anantl 的前5项和为21 66 O专题六数列 7.(2025山师附中二模)两个等差数列{a.}和 (1)求证：{a}为等比数列； 的前n项和分别为S,T且气 (2)求使bn取得最大值时n的值. +号，则哈的值等丁 能力题组 8.创意题(2024山东青岛一模)记正项等差数 列{a.}的前n项和为Sm,S20=100,则a10· a11的最大值为() A.9 B.16 培优题组 C.25 D.50 10.创意题(2024山东潍坊三模)已知关于x 9.(2024山东济南一模)已知数列{am}的前n 项和为S,a=8且8=2a1-3,令么 的方程cos2(wx十p)=(w≠0)的所有正 实根从小到大排列构成等差数列，请写出 n+n 实数的一个取值为 an 他省考什公 高考全国视野 答案：P413 真题精练 (2)若a4,a,ag成等比数列，求Sn的最 1.（2025新课标Ⅱ卷，7,5分)记Sm为等差数 小值. 列{a.}的前n项和，若S3=6,S=一5，则 S6=() A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 2.(2025天津卷，6,5分)S.=一n2十8n,则数 模拟精练 列{an|}的前12项和为() 1.(2025广东广州模拟)在等差数列{an}中， A.112 B.48 若a5十a7+ag=27,则2ag一ag的值 C.80 D.64 为() 3.(2024新课标Ⅱ卷，12,5分)记Sm为等差数 A.18 B.15 列{an}的前n项和，若a3十a4=7,3a2十as C.12 D.9 =5,则S10= 2.(2025山西太原一模)设Sm是等差数列 4.(2022全国甲卷，17,12分)记S,为数列 {an}的前n项和，若S,=28,S1=88,则 {a,}的前n项和.已知2S+n=2a.十1， {an}的公差d=( ) A.1 B.2 (1)证明：{an}是等差数列； C.3 D.4 67 实战 实战高考·数学 3.(2025福建厦门模拟)记等差数列{a.}的前 n项和为Sn,公差为d,若a3十a18>0,S19< 6.(2025辽宁模拟)已知数列{a}的前n项和 0,则() 为Sm,且满足Sn+2一2S+1十Sn=2m+1十2， A.S20<0 B.a6+a17<0 a3-2a2+a=2,ibn=an-2". C.an>0 D7∈(-9，-8) (1)求证：{b.}是等差数列； 4.(2025吉林长春二模)已知等差数列{an}的 （②者a=,求证点+点+…+ 前n项和为Sn,若S3=Sg=6,则S2的值 为() A.0 B.3 C.6 D.12 5.(2025河北石家庄一模)在等差数列 {an}中，a4+a5=6,则a1+a2十a3十…十a8 6.3 等比数列 过去考什公 山东新高考全练 答案：P414 1.(2025新课标I卷，13,5分；考点1)若一个 (2)记b.为{an}在区间(0，m](m∈N*)中 等比数列的前4项和为4，前8项和为68， 的项的个数，求数列{bnm}的前100项 则该等比数列的公比为 和S100. 2.(2020新高考I卷，18,12分；考，点1)已知 公比大于1的等比数列{an}满足a2十a4= 20,a3=8. (1)求{an}的通项公式； 将来考什公 山东模拟专练 答案：P414 考点闯关) 考点①等比数列及其前n项和 2.(2024山东滨州一模)已知数列{an}满足a1 1.(2025山东烟台一模)已知等比数列{a}的 =0,a2=1.若数列{an十am+1}是公比为2的 前n项和为Sm,a2+a3=6,a1a4=8,则S4 等比数列，则a2o24=() =() A.2+1 B,22024+1 A.-15 B.-5 3 3 C.5 D.15 C.21012-1 D.21o11-1 68