5.2 复数(实战册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

○专题五平面向量与复数 5.2复数 过去考什么 山东新高考全练 m答案：P405 1.(2025新课标I卷，1,5分；考点2)(1+5i)i 4.(2022新高考I卷，2,5分；考点1)若i(1 的虚部为( ) 之)=1，则之十之=( A.-1 B.0 A.-2 B.-1 C.1 D.6 C.1 D.2 2.(2024新课标I卷，2,5分考点1D若产 5.(2021新高考I卷，2,5分；考，点1)已知之= =1+i,则之=() 2一i,则x(x+i)=( A.-1-i B.-1+i A.6-2i B.4-2i C.1-i D.1+i C.6+2i D.4+2i 3.(2023新课标I卷，2,5分；考点1)已知之 6.(2020新高考I卷，2,5分；考点1) 2-i 1+2i =2+2则一=( ) =( ) A.-i B.i A.1 B.-1 C.0 D.1 C.i D.-i 将来考什公 山东模拟专练 答案：P405 考点闯关) 考点①复数的概念 考点②复数的运算 1.(2024山东菏泽一模)已知复数之满足之(1 2i 十i)=2o24,其中i为虚数单位，则之的虚部 4.(②025山东聊城一模)已知复数z=1,则 为() 共轭复数之=( A.-2 A.-1+i B.1-i C.1+i D.-1-i c n号 5.(2025山东济宁一装)已知复数x=呈十 2.(2025山东泰安一模)已知i为虚数单位，若 2i,则之=( ) (1一i)(2十ai)是纯虚数，则实数a=( ) A.-4 B.-2 4分 B号 C.1 D.2 C.1 D.2 3.(2025山东潍坊一模)在复平面内，复数z 6.(2025山东滨州二模)在复平面内，点Z(1, 2对应的点的坐标为( 一2)对应的复数为之， 1-i =( A.(-2,1) B.(2,-1) A号 C.v C.(-2,i) D.(2,-i) 5 D⑤ 5 59 实战册 实战高考·数学 分层闯关 基础题组 A.第一象限 B.第二象限 1.(2025山东临沂-模)，5 C.第三象限 D.第四象限 8.(2024山东聊城一模)若复数之满足之=i· A.2+i B.2-i 之，则之可以为( C.1+2i D.1-2i A.1-i B.1+i 2.(2025山东青岛一模)若(1十2i)之=5，则之· C.1+2i D.1-2i 之=() 9.(2024山东临沂一模)若虚数单位i是关于 A.3 B.4 x的方程a.x3+bx2+bx+1=0(a,b∈R)的 C.5 D.6 一个根，则a十bi=() 3.(2025山东威海一模)已知复数z=1+2i, A.0 B.1 则（之一之）=( C.√2 D.2 A.4+8i B.4-8i 10.(2024山东泰安二模)若复数满足1一 C.4i-8 D.4i+8 4(2025山东淄博一模)若复数满足2年 i,则z=( A.5 B.2 3一4，则之=() C.√2 D.1 A.5√2 B.5√5 11.(2024山东临沂二模)已知i为虚数单位， C.10√2 D.125 5.(2025山东日照一模)“a=1“是“复数胄 1-i·=+9,则=( (a∈R)为纯虚数”的( B号 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 c n图 C.充要条件 12.(2024山东济宁一模)已知i为虚数单位， D.既不充分也不必要条件 复数z满足之(1十i)一1十2i=0,则z 6.(2025山东菏泽一模)在复平面内，向量AB =() 对应的复数为一1十3i,向量AC对应的复数 为一2十i,则向量BC对应的复数为( ) A- A.-3-4i B.-3+4i c n合 C.1+2i D.-1-2i 7.(2025山东齐鲁名校大联考一模)已知 13.(2024山东济南一模)已知复数1,2满足 2=2=|2-22=2,则 z(2-i)=4十3i,则之在复平面内对应的点 位于() a+2-( 60 O专题五平面向量与复数 A.1 B.√5 C.若ǎ·2∈R,则=2 C.2 D.2√3 D.若1·2=0，则刘=0或2=0 14.(2025山师附中一模)若复数之=3+m 19.(多选)(2024山东日照一模)下列命题正 1-2i 确的是() (m∈R)为纯虚数，其中i为虚数单位，则 A.复数之=一2一i的虚部为一1 m B.设之为复数，(1一i)z=1十i,则|z=2 能力题组 C.若复数x=a十bi(a,b∈R)为纯虚数，则 15.(2023山东枣庄模拟预测)已知复数≈1， a=0,b≠0 2,≠2，若，2同时满足|之|=1和之 D.复数2一i在复平面内对应的点在第二 -1=|之-i,则之1一2为() 象限 A.1 B.3 培优题组 C.2 D.2√3 20.(多选)(2024山东泰安一模)已知复数之， 16.(多选)创意题(2024山东菏泽二模)下列 ,则下列说法正确的是() 选项正确的有() A.若之=w,则之=w A.若2i-3是方程2x2十x十g=0 B.若之=3十i,=一2i,则之十w在复平面 (p,q∈R)的一个根，则p=一12，q=26 内对应的点在第二象限 B.复数6+5i与一3+4i分别表示向量OA 与OB,则向量BA表示的复数为9十i C.若2=1，则之=之 C.若复数之满足之十1一2i=1,则z的 D.若x一2=1，复数之在复平面内对应 最大值为1十√5 的点为Z,则直线OZ(O为原点)斜率的 D.若复数2，满足=1-i,2=2十 取值范围为-，】 E? 21.(多选)(2024山东济南二模)若复数之满 i,则|引+1号引=30 2 足之(1+i)=2一i(i为虚数单位)，则下列 17.(多选)(2024山东青岛一模)已知复数之， 说法正确的是( 下列说法正确的是() A.|x-10 A.若x一之=0，则之为实数 B.若x2十z2=0,则之=x=0 B:的虚部为一 C.若之一i=1,则x的最大值为2 C2.2=9 D.若|x一=z十1，则x为纯虚数 D.若复数ω满足|w一2z=1,则w的最 18.(多选)(2024山东烟台一模)已知1,2为 大值为√10 复数，下列结论正确的有() 22.（多选)新题型(2024山东潍坊二模)定义 A.1十2=z1十之2 域是复数集的子集的函数称为复变函数， B.1·22=21·x2 f(x)=x2就是一个多项式复变函数.给定 61 实战 实战高考·数学】 多项式复变函数∫（之）之后，对任意一个复 称为f(之)的发散点.则下列选项中是f(之) 数，通过计算公式名+1=f(之)，n∈N可 =的收敛点的是( ) 以得到一列值0，名，2，…，之，….如果存 A.√2 B.-i 在一个正数M,使得|z.<M对任意n∈N 都成立，则称为f(之)的收敛点；否则， C.1-i D日 他省考什☑ 高考全国视野 答案：P408 真题精练 C.第三象限 D.第四象限 1.(2025新课标Ⅱ卷，2,5分)已知z=1十i,则 3.(2025福建泉州一模)已知复数之=a十ai (a≠0，a∈R)满足|x-1=1,则() 7=( ) A.a<0 B.a=√2 A.-i B.i C.之·z=√2 D.x十z=2 C.-1 D.1 4.(2025河北秦皇岛模拟)若(3十4i)z=5i,则 2.(2024新课标Ⅱ卷，1,5分)已知之=一1一i, 则=( ) z=( ) A.0 B.1 B号子 C.√2 D.2 3.(2025天津卷，10,5分)已知i是虚数单位， Cg+i D.g-i 则3牛 5.(2025江西南昌一模)设i为虚数单位，复数 模拟精练 之的共轭复数为，若一德，则：在复平 1.(2025河北秦皇岛一模)已知复数之= 面内对应的点位于第( )象限 1+i2025 A.- B.二 1一1，则之的虚部为( C.三 D.四 A.-1 B-司 6.(2025福建漳州一模)已知复数之1=1+2i, 在复平面内，复数1,2对应的点分别为 C.i D.1 Z1,Z2,且点Z1与点Z2关于直线y=x对 2.（2025安徽六安模拟)已知复数之满足zi 称，则一2=( 之=之十i,则之在复平面内对应的点位 A.√2 B.√3 于() C.5 D.5 A.第一象限 B.第二象限 62O实战册参考答案及解析 故d=-b=b1=6×v6+(-8=1. 所以号m=1一，方=6，故号m十宁=1-十表=1，因 3C解析由a-2b|=3,得a2-4a·b十4b2=3,而 此，2m十n=3. 1a=b=1,则ab-2, ⑤V2解析因为向量a=(1,2),b=(-1,m),则a一5b =(1,2)-5(-1,m)=(6,2-5m). sia,b-8治-号而0Cab≤所以a与6的夫 因为(a-5b)⊥a,所以(a-5b)·a=6+2(2-5m)=10 -10m=0,所以m=1, 角为5 所以|b=√(-1)2+12=√2. ④C解析连接AO,因为点O是线段BC上靠近，点B的 6(分，-1)解折已知a=(1,-2),则1a= 三等分点，则C0=2O, √12+(-2)z=√5. 即Aò-AC=2(AB 因为a⊥(a一2b),根据向量垂直的性质可知a·(a一2b) A动，所以A动=号A店+ =0,即|a2-2a·b=0. 将al=√5代入上式可得(W5)2-2a·b=0,即5-2a·b 花 =0,解得a·b=号 又因为AB=mAM,AC= 根据投影向量的计算公式，向量b在向量a上的投影向量 nAN, 所以A亦-子mAi+}nA 为品 因为M,N,O三点共线，设M心=kMN,则Aò-AM= 将a·b=号，a=5,a=1,-2》代入可得： (A衣-A应M), 所以AO=(1-k)AM+kAN,且AM,A衣不共线， 6W5)1,-2)= ，-2》-，-2》-（ 5.2 复数 山东新高考全练 ①C解析因为(1+5i)i=十52=一5十i,所以其虚部为1. ④D 解折由i01-)=1,得1-=}=-i,所以=1 园c限颗因为，马=中-1计之=1+i所以 +i,故之十之=(1+i)+(1一i)=2,故选D】 =1+}=1-i ⑤C解析因为之=2一i,所以之=2十i,故x(之十i)= 3A 面周为=得二=2 (2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i. 2i,所以z=2i,即-=-i 同D际品二器-- 山东模拟专练 考点闯关) 为(-2,1). 考点①复数的概念 考点2复数的运算 4B 糊由题意可得=斜=9PD 2i(1-i) 日A断向：1十)=以，得== 1 aDl号，长复教的庭海为一合 2(i叶1)=1十i,则其共轭复数z=1一i 2 2B解析因为(1-i)(2+ai)=2-2i+ai-ai2=2+a 同8原频-年+2-名-书8号+2效-1号引+2 2 a十2=0， +(a-2)i,所以 解得a=一2. a-2≠0， =2+,则11-√合广+合}-9 5i 5i·(1+2i) ⑥C解析因为在复平面内，点Z(1,一2)对应的复数为 3A解析因为之=12：=-21+20 之，所以之=1一2i, 5(计2)=一2十i,所以复数之对应点的坐标 5 所以9+瑞=+吉 405 答案册 实战高考·数学 则V+(传- 以之=-1十i,故|之=√1+1=√2. 1+3 故选C 1们B解析之= 22 1+3i 分层闯关) (1-i)2= 2x)=1+@ -4i 基础题组 中X+i-+ -4i×i 4 0A题2-2号82-号=2+1 5(2+i). 5(2+i) 则= 5 5(1-2i) 9-藏1√-9+(}-安 2c解折中1中20已2分-1一2i,所以x=1 四B玩周为：1+）-1+2i=0,所以=1 +2i,所以x·z=(1-2i)(1十2i)=5. 3C解析由x=1十2i可得之=1一2i,故（之-z)z=(1+ 告9书=一日-2所以=-+ (1+i)(1-i) 2i-1+2i)(1+2i)=4i(1+2i)=-8+4i 13B解析设x1=a十i,2=c十di,则2√a2十b2= ④B解2年=3-4=5，则x=5(2+iD=10+5i, v√c2+d=√(2a-c)2+(2b-d02=2, 则之=10-5i,则|z=√100+25=5√5. 所以a2+b=1,c2+d2=4,8-4(ac+bd)=4,即ac+bd =1, 5c 爵玩复数= (a+i)(1+i) (1-i)(1+i) 则 a-D告a+1i_2+. a+2a=√(a+c)'+(叶d 2 2 当a=1时，分=0，复数=是绝虚数， Va2+2+(c2+d2)+ac+d=√1+×4+1=5. (a-1=0, 西多 因为文一十贸 (3+mi)(1+2i) (1-2i)(1+2i) 当复数告(a∈R)为纯虚数时，有 2 解得a=1. (3一2m)十(6十m)为纯虚数， t1o. 则a=1”是“复数告a∈R)为纯虚数”的充要条件。 所以6十m≠0且3一2m=0,解得m=是 能力题组 ⑥D解析因为向量AB对应的复数为-1+3i,向量AC ⑤C解析设z=x十yi(x,y∈R),则之-1=(x-1)十 对应的复数为一2十i, yi,之-i=x+(y-1)i, 所以BC-AC-AB=(-2+i)-(-1+3i)=一1-2i,所 由z=1和x-1=|x-i,得x2+y2=1且(x-1)2+ 以向量BC对应的复数为一1一2i, y2=(y-1)2+x2, 7D解折由题意，得x=什-士D士 2-i (2-i)(2+i) 即x2+y2=1且x=y, 5+10i=1+2i, √2 2 x- x=- 5 2 2 解得 或 所以之=1一2i,故之在复平面内对应的点为(1，一2)，位 y-2 y=- 2 2 于第四象限. ⑧A解析设x=a十bi,a,b∈R,则x=a一bi,故有a-bi 所以号+=号（=号- =i·(a+bi)=-b+ai, 即有a=一b,选项中只有A选项符合要求，故A正确，B、 9+别. C、D选项不符合要求，故B、C、D错误」 则知-超竖+贤-(-受)-+2（或- ⑨C解析因为i是关于x的方程ax3+bx2+bx十1=0 (a,b∈R)的一个根， =-√2-√2i), 所以ai3+bi2+bi+1=0,即一ai-b+bi+1=0,即 所以1-2|=√(W2)2十(2)2=2. (b-a)i+(1-b)=0, 1GBCD解析对于A:若2i一3是方程2x2十x十q=0 任g8牌释所以1a1-1+- 则 (p,q∈R)的一个根， 则方程的两个根分别x1=-3十2i,x2=-3-2i, √/12+12=√2. 0c园由号-得号0D--1-i所 所以一专=十知=-6，号==13，所以p=12,9 2 =26,故A错误； 406 Q实战册参考答案及解析 对于B:由题意可知OA=(6,5),OB=(-3,4),所以BA (adbc)i, =0i-0i=(6,5)-(-3,4)=(9,1), ·22=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,1·z2 所以向量BA表示的复数为9十i,故B正确； =1·2,B正确； 对于C:设之=x十yi,x,y∈R,若复数之满足 |z+1-2i=1, 对于C,取1=i,2=2i,满足12=一2∈R,而1≠z2,C 错误； 则在复平面内点Z(x,y)在圆C:(x十1)2十(y一2)2= 对于D,由12=0，得(ac-bd)+(ad+bc)i=0, 1上， 圆C的圆心为（一1,2），半径r=1, 即/ac-bd=0, ad+bc=0, 则|z的几何意义为原点O(0,0)到圆C上点的距离，又 则a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=0, OC=√5，则|x的最大值为1十V5,故C正确； 即(a2+b2)(c2+d2)=0, 对于D:因为=1-i,2=2十i,所以号= 因此a=b=0或c=d=0,即1=0或2=0，D正确. 22 22 (x1z2)=(1-i)(2+i)=3-i, 1gAC解析对于选项A:复数之=一2-i的虚部为一1， 号=2=2士2+i)1+D=1+3: 故A正确； 1 1-i(1-i)(1+iD=2+2, 22 对选项B:因为1-Dx=1十i,则之=告 (1+i)2 所以好1+号引=3+(-D+√（合）}+(》- 1-iD1+i)-i, +-3,故D正晚 所以z|=|一i=1,故B错误； 2 对于选项C:若复数之=a十bi(a,b∈R)为纯虚数，则a= 7AC解析设x=a十bi(a,b∈R),则之=a一bi,若之-之 0,b≠0，故C正确； =0,即(a十bi)-(a一bi)=2bi=0,即b=0,则之为实数， 对于选项D:复数2一i在复平面内对应的点为(2，一1)， 故A正确； 在第四象限，故D错误。 若2+22=0，即(a十bi)2+(a-bi)2=0, 培优题组 化简可得a2-b2+2abi+a2-b-2abi=0,即a2=b2,即 20ACD解析对于A,设之=a十bi(a,b∈R),则之=a a=士b, bi,若之=w,则=a十bi, 当a=b时，z=a十ai,z=a一ai,此时不一定满足z=z 则w=a一bi,所以z=w,故A正确； =0, 对于B,若之=3+i,=一2i,则之十心=3-i,所以之十心 当a=一b时，之=a一ai,之=a十ai,此时不一定满足之=之 在复平面内对应的点在第四象限，故B错误； =0,故B错误； 对于C,设z=a十bi(a,b∈R),由x2=1,可得(a2-b)+ 若|z-i=1,即|x-i=1=|a+(b-1)i= 2abi=1, √a2+(b-1)2=1, 则a=士1，b=0,即x=士1，则之=x,故C正确； 所以a2+(b-1)2=1,即之表示以(0,1)为圆心，以1为 对于D,设z=x十yi(a,b∈R),则之一2=(x-2)十yi,若 半径的圆上的点， |x-21=1, 且之表示圆上的点到原，点的距离，所以z的最大值为 则(x-2)2+y2=1,即，点Z在以(2,0)为圆心，1为半径 2,故C正确； 的圆上， 若|之-i|=|之|+1，即|-i|=|a+(b-1)i| 设过原，点与圆相切的直线为y=x,即x一y=0, =√a2+(b-1)2, 则圆心到切线的距离d=。2k |z|+1=√a2++1,即√a2+(b-1)z=√a2+ V2+(-12=1,解得二 +1, 化简可得b=-√a2+b2,则a=0且b≤0， 此时之可能为实数也可能为纯虚数，故D错误。 所以童线0必0为原点)纤率的取位范围为[-侣号] 1⑧ABD解析设复数=a十i,2=c十di(a,b,c,d∈R), 故D正确， 对于A,+2=(a+c)十(b十d)i=(a+c)-(b十d)i 2☒AC解折对于A,因为z(1+i)=2-i,所以之=干 2-1 (a-bi)十(c-di)=1十x2,A正确； 对于B,2=(ac-bd)+(ad+bc)i,2=(ac-bd) +39二}-含 407 答案 实战高考·数学 所以-√》}+（了=，故A正确 大值为W√10+1，故D错误. 2 22BD解析对A,由之n+1=z号可得数列V2,2,4,16,…, 对于B,由上可知，之的虚部为一 ，故B错误， 不合题意，故A错误； 对于C因为=十i所以· 对B,由之+1=号可得数列一i,一1,1,1，…， 则存在一个正数M=2,使得zn<M对任意n∈N都成 (日)（合+）=，故C正确； 立，满足题意，故B正确； 对C,由之+1=号可得数列1-i,一2i,-4,16,…,不满足 对于D,记复数w对应的，点为A(a,b),复数2z对应的点 题意，故C错误； 为B(1,一3)， y 对D,由1=暖可符我列}停。一}复。一是+停。 123花 13 -1 因为 -4H 则由u-2x=1可得OA-Oi1=|BA=1,即，点A在 =1, 以B为圆心，1为半径的圆上， 所以存在一个正数M=2,使得|zn|<M对任意n∈N都 所以|OA|的最大值为|O|十1=√10+1，即|w的最 成立，满足题意，故D正确 高考全国视野 真题精练 则之=1一2i在复平面内对应的点为(1，一2)，在第四 日A损因为=1十i,所以：之产1十户=}-司 象限， 3D解析因为x=a十ai(a≠0，a∈R),所以之-1=a =-i. 1+ai, 2C解析若z=-1-i,则x=√(-1)2+(-1)2= 又|z-1=1,所以√(a-1)2十a2=1,解得a=1或a= √2.故选C 0(舍去)， 日√10解析由题得3=-1(3十》=1-3，所以 所以x=1+i,则2=1-i,所以x·x=(1十i)(1-i)=2, 1 3+=√2+(-3)=√10. 2+x=(1+i)+(1-i)=2. i 4B 解析由(3十4i)之=5i,得之=3十4 5i 模拟精练) 5i·(3-4i)_20+15i_4+3: ①D解析依题意，因为4=1，所以2025=i1=i,所以复 (3+4i)(3-4D) 255+5i, 数-}骨8+99书-登- 所以= 所以之的虚部为1. 2+i=2+中i=1-2i, ⑤A解桐由题意，得z=4X506+ 2D解析设之=a+bi(a,b∈R),则(a十bi)i一 i (a-bi)=a+bi+i, 所以之=1十2i,则之在复平面内对应的，点位于第一象限. 整理可得（一a-b)+(a十b)i=a十(b+1)i, 6A解析因为刘1=1十2i,所以，点Z1(1,2). 因为，点Z与点Z2关于直线y=x对称，所以Z2(2,1), |-a-b=a, 所以 a+b=b+1 解得/01， b=-2, 所以1-2|=|Z1Z2|=√(1-2)2+(2-1)2=√2. 专题六。数列● 6.1数列的概念及表示 山东新高考全练 解：(1)由题设可得b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3十1= a2m十3，即b+1=bn十3，即b+1一bm=3,所以{bn}为等差 a2+2+1=5, 数列，故bm=2十(n-1)×3=3n-1. 又a2m+2=a2m+1+1,a2m+1=a2m+2(n∈N*),故a2m+2= (2)设{an}的前20项和为S20,则S20=a1十a2十a3+ 408