4.1 三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换(实战册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

专题四 三角函数与解三角形 4.1三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 过去考什么 山东新高考全练 m答案：P383 1.(2024新课标I卷，4,5分；考点2)已知 n-名 cos(a十β)=m,tan atan B=2,则cos(a 一B)=() 3.(2021新高考I卷，6,5分；考点2)若tan0= A.-3m -2,则sin6十sin20=( sin 0+cos 0 c罗 D.3m A6 R昌 2.(2023新课标1卷，8,5分；考点2)已知sin(a一 c号 DS B)= 3,6 os asin日=g,则cas(2a 4.(2020新高考I卷，9,5分；考点2)已知a∈(0， +23)=( π)，且3cos2a一8cosa=5,则sina=( Ag B. A号 B号 c n 将来考什公 山东模拟专练 答案：P384 考点闯关) 考点①三角函数的概念、同角三角函数的 基本关系及诱导公式 1.(2024山东青岛一模)2024年2月4日，“龙 0 行中华一甲辰龙年生肖文物大联展”在山 图1 图2 东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有 A.6.8cm2 B.9.8cm2 “龙”的元素或图案.出土于鲁国故城遗址 C.14.8cm2 D.22.4cm2 的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是 2.(2025山东烟台一模)已知tana=一2，则 这样一件珍宝.玉璜璜身满刻勾云纹，体 cos(2+a) 扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型 =( ) 双龙，造型精美.现要计算璜身面积（厚度 sin(a）sin(-a】 忽略不计)，测得各项数据（图2）：AB≈ A.- 2 3 R号 C.-2 D.2 8cm,AD≈2cm,AO≈5cm,若sin37°≈ ，入3.14，则璜身（即曲边四边形AB 考点2三角恒等变换 3 CD)面积近似为() 3.(2024山东烟台-模)若cos(a-)=},则 sin 2a=() 39 实战册 实战高考·数学 A-哥 B哥 C.2 号 c号 n号 5.(2025山东泰安一模)已知tan(a-牙)=3， 4.(2024山东枣庄一模)已知tana=2, 则cos2a=() tan(a十g)=-l,则si(a段=( ) cos(a十β) A司 B- A c- 分层闯关) 基础题组 ag D235 1.(2025山东聊城一模)已知角a∈(0，π)，向 5.(2025山东菏泽一模)若a∈(0，π)，tan2a= 量a=(1,3),b=(cosa,sina),若a∥b,则 c则sne+)=( ) a=() A臂 Ba A一 2 B.一2 C. D.8 c n号 2.(2024山东泰安一模)若c0s(受+20- 能力题组 4sina=一2，则tan2a=( ) 6.(2024山东淄博二模)设B∈(0，罗)，若 A.-2 s血a=3snar2g0,an9=号，则ltan(a C.2 n 28)=() 3.(2024山东枣庄二模)已知角α的顶点与原点 A、2 4 B号 重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过 点P(cos,sin),则cos(a-)=( ) C、② D号 7.(2025山师附中一模)若函数f(x)=2sinx A.0 B +cosx一√3，x∈(0，π)的两个零点分别为 c号 n x1和x2,则cos(x1十x2)=( 4.(2025山东日照一模)已知α是第一象限角，且 A-号 &号 sina+cosa=3 s atan,则sin(a+)的 c D号 值为() 8.(2025山东青岛一模)在平面直角坐标系 A.一5 B-25 中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆 5 上，以2rad/s的角速度按逆时针方向做匀 40 ○专题四三角函数与解三角形 速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为 培优题组 半径的圆上，以1rad/s的角速度按逆时针 11.创新题(2024山东临沂一模)已知向量a= 方向做匀速圆周运动.A、B分别以A。(0, (cosx,2sinx),b=(2cosx,√3cosx),函 1)、B(2,0)为起点同时开始运动，经过ts 数f(x)=a·b. 后，动点A、B的坐标分别为(x1,y)、(x2, y2),则y十x2的最小值为() (1)若f)=号，且∈（后）求 A.-3 B.-2 cos2xo的值； c-多 D.-1 (2)将f()图象上所有的点向右平移需个 9.(2024山东枣庄二模)在△ABC中，∠ACB 单位，然后再向下平移1个单位，最后使所 =120°，BC=2AC,D为△ABC内一点，AD ⊥CD,∠BDC=120°，则tan∠ACD 有点的纵坐标变为原来的，得到函数 =() g)的图象，当x∈[一吾，]时，解不等 A.22 a婴 式g)≥2 C.√6 10.(2024山东聊城一模)在梯形ABCD中， AD∥BC,设∠BAD=&,∠ABD=B,已知 cos(a-B)-2sin(a+3)sin(B+3). (1)求∠ADB; (2)若CD=2,AD=3,BC=4,求AB. 41 实战册 实战高考·数学 他省考什么 高考全国视野 答案：P386 真题精练) xOy中，角α与角B均以x轴的非负半轴为 1.(2025新课标Ⅱ卷，8,5分)已知0<a<π， 始边，它们的终边关于直线y=一x对称.若 cos号=9，则sin(。牙）=( sima-号，则cosg-() C. n将 A R一哥 c D- 2.(2024新课标l卷，13,5分)已知a为第一象限 2.(2025安徽滁州一模)已知角α的始边与 角，3为第三象限角，tana十tanB=4,tan atan3 x轴的非负半轴重合，终边上有一点 =√2+l,则sin(a十) P(-1,2),则}+tane 1 。=() 1-tan a cos 2a 3.(2023全国乙卷，14,5分)若∈(0，)，tan0= A-B c- D.5 2则sm0-cs6= 3.(2025山西太原一模)已知0s(牙+0)- 4.(2024北京卷，12,4分)已知a∈[否，]，且 2os(至-0），则tam0 α与B的终边关于原点对称，则cosB的最大 值为 4.(2025陕西渭南二模)已知sina=2cos(a十 模拟精练 1.(2025安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系 若)，则tan2a- 4.2 三角函数的图象与性质 过去考什必 山东新高考全练 w答案：P387 1.(2025新课标I卷，4,5分；考点1)若点(a, C.6 D.8 0)(a>0)是函数y=2tan(x-牙)的图象的 3.(2022新高考I卷，6,5分；考点2)记函数 一个对称中心，则a的最小值为( f(x)=sin(o+平)十b(w>0)的最小正周 A否 B琴 期为工.若<T<,且y=fx的图象关 c D. 2.(2024新课标I卷，7,5分；考点1)当x∈ 于点(，2)中心对称，则f(受)=() [0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x A.1 B )的交点个数为() A.3 B.4 D.3 42Q实战册参考答案及解析 且当x0时，F(x)→-∞；当x→+o∞时，f(x)→-a, A1)解：由f)=alh名-x可得f)=alnx-a- 故F()的值城为(-o∞，。-a] (x)=a-1, 设G(x)=8(x)=e x x -a,x∈(0，十∞)，则G(x) f(1)=-a-1,f(1)=a-1, =e(x-1) 故切线方程为y+(a+1)=(a-1)(x-1),即y= 22 (a-1)x-2a. 当0<x<1时，G(x)<0,则G(x)在(0,1)上单调递减； (2)解：函数f(x)=alnx-a-x定义域为(0，+o∞)， 当x>1时，G(x)>0,则G(x)在(1，十∞)上单调递增. 所以G(x)min=G(l)=e-a, f(x)=a-1=a-x, x 且当x0时，G(x)→十o∞；当x→十∞时，G(x)→十∞， 当a≤0时，f(x)≤0，此时f(x)在(0，十∞)上单调递减， 故G(x)的值域为[e-a,十oo). 此时f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去. 依题意，)的债城是的债城的子集。 当a>0时，令f(x)=0,得x=a, 此时在(0，a)上f(x)>0,f(x)在(0，a)上单调递增， 显然ae,若a<e,则的值战为(0。]：不合题 在(a,+∞)上f(x)<0,f(x)在(a,+∞)上单调递减， 意，舍去； 当x→十∞，f(x)→-∞，x→0，f(x)→-∞， 故要使f(x)有两个零点，则需要f(a)=alna一2a>0,解 若a>e,尉G的值城(-0，ea]U0十ao), 得a>e2. 则需F()的值战(-，是-a](-o,。a]U(o, (3)证明：由f(x)十a=0可得anx-x=0, 由(2)可知，当a>0时，x一alnx=0才有两个不相等的实 a>e, 根，且x0>0, 则要证a-D>即证后动，即证1->品 a a xo 筛上，实a的取位花围为[e+。十) 而知一ah0=0,则a=。(如≠1，香则方程不成 3[-l,十o∞)解析由题意，f(x)min≤g(x)min,当 立)， x<1时，x-1<0,er-e<0,所以f(x)>0; 当x≥1时，x-1≥0，ex-e≥0，所以f(x)≥0， 所以即证1-h>云化简得刘一n0-1>0, 等号仅当x=1时成立，所以f(x)min=0. 令gw)=0-1n0-1,则g(0)=1-1=201, 所以对Hx∈(0，十∞)，g(x)≥0，即x-lnx十a≥0，即 当0<x0<1时，g'(x0)<0,所以g(x0)在(0,1)单调 a≥lnx-x. 令h(x）=lnx-x,则K(x)=1-1=1二(x>0), 递减， 当x0>1时，g(x0)>0,所以g(x0)在(1，十o∞)单调 当0<x<1时，h'(x)>0;当x>1时，h'(x)<0, 递增， 所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十o∞)上单调递减， 所以g(x0)≥g(1)=0,而x0≠1，所以g(x0)>0, h(x)max=h(1)=-1,因此a≥-1. 所以(a-1)xo>a,得证. 专题四)三角函数与解三角形 4.1三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 山东新高考全练 ①A解析因为cos(a十B)=m,所以cos s B--sin asinB 所以cos(2a+2B=cos2(a十B)=1-2sin2(a十B)=1 =m,而tan atan B=2,所以sin asinβ=2 cos acos B, 故cos acos B-2 cos acosβ=m即cos acos B=一m,从而 2x(号》产-日 sin asin B--2m,cos (a-B)=-3m. 解析由题意可得：sin01十sin20 sin 0+cos 0 2B解t析因为sin(a一p)=sin cos-cos asin B-3, 1 -sin (sin20+cos20+2sin 0cos 0) sin 0cos 0 而cos in月=日，因此sin=7,则sin(e十)- sin 0 sin20叶cos20叶2sin0·cos0=tan0 sin 0+cos 0 sin2 0cos2 0 2 tanf外1· sin acos Bcos asin tan20+2tan0+1_2 tan2 0+1 51 383 答案 实战高考·数学 ④A解析3cos2a-8cosa=5,得6cos2a-8cosa-8= 2(舍去). 0,即3cos2a-4cosa-4=0,解得cosa= 2 或cosa 又a∈(0，x),.sina=V1-cos2a=5. 山东模拟专练 考点闯关) 2C解析由cos(5+2a）-4sin2a=-2,得-sin2a 考点①三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及 4sin2a=-2, 诱导公式 ①C解析显然△AOB为等腰三角形，OA=OB=5cm, 即2 sinco+4sin2e=2,即2tana+4tan2e=2, sin2a+cos2a tan2a1 AB=8cm,则cos∠OAB= AB 所以2tana十4tan2a=2tan2a十2，所以tana=1-tan2a, 4 OA ,sin∠OAB=3,即 5 则tan2a= 2tan a=2. 1-tan2a ∠0AB≈37，于是∠A0B=106°=53x, 90 目D降玩周为P(os吾，sm号)，即P(分，号)， 所以镜身的面积近似为2∠A0B·(OA2一OD2) 1 2十 即角。的终边经过点P(},),所以sina- 2,cos a 53x×(53-32)≈14.8(cm2). 90 1 =2’ 2C解析 cos(经+a) -sin a si如(xa）-sin(g-) sina十cosa 所以o。若)=+snas吾=×号十 m=--2 2 ×- ④D解析因为sina十cosa=3 cos atan a, 考点②三角恒等变换 所以sina十cosa=3sina,所以cosa=2sina,左右两侧平 3c 解析由cos(a-卒）=号可得cos(2a-受） 方得cos2a=4sin2a=4(1-cos2a), 所以5cos2a=4.又因为a是第一象限角，所以cosa= =2cos2(。圣）-1=-名，故cos(a）=s如2a 25,则sm(a+受）=s。-2 5 7 9 ④D解析因为tana=2,tan(a十B)=-l,所以tan= 6c霸：ama-w曲2-280 cos 2a 2 cos2a-1 sin a 2cos a -1-2 tan (a+B)-a]= tan (a+B)-tan a =1+2X(-1D cos1”a∈(0，r),小sina≠0,2coa2= 1+tan (a1B)tan a 1 1 =3, c0s十化简得c0sa=一号e-经 所以sin(a--sin acoscos asinB_tana-tang cos(a+β)cos acos B--sin asinβ1-tan atan B ∴sin(e+吾）=sin(经+若）=sim爱=2 2-3 1-2X3=5 能力题组 ⑥A解析由sina=3sin(a+2,8),得sin[(a+28)-2,8] 5B 醒折依题意，tan(e-子)=an=3,解 1+tan a =3sin(a+23), 得tana=一2， 则sin(a+2)cos2B-cos(a+2,B)sin2β=3sin(a+28),即 cos 2a=cos2a-sin2a-cos asin2a_1-tan2a_1-4 sin(a++28)(cos 28-3)=cos(a+28)sin 28,tan(a+ cos2a+sin2a 1+tan2a 1+4 sin 28 2sin Bcos B8 23)= cos 2B-3 cos2B-sin2B-3 cos2B-3 sin2B 2sin Bcos B tan B 分层闯关) -2cos2B-4sin2β 2 tan28+1' 基础题组 2 ①B解析因为a∈(0，π)，则sina>0, 而tang= ,所以tan(a十23) 2 2 2X2)2 +1 向量a=(1W3),b=(cosa,sina),若a∥b,则sina 2 √3cosa>0,可得tana=√3， 7A 解析函数f(x)=2sinx十cosx一√3= 故a=于 5sin+p）-,其中sing-写， 5 384 ○实战册参考答案及解析 由f(x)=f(x2)=0,得sin(x1十p)=sin(x2十p)= ,而十p,m十9e（p+p, 即ADB-9 又∠ADB∈(0，x),故∠ADB=否， 因此十g叶十9=，即g登-西支2， 2 (2)由AD∥BC,故∠DBC-∠ADB=否， 则血（昏）=与，即吉整=得，所以 2 由正弦定理可得 CD =-BC s（n十)=28垫-1=2x9)°-1=-昌 sin∠DBC sin∠BDC' 甲∠-图0立 BC解析由三角函数的定义可知，1=sin(2u+受) CD 2 cos 2t,x2=2cos t, 故∠BDC=5,则BD=VBC2-CD=V4-2z=23, y1+x2=cos 2t+2cos t=2 cos2t+2cos t-1. 由余弦定理可得AB2=AD2十BD2-2AD· 图为2o3+2sg-1=2(es叶2}尸-号≥-号，共 BDcos∠ADB, 中-1≤cost≤1， 即AB2=9+12-18=3,故AB=√3. 培优题组 当且仅当cost=一 时，等号成立，故1十”的最小值 1M解：(1)因为a=(cosx,2sinx),b=(2cosx,W3cosx), 为是 函数f(x)=a·b, 所以f(x)=2cos2x+2√3 sin xcos z=cos2x+1+ 日B解折在R△ADC中，设∠ACD=0(0<K受)，令 AC=x(x>0), 5sin2x-2(分os2x+号n2z)+1=2sin(2x+吾)） +1. 因为f)=号，所以2s(2m十若)+1=号，所 以sin(2am+吾)=号 则CB=2x,CD=xcos0,在△BCD中，可得∠BCD=120° 又∈（吾，爱），所以2+晋∈（受，）， -0,∠CBD=0-60°， 由正孩定理CDBn光BD将答- BC CD xcos 0 所以cos(2m+若）=√1-sin2(2w+若)=-号， w3sin(0-60) 所以os2=cos[(20+晋）吾]=os(2+晋) m xcos 0 ，所以4= 含an0-g,可得an9 1 2 cos 0 31 cos若+sin(2zw+否)sin君 2 3Y9中m∠ACD-35 10 2 10解：(1)cos(a-B)=cos acos B+-sin asin B, (2)将f(x)图象上所有的点向右平移否个单位得到y二 2sn(e+号)sn(g+5）=2(合sna+os)(合n月 2sin2(z-)+否]+1=2sin(2x-）+1, +s=2(na 4 sin+y9。 4 sin Bcos a 再将y=2sin(2x-石)+1向下平移1个单位得到y= +o), 2sin(2x-若）， 2cos acos B+2sin asin B=sin asin B+3sin acos B+ 最后将y=2sin(2x-否)的所有点的纵坐标变为原来的 3sin Bcos a+3cos acos B, sin asin B-cos acos B=3(sin acos B+sin Bcos a), 2得到y=sim(2红-晋）， 即-cos(a+)-3sin(a+g,即tan(a+g)=-3 3 即g)=sn(2x-看)： 又a+B=T-∠ADB,故an(x-∠ADB)=-5 39 由g)≥2，即sin(2红-晋）≥2，所以吾+2kx≤2x 385 答案 实战高考·数学 吾≤爱+26m,kEZ 又xe[-吾，]所以xe[吾，]， 解得石+≤≤交+km,b∈Z, 即在x∈[-否，5]时不等式g(x)≥的解集 令=0可得x[晋，受]，令=-1可得x[-语 为[] -], 高考全国视野 真题精练 因为an908-2:则cos0-2sn0,且os29+s0= 0D图霸a=2号-1=2x(停）-1=一是， 4sm0十in20-5sng1,解释s血0-得或如0-=-有 5 因为0<a<,则<a<元，则sina=V1-cos2a= （含去)，所以sin0-cos0=sin0-2sin0=一sin0=-5 5 √1-(--告， a-2 解析由题意B=a十π十2kπ，k∈Z,从而cosB= 则sin(a-平)=sin acos平 cos(a十r十2kr)=-cosa. 4 (-)×号-语 因为∈[吾吾]，所以cosa的取准范国是[号，]， 10 2-22 解析方法一：由题意得tan(a十)= s尚取值范西足[，名] 3 tana+tanβ 4 当且仅当a= ，即-钙+26m,kE乙时，cos9取得最大 I-tan atanB1-(2+1)--2v2, 位，且最大值为一2 因为a∈(2kx,2m+受)，A∈(2mm+x,2mm+), 模拟精练) k,m∈Z, ①B解析若角α的终边在第一象限，设终边上一点 则a+B∈((2m十2k)元+元，(2m+2k)π十2x),k,m∈Z. P(x,y),则P关于y=一x对称点P'(-y,一x)在B终 又因为tan(a十B)=-2√2<0， 边上，此时cosB= -y -y 则a+8c(2m+2k)x+,(2m+2k)x+2x)k,m∈Z, √(-y)2+(-x)2 =x2+ 则sin(a+3)<0, 则nCa士--22，联立sin2(a十B)+cos2(a十g)= 若角。的终边在第二象限，设终边上一点Q(x,y),则P cos(a+8) 关于直线y=一x对称点Q(一y,一x)在B终边上，此时 1,解得sim(a十g)=-2y2 -y -y 3 cos B= √-y(-V2 =一sin=-子 方法二：因为a为第一象限角，B为第三象限角，则cosa 2B解析由题意可得x=一1，y=2,因此，r= >0,c0s3B<0, √(-1)2+22=√5， cos a 1 cos a= √/sin2a十cos2a√1+tan2a 所以sina= 2 cOS a=- 1 √51 5tan a=-2, cos B -1 cOs B= 所以吉。 1 1十tang_ 1 1-2 √sin2B+cos2p√1+tan2p1 cos 2a 1-tan a cos a-sin a1+2 则sin(a十B)=sin acos B+cos asin B=cos acosβ(tana+ 1 4 -4 1_4-3 tan B)=4cos acos B= 55 √I+tan2a√I+tan2g 一4 -4 -号解标因为0s(贤+)=2cs(-9），所以 √(tana+tanB2+(tan atan B-l)z√+2 2W2 号s0-号sn0=2(停s叶号sn0小 3 化简得cos0-sin0=2(cos0+sin0),所以3sin日= 解析因为0e(0,5),则sin>0,cos9>0.又 -cas8,得m=-子 386 Q实战册参考答案及解析 ④4v3解析由sina=2cos(a+晋，可得sina=3cosa 2tan a 3 -=4V5. 所以tan2a-1-tan2a1一号 ③ -sina,所以tana= 4.2 三角函数的图象与性质 山东新高考全练 日B解析根据正切函数的性质，y=2an(x一于)）的对 w号(k-)，k∈Z,取及=4，可得w 称中心横坐标满足x一吾-经k∈乙， f)=sim(8x+F）+2, 即y=2an(x-吾)的对称中心是（受+经，0），k∈Z,即 则f(受)=sim(受×受+)+2=-1+2=1， a=5+经，k∈z ④BC1 而由高数因象可知：哥-号一音-受，则。 又a>0,则k=0时a最小，最小值是号，即a=哥 2红=2r=2,所以不选A Tπ 2C解析因为函数y=sinx的最小正周期为T=2π， 2 函数)y=2n(3x-答)的最小正月期为T=,所以在 当x= 86二爱时.y=-1,剥2×罗十p还 2 2kπ(k∈Z), x∈[0,2m]上函数y=2sin(3x-石)有三个周期的图象， 在坐标系中结合五，点法画出两函数图象，如图所示： 解得甲=2x十号xED,即函盘的解桥式为y =2sin3r-g》 sn(2x+号x+2km)=sm(2z+吾+5）=cos(2x+看) 2 y=sin x =sin(5-2x)】 12π心 而cos(2x+若）-cos(g-2z) -2-- ⑤[2,3)解析因为0≤x≤2π，所以0≤wz≤2wm,令 由图可知，两函数图象有6个交点。 f(x)=cOS wx一1=0，则cosx=1有3个根，令t=wx, 目A解折函数f(x)=sin(az+牙)十b(w>0)的最小 则cost=1有3个根，其中t∈[0,2wm], 结合余弦函数y=cost的图象性质可得4π≤2wm<6π，故 正周期为工则T-名由管<T<,得学<< 2≤w<3. 2<m<3.:y=f)的图象关于点(，2）中心对称， 6πt ∴b=2,且sin(贸十平)=0，则受w十圣=km,k∈z Cost 山东模拟专练 考点闯关) 所以2X登十g=-受+2x,k∈Z,解得9=一誓+2， 考点①三角函数的图象及其变换 0c解折函教y=sn3x=sin[3(x+登)一子]，因此 kC五又0<<，所以g三 把函数y=sim(3x一平)图象上的所有点向左平移器个单 则f）=3sin(2z+）, 位得到函数y=sin3x的图象. 所以g(x)=5sim(2x+）-2si2(受+x)+1- 2ACD解析对于函数f(x)=Asin(wx十p)(A>0,w> 0,0<p<π)， V3sin(2x+)+cos(2x+x) 由图可知A-爱-(-晋）是T-是·5则w2, =3(-号sn2z+9cas2z）-cos2z=70s2z 所以f(x)=√3sin(2x十p)(0<p<π). 又f()-3sin(2×经+）=-5， 5sin2x=cos(2x+5)月 387