2.3 函数图象与零点(实战册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

实战册 实战高考·数学 5.(2025贵州毕节二模)已知函数f(x)= lg(x2+9),0<x≤1， 在定义域内单调递 e2x-m在区间[一1,3]上单调递增，则实数 ax2+3x+2,1<x<2 m的取值范围是( ) 增，则a的取值范围为( A.(-∞，-2] B.(-2,6) A.[-4,+o∞) B.[2,+∞) C.[-2,6] D.[6,+∞) c[-2 6.(2025河南模拟)已知函数f(x)= 2.3 函数图象与零点 过去考什么 山东新高考全练 答案：P353 (多选)(2022新高考I卷，10,5分；考点2)已 B.f(x)有三个零点 知函数f(x)=x3一x+1,则( C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 A.f(x)有两个极值点 D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 将来考什么 山东模拟专练 答案：P354 考点闯关 考点①函数图象 1.(2024山东济南一模)函数f(x)= (e一1)sinx,则y=f(x)的部分图象大致 e2十1 形状是( 考点2函数零点 3.(2025山东菏泽期中)若关于x的方程x3一 x2一x一1一2k=0有3个不同的根，则实数 k的取值范围为() A(品) 2.(2024山东实验中学一模)在同一直角坐标 B(-1,-》 系中，函数y=是y=log(x+号)(a>0且 C.(-1,+∞) a≠1)的图象可能是() n.(-a,2》 4.(2024山东潍坊二模)请写出同时满足下面 三个条件的一个函数解析式f(x)= ①f(1一x)=f(1十x);②f(x)至少有两个 零点；③f(x)有最小值. 16 ○专题二函数及其性质 分层闯关 基础题组 C.f(x)在[0，π]上有唯一零点 1.(2024山东青岛二模)函数f(x)=a-a(a D.f(x)在[0，x]上有最小值为-2 >0,a≠1)的零点为() 6.(多选)(2025山东临沂二模)设函数f(x)= A.0 B.1 x3-3x-2,则( C.(1,0) D.a A.f(x)有3个零点 2.(2025山东济南期中)已知函数f(x)= B.过原点作曲线y=f(x)的切线，有且仅有 x2+4x,x≤0， 若方程f(x)一a.x=0 一条 ln(1-x),0<x<1, C.y=f(x)与y=ax一2交点的横坐标之和 恰有2个不相等的实数解，则α的取值范围 为0 是( ) D.f(x)在区间（一2,2）上的取值范围 A.(-∞，0] B.[-1,0] 是[-4,0) C.[-1,4) D.[0,+∞) 7.(2024山东日照一模)若函数f(x)=|lnx| 3.(2025山东德州期中)已知函数f(x)= a的四个零点成等差数列，则a= 8,2<2, 能力题组 若函数g(x)=f(x)一ax h2<8, 8.(2025山东淄博一模)已知函数f(x)= 有三个不同的零点，则实数a的取值范 2-2sin,0≤x≤2 若存在实数x1、x2、 围是( -x+1,x<0, [,2》 [2, x3且x1<x2<x3,使得f(x1)=f(x2)= c n,] f(x3),则x1f(x1)十x2f(x2)十x3f(x3)的 取值范围为( 4.(2024山东威海一模)已知定义在R上的偶 B.(-∞，2] 函数f(x)满足f(x)=f(2一x),当x∈ A(-,8】 [-1,0]时，f(x)=x+1.函数g(x)= c[] D[2,] ex-1(-1<x<5),则f(x)与g(x)的图 9.(多选)(2024山东实验中学一模)对于函数 象所有交点的横坐标之和为() sin x,x∈[0,2] A.6 B.8 C.10 D.14 f(x)= 2fx-2),ze2,+o, 下列结 5.(多选)(2024山东实验中学一模)已知函数 f(x)=sin xcos x一2sinx+x,则() 论正确的是() Af(x)在[0，]上单调递增 A.任取1，x2∈[2，十∞)，都有f(x1)一 Bf八)在[x]上单调递增 f(x2)|≤1 B.函数y=f(x)-ln(x-l)有2个零点 实战 实战高考·数学 C.函数y=f(x)在[4,5]上单调递增 的轨迹方程是y=f(x),则( D.若关于x的方程f(x)=m(m<0)有且只 有两个不同的实根x1,x2,则x1十x2=3 培优题组 10.创意题（多选）(2024山东日照三模)在平 A.方程f(x)=2在[一3,9]上有三个根 B.f(-x)=-f(x) 面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为 2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚 C.f(x)在[6,8]上单调递增 D.对任意x∈R,都有f(x十4)=一 1 动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x,y) f() 他省考什么 高考全国视野 答案：P356 真题精练 g(x)=lnx十x-ln2025的零点，则x1x2 1.(2025天津卷，7,5分)函数f(x)=0.3x一 的值为( √元的零点所在区间是( A2025 B.2025 e e A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.√2025 D.2025 C.(0.5,1) D.(1,2) 3.(2025辽宁抚顺模拟)函数f(x)=kx一4十 2.(2025天津卷，3,5分)已知函数y=f(x)的 xlog2x在区间[1,4)内有零点，则实数k的 图象如下，则f(x)的解析式可能为() 取值范围为( A.[-4,1) B.(-4,1] C.[-1,4) D.(-1,4] 4.(2025陕西西安二模)已知函数f(x)= 2+a,x<0, 若f(x)在R上有2个零点， -x十2，x≥0， 则a的取值范围是() A.f(x)=1-1x B.f(x)=1x- A.(-∞，-1) B.(-1,0) D=4 C.(-∞，-1] D.[-1,0) 5.(2025四川成都二模)已知函数f(x)= 模拟精练 2sin2x,x≠5+km,k∈Z, 1.(2025河北一模)函数f)=sinx+)在 若方程f(x)= tanx,x-3+m,k∈Z. (0,10)上的零点个数为( √3在(0，m]上恰有4个不同实根，则m的取 A.3 B.4 值范围是( ) C.6 D.8 A[,) 2.（2025云南曲靖一模)已知x1是函数 f(x)=xlnx-2025的零点，x2是函数 c[, 18Q实战册参考答案及解析 综上所述，-a=1-b,即b=a十1， logs 2>logs 2>10g6 2,c>a>b. 则+-c2+a+1)2=2(a+3》+号，当且仅 ④B解析因为f(x)=elx-1|十1，所以f(2-x) e2-x-1l+1=el1-x+1=f(x), 当a=合，6=合时，等号成立， 即函数f(x)关于x=1对称，当x≥1时，f(x)=e1十1 所以a2+的最小值为2 单调递增， 所以函数f(x)在（一∞，1）上单调递减，在(1，十o∞)单调 方法二：由题意可知：f(x)的定义域为（一b,十∞）. 递增. 令x十a=0,解得x=-a;令ln(x十b)=0,解得x=1-b. 因为f(x-1)<f(-x),所以|x-1-1<|-x-1, 则当x∈(-b,1-b)时，ln(x十b)<0,故x十a≤0，所以1 -b+a≤0； 解得x>号，即x的取值范国是（分，十∞ 当x∈(1-b,十∞)时，ln(x十b)>0,故x十a≥0，所 -2x十m,<受 以1-b+a≥0： ⑤A解析令u=|2x-m= 则函数 故1-6+a=0,则a2+2=a2+(a+1)2=2(a+号)月 2x-m,x≥受， 1 “=12x-m的减区同为（一-0，受]增区间为 当且仅当a=一号：b=时，等号成立，所以2+的最 [贸，+∞)人又因为函数f)=e2m在区间 小值为2 [一1,3]上单调递增，且外层函数y=e“在R上为增函 目64由gag4。ea一号丝 数，所以[-1,3]=[受十∞小，可得受<-1，解得m≤ -2, 理得(log2a)2-5log2a-6=0, 因此，实数m的取值范围是（一∞，一2]. 所以log2a=一1或log2a=6.又因为a>1,所以log2a=6 ⑥D解析由y=lg(x2+9)在(0,1]上单调递增，则值域 =log226,故a=26=64. 为y∈(1g9,1]. 模拟精练) 3 日C蟹折由)=（侵）”在区间1,2)上单调 由y=ar2+3x十2对称轴为x=一a, 递减，则需要y=x(x一a)在区间(1,2)上单调递增，由对 当。0时，y=a2+3x十2开口向上，则2a1,显然 a+5≥1， 称轴x=号，则号<1，解得a≤2. a>0成立； BD断根据题客，函数心-a·十2=a+是=a 当a=0时，y=3x十2在(1,2)上单调递增，且3×1+2> 2x 1,显然a=0成立； 十21-x,则f(-x)=a十21+x. 若f(x)为奇函数，则f(x)十f(一x)=2a十21-x十21+x=0, 当a<0时，y=ax2+3x十2开口向下，则 即a=一(2-x十2x),a的值不是常数，即无解. a+5≥1， 3A解析由a=一l1og酷(4×5)=21og52+1,b 3 1og6(4×6)=21log62+1,c-log3(4×3)-21og32+1,且 则一 3≤a<0.综上，≥ 4 2.3 函数图象与零点 山东新高考全练 AC解析由f(x)=x3-x十1，得f(x)=3x2一1.令 f>0得>或- 因为9-1+2g0得）-1-2>0 f(-2)=-5<0, 令了<0得-<r<,所以在(-停，)上 所以函数f在(-0，一得）上有一个零点， 单调递减，在(-0，-)，（气，+∞）上单调递增，所以 当x≥号时，0≥f(图)>0，印画数田在（停。 工=士是极值点，故A正璃 十∞)上无零，点. 353 答案 实战高考·数学 综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误 线y=f(x)的对称中心，故C正确.令f(x)=3x2一1= 令h(x)=x3-x,则h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3十 2,可得x=士1.又f(1)=f(-1)=1,当切，点为(1,1)时， x=-h(x), 则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图 切线方程为y=2x一1，当切，点为(-1,1)时，切线方程为 象向上移动1个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲 y=2x十3，故D错误.故选AC. 山东模拟专练 考点闯关) 故答案为：x2一2x(答案不唯一). 考点①函数图象 分层闯关) ①A解析函数y=f(x)的定义域为R,∫（一x)= 基础题组 (ex-1Dsin(-x2-(e-1)sinx=f(x),即函数y= 1B解析因为f(x)=ax-a(a>0,a≠1)， e-x+1 ez+1 令f(x)=ax一a=0,解得x=1,即函数的零点为1. f(x)为偶函数，排除BD,当x∈(0，)时，f(x)= 2C解析当x≤0时，f(x)=x2+y外 4x,由二次函数的性质可知f(x)在 (e-1)sin0,排除C. ez+1 （-∞，一2)上单调递减，在(-2,0] 2D解析当0<a<1时，函数y=ax过定，点(0，l)且单 上单调递增。 调诡减，则画数)y一过定点(0,1且单调递增，画数y 令g(x)=x2十4x,则g(x)=2x十 4,所以g'(0)=4. 1g(x+号)过定点（侵，0）且单调递减，D选项符合；当 当0<x<1时，f(x)=ln1-x),f(x)=x-1<0,fx) a>1时，函数y=ax过定点(0,1)且单调递增，则函数y 在(0,1)上单调递减. -过定点(0,1D且单调递减，函数y-10g(+)过定 令h(x)=ln(1-x),则h'(0)=-1. 作出y=f(x)的大致图象，如图所示. 点（分，0）且单调道增，各选项均不符合.综上，选D 方程f(x)一a.x=0恰有2个不相等的实数解，也就是 f(x)的图象与直线y=ax恰有两个公共点.由图易知所 考点2函数零点 求a的取值范围是[-1,4). 3B解桐由方程x3一x2-x一1一2k=0有3个不同的 ③B解析因为g(x)=f(x)一ax有三个不同零点，所以 根，即x3一x2一x-1=2k有3个不同的根. f(x)=ax有三个不同实根， 令f(x)=x3-x2-x-1,x∈R,则f(x)=3x2-2x-1 所以y=f(x)与y=ax的图象有三个交点. =(3x+1)(x-1). 在同一平面直角坐标系中作出y=f(x),y=ax的图象， 令fx)>0,解得x<-号或>1，令f)<0,解得 当y=ax经过，点(8,2ln2)时， y=f(x) y=ax 21n 2h 所以函数f)在(-，日)和 01 8 (1,十∞)上单调递增，在 (-弓，1)上单调道减， 代入坐标(8,2ln2)可得8a=2n2,解得a=ln2, 4 当y=ax与f(x)(x∈[2,8])的图象相切时， 且f(-})=-器f1=-2, y=fx) 作出f(x)图象如下： 3 y=ax_ 所以-2<2k<器即kc(-1,费》. 8 4x2一2x(答案不唯一)解析取f(x)=x2一2x,其对称 轴为直线x=1,满足①f(1-x)=f(1十x). 设切点为(m,n),因为此时f(x)=ln受，所 令f(x)=x2-2x=0,解得x=0或2，满足②f(x)至少有 两个零点 以x)=子， f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当x=1,f(x)min=-1, 满足③f(x)有最小值. 所以切线方程为y一h号-动（红一西)即y一+n号 354 Q实战册参考答案及解析 对于选项B:设切，点为(x0,y0),则切线方程为y一(x 一1，所以 h号-1=0 可得@=品结合图象可知，若 3x0-2)=(3x6-3)(x-20), 代入原点，得-x8+30+2=(3x-3)(-x0),-x8十 yf)与)一ar的图象有三个交点，则2≤a<记 3x0十2=-3x8+3.x0,x8=-1,x0=-1, 故切线有且仅有一条，正确； ④C解析依题意，f(x)是定义在R上的偶函数，图象关 对于选项C:x3-3x-2=ax-2,x3=(a+3)x,x=0或 于直线x=0对称， x2=a+3, f(x)=f(2一x),所以f(x十2)=f(2一（一x))= 若a十3≥0，根据对称性知，根之和为0， f(-x)=f(x), 若a十3<0，方程只有一个根为0，故正确； 所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x)的图象关于 对于选项D:f(-2)=一8+6-2=-4，f(2)=8-6-2 直线x=2对称. =0,又f(-1)=0,f(1)=-4, 函数g(x)=ex-2|(-1<x5)的图象也关于直线x= 故f(x)在区间（一2,2）上的取值范围是[-4,0]，错误. 2对称. 故选：BC 当x≥2时，g(x)=ex+2,g(x)=-ex+2,g'(2)= -1,g(2)=1. s 解析由f(x)=0,得lnx川=a,由函数f(x)有 当0≤≤1时，-1≤-x≤0，fx)=f(-x)=一x十1， 4个零，点，得a>0, 当2≤x≤3时，0≤x-2≤1，f(x)=f(x-2)=-(x-2) 即有lnx=一a或lnx=a,则f(x)的4个零，点从小到 +1=-x+3, 大依次为一e4,一ea,ea,ea, f(2)=1,所以直线y=一x十3与曲线y=g(x)相切于 依题意，e-ea=2e,即e=3,解得a=,所 点(2,1). 画出f(x)、g(x)在区间(-1,5)上的图象如下图所示， 以a=h3 2 能力题组 y=g(x y=fx) ⑧D解析如下图所示. x=23 令受x=登+x(∈Z),解得 u=fx) 由图可知，两个函数图象有4十1=5（个）公共点， x=2k+1(k∈Z),故当x∈ 所以所有交点的横坐标之和为2×4十2=10. [0,2]时，对称轴为直线x= 日BD解折f(x)=2cos32x-2cosx=2(cosx-合)}月 1,则x2+x3=2.因为f(x1) -10x21 =f(x2)=f(x3),所以 -2,令f(x)≤0>0≤cosx≤1→x∈[0，受]，当x∈ xf(x)+x2f(x2)+x3f(x3)=f(x)(x+2).又因 为f(x1)=-x1十1， [0,受]时，f(x)≤0，f()在[0，]上单调递减，当 xf(x)+x2f(x2)+x3f(x3)=f(x1)(+2) x∈[受x]时，了()≥0，)在[登x]上单润递增： （-+1)m+2)=-号-1+2=-(a+2}+ f(x)在x=5上取极小值为f()=受-2，f(0)=0, 是，由f(x)=-1+1∈1,2]可得∈[-1,0)，则 f(π)=π，f(x)在[0，π]上有两个零点x=0,x2∈ 2≤a+2<2,则0≤(a+2)≤4，所以 (,元，所以AC错，BD对. ⑥BC解析对于选项A:令f(x)=3x2一3=0，x= af)+2f(m)+f()=-(a+2)月 ±1， +∈[2，] x -00,-1) -1 (-1,1) (1,+∞) ⑨AD解析根据分段函数的性质可知：x∈(2,4]时， f(x) + 0 0 + f)sinEx(-2)]sin f(x) 单调增 单调减 单调增 f(-1)=-1+3-2=0,f(1)=1-3-2=-4, 当ze4,6]时，f)=子in,…,可作出函数y 所以f(x)有2个零点，A不正确； f(x)的部分图象，如图所示 355 答案册 实战高考·数学 y=1nc-1) 角函数的对称性可知x1十x2=3,故D正确. y1 培优题组 y=0.5 2y=0.25 0AC解析分析正方形顶，点B的运动状态可知， 678x -0.5 当一4≤x≤一2时，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的 1 圆 对于选项A,易知≥2时，)[-合，号]， 当一2≤x≤2时，B的轨迹是以D为圆心，半径为2√2的 故任取x1,x2∈[2，+o∞)，都有|f(x1)-f(x2)≤1， 国： 当fa)=3,fm)=-合浅f)=-,fm) 1 当2≤x≤4时，B的轨迹是以C为圆心，半径为2的 2时取得等号，故A正确 子国： 当4≤≤x≤≤6时，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的 对于选项B,y=f(x)一ln(x-1)的零，点即y=ln(x-1) 与y=f(x)的交点横坐标， }国 易知y=ln(x-1)在(1，+o∞)上单调递增， 作出函数的图象如下图所示： 而f(2)=sm经=-1=n<n(2-1,r(侵） y十 4 2sm受=2=laln(号-l, f(2)=0=ln(2-1), -8-6-4-3-2024689 利用零，点存在性定理及三角函数的单调性结合图象可知， 由图知：函数y=f(x)的图象与直线y=2在[-3,9]上 y=f)-h(红一1)在(1，)和（号，3）上分别各-个零点 有三个交，点， 即方程f(x)一2=0在[-3,9]上有三个根，A正确， 又x=2也是其一个零点，故B错误。 函数y=f(x)的图象关于y轴对称，所以函数y=f(x)是 对于C项，易知x∈[4,5]→f(x)-4sin元x,此时y= 偶函数，B错误。 函数f(x)在[6,8]上单调递增，C正确， f)在[，号]上单调递增，故C错误。 1 由图象知：f(2)=2,f(-2)=2,f(2)≠-f-2)D 对于D项，由图象可知m∈(-1，一2)时满足题意，由三 错误， 高考全国视野 真题精练 知：函教1=x+1在（品，1]上单调递减，在[1,10）上单 ①B解析由指数函数、幂函数的单调性可知：y=0.3x 在R上单调递减，y=√元在[0，十∞)单调递增，所以f(x) 调递增，且t(1)=2,(0)=1(10)=10.1.所以当x∈ =0.3x一√元在定义域上单调递减， (0,10)时，e[2,10.1D, 显然f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0,f(0.5)= 0.30.5-0.50.5<0, 由y=sint=0→t=kπ，k∈Z.只有当k=1,2,3时，t的值 分别对应π，2π，3π∈[2,10.1) 所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3,0.5). 2D解析由图可知函数为偶函数，而函数f(x)= 又因为x+=,2m,3x在（品10）上各有2个解，所以 x 1-x和函数f(x)=z-为奇函数，故排除选项 fx)在（品10）上有6个零点. AB;又当x∈(0,1)时1-x2>0,x2-1<0,此时f(x)= x1lnx1=2025, >0)-0, 2D解析由题可得 可得x2十 x2+lnx2=ln2025, 由图可知当x∈(0,1)时，f(x)<0,故C不符合，D符合， In x2 =In(xIIn z1)=In x1+In (In x1), 模拟精练) 因为函数y=x十lnx在(0，十o∞)上单调递增，所以x2= In x1,1x2=x1In x1=2 025. 目C解玩令函数二x十子，根据“对勾函教”的性质可 3D解析当x∈[1,4)时，由f(x)=x-4十xlog2x= 356 ○实战册参考答案及解析 0可得+1og2.x-生=0. 2sm2z,+号+k∈乙， ⑤A解析因为函数f(x)= 令g()=k十1oex一兰，因为函数y=-log2.z.y=k-兰在 tamx,=于+kx,k∈Z, [1,4)上均为增函数， 所以当x≠写+km,k∈Z时，方程f(x)=3可化为2sin2x 故函数g()=k+1gx一在[1,4)上为增函数。 因为函数f(x)在区间[1,4)内有零点，则函数g(x)在区 =3,解得x=石+km,∈Z, 间[1,4)内有零点， 所以81)=-40， 则当20时=吾看1g,号… 解得一1<k≤4，因此，实数k的取 g(4)=k+1>0, 当x=牙+kr,k∈Z时，方程fx)=3可化为tanx=3, 值范围是(-1,4]. ④B解析当x≥0时，f(x)=一x十2有1个零，点x=2, 解得x=牙十m,k∈Z, 则当x<0时，f(x)=2x+a只有一个零点， 即方程2x十a=0在x<0时有一个解， 剥当20时=音号行，19一 即方程2x=一a在x<0时有一个解，因为函数y=2x为 因为方程f(x)=3在(0，m]上恰有4个不同实根， 增函数， 且当x<0时，0<2x<1,则0<-a<1,即-1<a<0. 所以这4个不同实根为晋，晋，后，货，则≤m< 2.4函数模型及应用 山东新高考全练 ①B解析因为R=3.28,T=6,R=1十rT,所以r= 因为L%-L%=L%,-40≥10，则20×1g色≥10， 3.28-1=0,38,所以I()=e=Q38,设在新冠病毒疫情初 3 6 始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1天， 则e0.38(+h)=2e0.38t,所以e0.385=2, 所以2>≥√10且2，p3>0,可得2≥V103, 所以038=h2,所以有-68g1.8C天). P3 当且仅当L=50时，等号成立，故B错误。 2ACD解析由题意，可知Lh∈[60,90]，L,∈ [50,60],L4,=40. 对于选项C:因为Lp=20X1g=40, po 对于选项A:可得L-L%=20×1g0-20X1g%=20 o 即1g=2, o Xlg PI 2 可得2=100，即3=100p0,故C正确。 因为Lh≥L,则Lh-L%,=20Xg≥0，即lg p2 ≥0， 对于选项D:由选项A可知：Lh-Lh,=20X1g 所以≥1且加，e>0,可得A≥，故A正确， 且L4-L4≤90-50=40，则20×1g80≤40， 对于选项B:可得L%,-Le=20X1g把-20X1g po o 脚e会≤2，可得是≤10，且加，加>0，所以加≤ 2 =20×1g2, 3 1002,故D正确. 山东模拟专练， 考点闯关) 失一半所需要的时间约为277年 考点函数模型及应用 2B解标设0所对应的极径为Po,则，=ae2, 目D解玩令Q-Qe-弓Q,可得e南=2 ,可得 则A=%十受所对应的极径为A=e时，所以A 400=h2=-lh2,所以，t=40ln2≈277，故臭氧消 e 357