9.5 统计与成对数据的分析(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

O专题九计数原理、概率与统计 (3)视样本数据的频率为概率，现从全校随机 P(X=2)=C×(×(-23 抽取4名学生，记X为这4名学生中运动时 间不低于4小时的人数，求X的分布列以及 P(X=3=×(})×()°-， 数学期望. 解：(1)因为该校共有15000人，其中女生有 PX==C×(份}×(}广= 4500人，所以女生占总人数的比例为号 则X的分布列为 又因为采用按比例分配的分层随机抽样的方 3 法收集300名学生的样本数据， 所以女生样本数据应收集品×300=90（个）。 1 27 2 81 256 64 128 64 256 (2)由频率分布直方图可知，学生每周平均体 育运动时间不低于4小时的频率为(0.15+ BC0-4Xg-3, 0.125+0.075+0.025)×2=0.75, 洗题意图 故估计该校学生每周平均体育运动时间不低 让学生学会利用数形结合思想来解决频率分 于4小时的概率为0.75. 布直方图与二项分布的综合问题，解题时要正 (3)由(2)可知，运动时间不低于4小时的概率 确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方 为，则X~B(4,), 图正确计算出各组数据.概率问题以计算为 主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际 所以P(X=0)=C×()×(保)°=2： 问题的意义，使之和相应的概率计算对应 p(X=1D=CX(4)×(=， 起来 9.5统计与成对数据的分析 ⊙ 考什么 高效复习必备 核心知识 ①抽样方法；②用样本估计总体；③样本相关系数；④一元线性回归模型；⑤独立性检验 本节我们需要掌握的重点是由频率分布直方图求平均数、中位数与百分位数，解决该类问题要 怎么学 正确分析频率分布直方图；回归直线方程和独立性检验也是考查的重点，该类问题要注意计算 的准确性，对于非线性回归方程要转化为线性回归方程进行求解 主要思想、 ①数形结合；②转化与化归 方法 ①因忽视简单随机抽样、分层随机抽样都为等可能抽样而致误；②当数据发生变化时，没有正确 易错警示 使用平均数和方差的计算公式致误；③计算中位数容易忽略计算前需要将数据按照从小到大或 从大到小的顺序排列而致误 325 讲解 实战高考·数学 ⊙ 考总内容梳理 ⊙ 考点1随机抽样、统计图表（高考6年2考） 1.总体、个体、样本 调查对象的全体（或调查对象的某些指标的全体）称为总体，组成总体的每一个调查对象（或每 一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样 本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量 2.简单随机抽样 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.除非特殊声明，所称的简单随 机抽样均指不放回简单随机抽样。 (1)抽取方式：逐个不放回抽取； (2)特点：每个个体被抽到的概率相等； (3)常用方法：抽签法和随机数法。 3.分层随机抽样 (1)分层随机抽样的相关概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体， 在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样 本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样 本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. (2)分层随机抽样的样本均值与样本方差 ①在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别是M,N,抽 取的样本量分别为m,n,第1层和第2层的样本平均数分别为x,y,样本平均数为w,则w= M-,N- ②在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果抽取的样本量为，样本平均数为之，第1层 和第2层的样本量分别为m1,2,样本平均数分别为x,y,方差分别为s,s,则样本方差s2= n1[s+(x-z)2]+n2[s3+(y-之)2] 2 4.统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等. (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图. 326 O专题九计数原理、概率与统计 考点2用样本估计总体（高考6年2考） 1.众数、中位数、平均数、百分位数 样本数据 频率分布直方图 众数 组数据中，出现次数最多的数据 取最高的小矩形底边中点的横坐标 把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位 把频率分布直方图划分为左右两个面积相 中位数 置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 等的部分，分界线与x轴交点的横坐标 每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横 平均数 样本数据的算术平均数 坐标之积的和 般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值， 对于数据组[a,b),a以下的数据比例为 它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于 百分位数 m%,b以下的数据比例为n%,若m≤p< 这个值，且至少有(100一)%的数据大于或等于 n,则第p百分位数为a十(b一a),卫一m 这个值 n—m 2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算=×%；第3步，若i不是整数，而大于i的 比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i十 1)项数据的平均数 3.四分位数 (1)第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数 据分成四等份，因此称为四分位数。 (2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数，第75百分位数又称第三四分位数或上四 分位数 4.总体离散程度的估计 方差和标准差：假设一组数据是，2，，x,用x表示这组数据的平均数，称之(G一x)?为 n=1 这组数器的方差，也可以写成含。-7的形式，称，√宫一习为这组数据的标准差 ni= 知识拓展 平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1,x2,…,xn的平均数为x,那么x1十a,mx2十a,mx3十a,…,mxn十a的平均数 是mx+a (2)若数据x1,x2,…,xn的方差为s2,则数据x1十a,x2十a,…,xm十a的方差也为s2,数据a01, ax2,,axn的方差为a2s2. 327 讲解 实战高考·数学 考点3成对数据的统计分析（高考6年3考） 1.变量的相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为 相关关系，即不确定性关系， 2.相关关系的分类 (1)按变量间的增减性分为正相关和负相关， ①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势； ②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势. (2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关（曲线相关）. ①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称 这两个变量线性相关； ②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非 线性相关或曲线相关 3.相关关系的刻画 (1)散点图：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散 点图 (2)样本相关系数r的计算式 含x-00-0 √含-，含-含-含f-四 (3)样本相关系数r的性质 ①样本相关系数r的取值范围为[一1,1]. ②若>0，成对样本数据正相关， ③若r<0,成对样本数据负相关， ④样本相关系数与相关程度：当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当r越 接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 注意)当两个变量的相关系数x=1时，两个变量呈函数关系。 4.一元线性回归模型与最小二乘法 (1)一元线性回归模型 Y=bx+a+e, 称 为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称 E(e)=0,D(e)=o2 为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx十a之间的随机误差，如果 e=0,那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述. 328 ○专题九计数原理、概率与统计 (2)最小二乘法 将y=bx十α称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为 经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b,α叫做b,α的最小二乘 估计，其中 6-0 Zay:-nxy a=y-bx. 含x 经验回归方程必过样本点的中心(x,y). 5.刻画回归效果的方法 (1)残差图法 在残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明选用的模型比 较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高 (2)残差平方和法 残差平方和为之（一），残差平方和越小，模型拟合效果越好. (3)决定系数法 R2=1 含Gs 其巾了一会)R的值越趋近于1，模型的拟合效果越好。 6.列联表与独立性检验 (1)分类变量X,Y的2×2列联表： Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b atb X=1 d c+d 合计 a十c b+d n=a+b+c+d n(ad-bc)2 则X=a+b)(c十)(a+c)(h+d (2)利用x的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为x独立性检验，读作“卡方独立性 检验”，简称独立性检验 (3)x独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Ta 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 329 讲解册 实战高考·数学 ⊙ 怎么考 题型各个击破 题型一频率分布直方图的应用 和众数. 题型解读 解：(1)由频率分布直方图的性质，得(0.0050十 1.频率分布直方图中第p百分位数的计算 0.0075+x+0.0125+0.0150)×20=1,解 (1)确定百分位数所在的区间[a,b). 得x=0.0100. (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分 (2)由频率分布直方图，可知 比分别为f%,f%,则第饣百分位数为 得分落在[0,20)内的人数为20×0.0050×20 a+p%-f0x6-a). =2, foo-fa%o 得分落在[20,40)内的人数为20×0.0075× 2.数字特征在频率分布直方图中的体现 20=3. (1)众数：众数一般用频率分布表中频率最 (3)估计所有参赛选手得分的平均数为 高的一组数据的组中值来表示，即用样本数 0.0050×20×10+0.0075×20×30+0.0150× 据的频率分布直方图中，最高的小长方形的 20×50+0.0125×20×70+0.0100×20×90 底边中点的横坐标表示 =56. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左 设所有参赛选手得分的中位数估计值为a, 边和右边的小长方形的面积之和相等， 则0.0050×20+0.0075×20+0.0150×(a一 (3)平均数：平均数在频率分布表中等于每 40)-0.5,解得a-19 组数据的组中值与对应频率之积的和，在样 本数据的频率分布直方图中等于每个小长 估计所有叁赛选手得分的众数为0士60=50 方形的面积与其对应的底边中点的横坐标 解题技法 之积的和 频率分布直方图的相关结论： 典例某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动， (1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1 从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的 得分按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)， (2)频率分布直方图中纵轴表示频率， 组距，所以每 [80,100]分组，绘成频率分布直方图（如图）. 组的频率=频率×组距，即小长方形的面积 组距 频率 组距 题型二变量间的相关关系及回归方程 0.0150 0.0125 题型解读 0.0075 1.判定两个变量正、负相关的方法 0.0050 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角， 04 20406080100得分 两个变量正相关；点的分布从左上角到右下 (1)求x的值； 角，两个变量负相关 (2)分别求出抽取的20人中得分落在[0,20) (2)相关系数：>0时，正相关；r<0时，负 和[20,40)内的人数 相关， (3)估计所有参赛选手得分的平均数、中位数 (3)线性经验回归方程中：b>0时，正相关； 330 O专题九计数原理、概率与统计 b<0时，负相关 解：(1D由题意可得x=号1十2+3+4+5) 2.求回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(x,)(i=1,2,…,n). 3,y= 5(1.2+1.8+2.5+3.2+3.8)=2.5, (2)作出散点图，确定x,y具有线性相关 关系 则r xy:一5x i=1 (3计算， (2-5)[20-w] =1.2+3.6+7.5+12.8+19-5×3×2.5 (4)代入公式计算b,a,公式为 √55-5×32×W1.69+0.49+0.49+1.69 2x:y一nxy 6.6 6.6 b V10X√4.36≈6.603≈0.9995. -nx2 i=1 因为0.9995>0.75，故可以用线性回归模型 a=y-b x. 拟合y与x的关系， (5)写出回归方程y=bx十a. (2)由题意可得b= xy一5xy i=1 6.6 典例2近几年我国新能源汽车产业快速发展， x2-5x2 10 =1 据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增 0.66,a=y-bx=2.5-0.66×3=0.52, 加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的 新增数量，其中x为年份代号，y(单位：万辆) 则y=0.66x+0.52. 代表新增新能源汽车的数量. 当x=7时，y=0.66×7+0.52=5.14, 年份 2020 2021 2022 2023 2024 所以估计该城市2026年新增新能源汽车 年份代号x 1 2 3 6 5.14万辆， 新增新能源 解题技法 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 汽车y/万辆 回归分析问题的类型及解题方法 (1)计算样本相关系数r,判断是否可以用线 (1)求经验回归方程 性回归模型拟合y与x的关系.当r∈ ①根据散，点图判断两变量是否线性相关，若不 [0.75,1]时，可以认为两个变量有很强的线性 是线性相关，应通过换元构造线性相关， 相关性；否则，没有很强的线性相关性 ②利用公式，求出回归系数b (2)求y关于x的经验回归方程，并据此估计 ③利用经验回归方程过样本，点的中心求a. 该城市2026年新增新能源汽车的数量. (2)利用经验回归方程进行预测，把经验回归 参考数据：√43.6≈6.603. 方程看作一次函数，求函数值. (3)利用经验回归方程判断正、负相关，决定正 参考公式：b 2xy:一nxy ,a=y-b x, x-n2 i-1 相关还是负相关的是系数b. (4)经验回归方程的拟合效果，可以利用相关 系数判断，当|x越趋近于1时，两变量的线性 含-n含o- 相关性越强 331 讲解 实战高考·数学 题型独立性检验 解：(1)完善2×2列联表如下. 题型解读 结果 方案 合计 独立性检验的一般步骤 成功 未成功 (1)根据样本数据制成2×2列联表. A 40 20 60 B 60 10 70 n(ad-bc)2 (2)根据公式X=(a+b(c十d)(a+c)(b+d) 合计 100 30 130 计算 零假设H:方案的选择对试验结果没有影响. (3)比较与临界值的大小关系，作统计推断. 根据2×2列联表中的数据，经计算可得X= 典例3甲在进行某项试验时，设计了A,B两 130×(40×10-20×60)2≈6.6>3.841. 60×70×100×30 种方案.为了判断方案的选择对试验结果是否 根据小概率值xo.o5o=3.841的独立性检验，我 有影响，方案A运行了60次，试验成功了40 们推断H不成立， 次；方案B运行了70次，试验成功了60次， 即认为方案的选择对试验结果有影响，此推断 (1)根据题干信息，完善以下2×2列联表，依 犯错的概率不超过0.05. 据α=0.05的独立性检验，能否认为方案的选 (2)在一次试验中，选择方案A记为事件A,选 择对试验结果有影响， 择方案B记为事件B,试验成功记为事件C, 结果 方案 合计 由题意，得A与B是对立事件，且P(A)=}, 成功 未成功 A 则P(B=1-PA)-号， B P(C)-8-号PCB)-8-9, 合计 所以P(C)=P(A)P(CA)+P(B)P(CB) (2)以题干样本数据中两个方案试验成功的频 率为相应试验成功的概率，若甲在每次试验 ×号+号×器， = 中，选择方案A的概率为子现已知甲在一次 故甲在一次试验中获得了成功，则此次试验选 试验中获得了成功，请问此次试验选择方案A 择方案A的概率是P(A1C)=PAC= P(C) 的概率是多少？ 1 2 P(A)P(CA)33 7 参考公式及数据： P(C) 50 251 x= n(ad-bc)2 63 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 解题技法 a 0.050 0.010 0.005 X计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代 合 3.841 6.635 7.879 入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心. 怎么学 本节压轴归纳 考查内容 新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术 非线性回归模型 创新投人x(单位：千万元)对每件产品成本y 典例一企业生产某种产品，通过加大技术创 (单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投 332 O专题九计数原理、概率与统计 入x:和每件产品成本y:(i=1,2,3,…,10)的 =200, 数据进行分析，得到如图所示的散点图，并计 a=y-3u=70-200×0.3=10,则y=10 1=3, 91 算得：x=6.8,y=70,) =1.6, +200u, 1℃ 号业=350. 所以y关于x的经验回归方程为y=10 =1C; +200 个每件产品成本元 250 (2)由y=10+20可得x= 200 200· x y-10' 150· 100 年利润M=m一x-10= y2+2y+200 500+25+y-10 50 。。 0 y10-10=500y-20)2+90.8, 200 24681012.14 +100 年技术创新投人千万元 当y=20时，年利润M取得最大值， (1)根据散点图可知，可用函数模型y=b+a 此时x=200一 -1020-1020, 拟合y与x的关系，试建立y关于x的经验回 所以当年技术创新投人为20千万元时，年利 归方程 润M的预报值最大. (2)已知该产品的年销售额m(单位：千万元) 选题意图 与每件产品成本y(单位：元)的关系为m= 让学生学会利用转化思想来处理非线性回归 品十器1。+10该企业的年投人成 方程问题，非线性处理策略：要通过换元、取对 本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 数等手段把非线性问题转化为线性问题.非线 10千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创 性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们 新投入x为何值时，年利润M的预报值最大？ 可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各 (注：年利润=年销售额一年投人成本) 种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）图象 参考公式：对于一组数据(1，v),(2,2),…, 作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函 数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线 (u,u,),其经验回归方程v=a十Bu的斜率和 性回归分析问题，使之得到解决.其一般步 截距的最小二乘估计公式分别为B 骤为： >uU:一nuv、 作散 i=1 ,a=v-Bu 根据原始数据c,)作出散点图 点图 选拟 解：1)冷4=是则y关于a的经验回归方程 根据散点图，选择恰当的拟合函数 合函数 为y=a+Bu. 变换 作恰当的变换，将其转化成线性函数， 求解 求线性回归方程 24y:-10uy 由题意可得B= 350-210 1.6-0.9 变换 在上面的基础上通过相应的变换，即可 还原 得非线性回归方程 333