9.2 随机事件、古典概型与条件概率(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

讲解 实战高考·数学 常数项为C25-4x6-号×4=60，故C错误； 选题意图 令第(k+1)项的系数最大， 让学生学会利用待定系数法求二项展开式中 1C26-≥C路126-6+1 系数最大的项，求二项展开式中系数最大的项 则 C哈25-t≥C路+126-k-1 解符号<≤子， 的一般模式为先设展开式各项系数分别为 又因为k∈N,所以=2，所以二项展开式中系 A1,A2,…,A+1,且第k项系数最大，再应用 数最大的项为T3=C24x3=240x3,故D 正确. A≥A-1'解得k,注意∈N A≥A+1 9.2 随机事件、古典概型与条件概率 丝高毯复习必备 n ①随机事件的概率；②古典概型；③相互独立事件；④条件概率和概率的乘法公式；⑤全概率 核心知识 公式 本节知识点较多，我们首先要正确理解随机事件的概率、古典概型、相互独立事件、条件概率、概 怎么学 率的乘法公式和全概率公式的概念及求解公式，再结合题目所给的信息正确选择所求的概率公 式进行求解 主要思想、 ①数学运算；②数形结合 方法 ①不能正确地区分互斥事件、对立事件和独立事件致误，②不能正确地运用条件概率和全概率 易错警示 公式致误 学什么 考点内容梳理 考点① 随机事件与概率（高考6年1考）》 1.样本空间和随机事件 (1)样本空间 样本点 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用2表示 有限样 如果一个随机试验有n个可能的结果w1,w2,…,,则称样本空间2={w1,w2,…,w}为有限 本空间 样本空间 (2)随机事件 定义 将样本空间2的子集称为随机事件，简称事件 表示 般用大写字母A,B,C,…表示 随机事件的极端情形 必然事件、不可能事件 312 O专题九计数原理、概率与统计 2.两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 A二B B 2 并事件 A与B至少一个发生 AUB或A+B (和事件) 2 交事件 A与B同时发生 A∩B或AB (积事件) AB 2 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 A∩B=0 (B A与B有且仅 B 互为对立 A∩B=0,AUB=2 有一个发生 2 注意)对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，则“互斥”是“对立”的必要 不充分条件。 3.频率与概率 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会 逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可 以用频率f(A)估计概率P(A). 4.古典概型 (1)定义：具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ()有限性：样本空间的样本点只有有限个； ()等可能性：每个样本点发生的可能性相等 (2)计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间2包含n个样本点，事件A包含其中的 长个样本点，则定义事件A的疑率PA)一合-”份其中A)湘m(0分别表示事件A和样 本空间2包含的样本点个数. 5.概率的基本性质 性质1：对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(2)=1,P()=0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B): 313 讲解 实战高考·数学】 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1一P(A),P(A)=1一P(B), 性质5：如果A二B,那么P(A)≤P(B), 性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)一P(A∩B), 考点2事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（高考6年2考） 1.事件的相互独立性 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为 概念 独立 性质 若事件A与事件B相互独立，则A与B,A与B,A与B也都相互独立，P(BA)=P(B),P(AB)=P(A) 2.条件概率 （1>概念：一般地，设A,B为购个随机率作，LPA>0,我们称P5A)-为在事什A 发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)两个公式 ①利用古典概型：P(BA)=n(AB), n(A); ②概率的乘法公式：P(AB)=P(A)·P(B|A) 3.全概率公式 一般地，设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1UA2U…UAn=2,且P(A:)>0,i=1, 2,,n,则对任意的事件BC2,有P(B)=之P(A)P(BA:),我们称该公式为全概率公式. 知识拓展 *贝叶斯公式：设A1,A2,…,A是一组两两互斥的事件，A1UA2U小…UAn=2,且P(A)>0,i 1,2,,,则对任意的事件B二0，P(B)>0,有P(A|B)=P(APB1A) P(B) P(A)P(BA),i=1,2,…,n. P(AP(BIA) =1 怎么考⊙》 题型各个击破 题型条件概率的应用 续表 题型解读 条件概率的三种求法 借助古典概型概率公式，先求事件 A包含的样本点数n(A),再求事件 样本点法 先求P(A)和P(AB),再由P(BA)= AB所包含的样本点数n(AB),得 定义法 器求PBN P(BIA)=n(AB) n(A) 314 O专题九计数原理、概率与统计 续表 2 BA A 缩小样本空间的方法，就是去掉第一 缩样法 次抽到的情况，只研究剩下的情况， 用古典概型求解，这样能化繁为简 (2)已知事件B的发生有各种可能的情形A: 典例甲、乙两位游客慕名来到赣州旅游，准 (2=1,2,…,n),事件B发生的可能性，就是各 备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、 种可能情形A,发生的可能性与已知在A:发生 龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选 的条件下事件B发生的可能性的乘积之和， 择其中一个.记事件A:甲和乙选择的景点不 典例2甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决 同；事件B:甲和乙恰好一人选择崇义齐云山， 赛阶段，每所学校派出5对双打队员（两对男 则P(B引A)=( ) 双、两对女双、一对混双)进行比赛，出场顺序 A青 R号 C.9 D. 9 20 抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场 )答案B (没有平局)的学校获胜并结束比赛.已知甲学 解析：方法一：由题意，得n(A)=A=20, 校混双获胜的概率是，其余双打获胜的概率 n(AB)=C2C4=8,所以P(BA)= n(AB) n(A) 易号成选B 均是是 (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前 方法二：由题意，得P(A)= &-PAB 3场比赛结束就获胜的概率； 8 (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学 C2C4_8 CgC=25,所以P(B1A)= P(AB)_ 校前3场比赛结束就获胜的概率， P(A) 5 解：(1)若混双比赛抽签排到最后，则甲学校在 5,故选B 前3场比赛中获胜的概率均是， 解题技法 “所求概率为位}-名 利用定义法，分别求P(A)和P(AB),得 P(BA-》,这是求条件概率的随法 (2)设事件A:表示“混双比赛在第i场进行” (i=1,2,3),事件B表示“混双比赛在前3场 本题也可以借助古典概型概率公式，先求事件 进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获 A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事 件B的交事件中包含的基本事件数n(AB), 胜”，则PA)=号 得P(B到A)=AB) n(A)' PBA)=×号×名-0P(B1A)=X 题型口全概率公式的应用 ×2-高P(BA)×号×星-品 题型解读 “化整为零”求多事件的全概率问题 ..P(B)=P(BA)P(A)+P(BA)P(A2)+ (1)如图，P(B)=2P(A:)P(B|A:). i=1 PBA)PA)-3X3Xg品 315 讲解册 实战高考·数学 解题技法 (2)求P(A:)和所求事件B在各个互斥事件 利用全概率公式解题的思路： A:发生条件下的概率P(A:)P(BA). (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为 若千个互斥事件A:(i=1,2,…,n) (3)代入全概率公式计算. ⊙ 怎么学③ 本节压轴归纳 考查内容 选科组合符合该大学医学院临床医学类招生 概率的综合问题 选科要求”，则M={acd,ace,acf,ade,adf}, 典例某省高考目前实行“3十1十2”模式，其 共含5个样本点， 中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科 .P(M0=n(M0 5 n(2)12 目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首 (2)设“甲、乙、丙三人每人的选科组合符合该 选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思 大学医学院临床医学类招生选科要求”的事件 想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选 分别是N1,N2,N3,由题意知事件N1,N2,N3 择2门.已知某大学医学院临床医学类招生选 科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、 相互独立. 生物至少1门. 由1)知PN)=P(N)=P(N)=是 (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选 记N=“甲、乙、丙三人中恰有两人的选科组合 科组合符合该大学医学院临床医学类招生选 符合该大学医学院临床医学类招生选科要 科要求的概率； 求”，则N=N1N2N3UN1N2N3UNN2N3, (2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科 组合是等可能的，且三人的选择互不影响，求 P(N)=P(NiN2N3)+P(NIN2 Ns)+ 这三人中恰有两人的选科组合符合该大学医 P(NN,N,)=是×是×1)×3-器 学院临床医学类招生选科要求的概率 选题意图 解：(1)用a,b分别表示事件“选择物理”“选择 让学生学会利用列举法求概率，解决古典概型 历史”，用c,d,e,f分别表示事件“选择化学” 问题一般通过列举法来求概率，如果样本点比 “选择生物”“选择思想政治”“选择地理”， 则所有选科组合的样本空间 较多可以采用排列组合的方法进行求解.对于 ={acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce, 求解概率的综合问题，一要注意概率模型的应 bcf,bde,bdf,bef},共含l2个样本点 用，明确所求问题所属的事件类型，二要根据 设M=“从所有选科组合中任意选取1个，该 公式准确计算， 9.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 考什么《 高效复习必备 ①离散型随机变量及其分布列；②离散型随机变量的数学期望（均值）；③离散型随机变量的 核心知识 方差 316