9.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

讲解册 实战高考·数学 解题技法 (2)求P(A:)和所求事件B在各个互斥事件 利用全概率公式解题的思路： A:发生条件下的概率P(A:)P(BA). (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为 若千个互斥事件A:(i=1,2,…,n) (3)代入全概率公式计算. ⊙ 怎么学③ 本节压轴归纳 考查内容 选科组合符合该大学医学院临床医学类招生 概率的综合问题 选科要求”，则M={acd,ace,acf,ade,adf}, 典例某省高考目前实行“3十1十2”模式，其 共含5个样本点， 中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科 .P(M0=n(M0 5 n(2)12 目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首 (2)设“甲、乙、丙三人每人的选科组合符合该 选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思 大学医学院临床医学类招生选科要求”的事件 想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选 分别是N1,N2,N3,由题意知事件N1,N2,N3 择2门.已知某大学医学院临床医学类招生选 科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、 相互独立. 生物至少1门. 由1)知PN)=P(N)=P(N)=是 (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选 记N=“甲、乙、丙三人中恰有两人的选科组合 科组合符合该大学医学院临床医学类招生选 符合该大学医学院临床医学类招生选科要 科要求的概率； 求”，则N=N1N2N3UN1N2N3UNN2N3, (2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科 组合是等可能的，且三人的选择互不影响，求 P(N)=P(NiN2N3)+P(NIN2 Ns)+ 这三人中恰有两人的选科组合符合该大学医 P(NN,N,)=是×是×1)×3-器 学院临床医学类招生选科要求的概率 选题意图 解：(1)用a,b分别表示事件“选择物理”“选择 让学生学会利用列举法求概率，解决古典概型 历史”，用c,d,e,f分别表示事件“选择化学” 问题一般通过列举法来求概率，如果样本点比 “选择生物”“选择思想政治”“选择地理”， 则所有选科组合的样本空间 较多可以采用排列组合的方法进行求解.对于 ={acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce, 求解概率的综合问题，一要注意概率模型的应 bcf,bde,bdf,bef},共含l2个样本点 用，明确所求问题所属的事件类型，二要根据 设M=“从所有选科组合中任意选取1个，该 公式准确计算， 9.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 考什么《 高效复习必备 ①离散型随机变量及其分布列；②离散型随机变量的数学期望（均值）；③离散型随机变量的 核心知识 方差 316 O专题九计数原理、概率与统计 续表 本节的重点为离散型随机变量的数学期望和方差，我们在复习时要牢固掌握求随机变量分布列 怎么学 的步骤，准确运用数学期望和方差的公式，并能逆用和变用，同时概念要清楚，计算要准确，文字 表述要规范 主要思想、 ①待定系数法；②数学运算 方法 易错警示 ①忽视分布列的性质致误；②题目理解不准确致误 学什么3 考点内容梳理 考点1离散型随机变量及其分布列（高考6年4考） 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间2中的每个样本点ω，都有唯一的实数X()与之对应，我们称 X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,x,称X取每一个值x:的概率P(X= x)=:,i=1,2,…,n为X的概率分布列，简称分布列. 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)p:≥0，i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pn=1. 考点2离散型随机变量的数字特征（高考6年4考） 1.离散型随机变量的均值（数学期望）与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 x2 … Pa (1)均值（数学期望） 称E(X)=云十十…十xp,=含zp,为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期 望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差 称DX)=(a一EB(X灯)Pa十(-E(X)P:十+(x,一E(X)产p,=含(x一E(X)Pp为随 机变量X的方差，并称√D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(X),它们都可以度量随机变量 取值与其均值的偏离程度。 2.均值（数学期望）与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X).(a,b为常数) 317 讲解册 实战高考·数学 知识拓展 1.E(k)=,D(k)=0,其中k为常数.2.E(X1十X2)=E(X1)+E(X2). 3.D(X)=E(X2)-(E(X))2.4.若X1,X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2) 怎么考 题型各个击破 题型一离散型随机变量及其分布列、均 P(Y=20)=P(A)·P(B)·[1-P(C)]+ 值与方差 P(A)·[1-P(B)]·P(C)+[1-P(A)]· P(B)·P(C)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6× 题型解读 0.8+0.5×0.4×0.8=0.44. 1.离散型随机变量分布列的求解步骤 ∴.甲学校获得冠军的概率为0.16+0.44= <第一步明取值 明确随机变量的可能取值有哪些， 且每一个取值所表示的意义 0.6. (2)由题意可知X的所有可能取值为0,10， 要弄清楚随机变量的概率类型，利 第二步 求概率 用相关公式求出变量所对应的概率 20,30. 由(1)可知P(X=0)=P(Y=30)=0.16, 第三步 画表格→ 按规范要求的形式写出分布列 P(X=10)=P(Y=20)=0.44, 利用分布列的性质检验分布列是否 第四步 检验 P(X=20)=P(A)·[1-P(B)]·[1一 正确 P(C)]+[1-P(A)]·P(B)·[1-P(C)]+ 2.求离散型随机变量5的均值与方差的步骤 [1-P(A)]·[1-P(B)]·P(C)=0.5×0.6× (1)理解的意义，写出的所有可能取值 0.2+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8= (2)求取每个值的概率， 0.34, (3)写出的分布列. P(X=30)=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1- (4)由均值、方差的定义求E(),D(), P(C)]=0.5×0.6×0.2=0.06. 典例甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共 ∴.X的分布列为 设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0 X 0 10 20 30 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高 P 0.16 0.44 0.34 0.06 的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获 胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛 ∴.E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+ 结果相互独立. 30×0.06=13. (1)求甲学校获得冠军的概率； 解题技法 (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列 求离散型随机变量分布列时应注意的问题： 与期望， (1)确定离散型随机变量￡的分布列的关键是 解：(1)设A,B,C分别表示甲学校在三个项目 要搞清￡取每一个值对应的随机事件，再进一 中获胜的事件，Y表示甲学校的总得分 步利用排列、组合知识求出取每一个值的概 甲学校获得冠军可表示为“Y=30或Y=20”, 率.对于随机变量取值较多时，应由简单情 易知P(Y=30)=P(A)·P(B)·P(C)=0.5X 况推导出一般的通式，从而简化过程， 0.4×0.8=0.16, (2)在求离散型随机变量￡的分布列时，要充 318 O专题九计数原理、概率与统计 分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算 所以PO-PA)+PB)-3-2p-器。 量，还可验证分布列是否正确， 题型口均值与方差中的决策问题 即甲最终获胜的概率为。 题型解读 (2)由(1)可知，P(C)=P(A)+P(B)=3 利用样本的数字特征解决有关决策的问题就 2p3. 是根据提取的数据，建立相应的概率模型，然 若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则 后利用概率知识求出样本的数字特征一数 X可取3，一2， 学期望、方差等，通过比较得到最优方案，从而 P(X=3)=P(C)=32-23,P(X=-2)= 解决问题.解题的关键如下： 1-3p2+2p3, (1)建立模型，根据题意准确建立解决问题的 则X的分布列为： 概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不 X 3 -2 能混淆； P 3p2-2p3 1-3p2+2p3 (2)分析数据，分析题中的相关数据，确定概率 则E(X)=9-6p-2十6-4p=一10p3十 模型中的相关参数； 15p2-2. (3)求值，利用概率知识求出概率模型中的数 若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则 学期望、方差等数字特征； Y可取1,0， (4)做出决策，比较概率模型中的数字特征，确 P(Y=1)=P(C)=32-2p3,P(Y=0)=1 定解决问题的最优方案，做出决策 3p2+2p3, 典例2甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若 则Y的分布列为： 每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<1),输的 Y 1 0 概率为1一p,每局比赛的结果是独立的. 2 (1)当p=时，求甲最终获胜的概率， P 3p2-2p 1-3p2+2p3 (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖 则E(Y)=3p2一23， 励方案.方案一：最终获胜者得3分，失败者得 所以E(X)-E(Y)=-8p3+12p2-2= 一2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得 4(p-2)2p2-2p-1). 0分.请讨论选择哪种方案可使得甲获得积分 由于0<<1，则2-2p一1=2p·(p-1) 的数学期望更大 1<0, 解：(1)记“甲最终以2：1获胜”为事件A,记 “甲最终以2：0获胜”为事件B,记“甲最终获 于是当力一时，两种方案都可以选， 胜”为事件C, 当0<<号时，E(X)<E0Y),应该选第二种 于是C=AUB,A与B为互斥事件. 方案， 由于P(A)=C·pp·(1-p)=8, 当2<p<1时，E(X)>E(Y),应该选第一种 P(B)=2=, 方案 319 讲解册 实战高考·数学 解题技法 要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画 用方差来决定 了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重 怎么学 节压轴归纳 考查内容 :故选项B正确；随机变量X的均值E(X)= 5 均值、方差的大小比较、最值（范围）问题 典例（多选）已知某商场销售一种商品的单 0X- 件销售利润为X=0,a,2,根据以往销售经验 可得0<a<2,随机变量X的分布列为 Dx0=[0-3a+×2+ia-ga+ X 0 0 2 )]×号+[2-3a+了×g-a×a2x- P 1 2 6 6 12a+30)=4×[12(a-3)》°+27]，当a=日 下列结论正确的是( A6=日 时，DX)m=2故选项C正确；当D(X)m B.若该商场销售该商品5件，其中3件销售利 合时，E(X)=3×(侵+1)=司故选项D 润为0的概率为 错误 C.D(X- 选题意图 让学生学会利用函数的单调性来解决数学 D当D(XDm最小时，E(X)= 期望和方差的最值和范围问题，考查函数 )答案ABC 与方程的思想.通过该类方法可以解决以 下四类问题：(1)均值、方差以及概率的大 解析：由题意，得2十b十日=1，∴6=号，故选 6 小比较；(2)均值、方差的增减性分析； 项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件 (3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的 销售利润为0的概率为C×(侵)°×（侵》° 不等式求字母的范围. 9.4二项分布、超几何分布与正态分布 考什么⊙ 高效复习必备 核心知识 ①二项分布；②超几何分布；③正态分布 超几何分布和二项分布内容综合性比较强，涉及排列、组合、二项式定理和概率，要注意知 怎么学 识间的灵活应用，其数学期望和方差公式要熟练应用；正态分布也是本节的重点，要正确理 解正态曲线的性质并能结合图象解决问题，熟练应用3σ原则解决实际问题 320