9.4 二项分布、超几何分布与正态分布(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

讲解册 实战高考·数学 解题技法 要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画 用方差来决定 了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重 怎么学 节压轴归纳 考查内容 :故选项B正确；随机变量X的均值E(X)= 5 均值、方差的大小比较、最值（范围）问题 典例（多选）已知某商场销售一种商品的单 0X- 件销售利润为X=0,a,2,根据以往销售经验 可得0<a<2,随机变量X的分布列为 Dx0=[0-3a+×2+ia-ga+ X 0 0 2 )]×号+[2-3a+了×g-a×a2x- P 1 2 6 6 12a+30)=4×[12(a-3)》°+27]，当a=日 下列结论正确的是( A6=日 时，DX)m=2故选项C正确；当D(X)m B.若该商场销售该商品5件，其中3件销售利 合时，E(X)=3×(侵+1)=司故选项D 润为0的概率为 错误 C.D(X- 选题意图 让学生学会利用函数的单调性来解决数学 D当D(XDm最小时，E(X)= 期望和方差的最值和范围问题，考查函数 )答案ABC 与方程的思想.通过该类方法可以解决以 下四类问题：(1)均值、方差以及概率的大 解析：由题意，得2十b十日=1，∴6=号，故选 6 小比较；(2)均值、方差的增减性分析； 项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件 (3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的 销售利润为0的概率为C×(侵)°×（侵》° 不等式求字母的范围. 9.4二项分布、超几何分布与正态分布 考什么⊙ 高效复习必备 核心知识 ①二项分布；②超几何分布；③正态分布 超几何分布和二项分布内容综合性比较强，涉及排列、组合、二项式定理和概率，要注意知 怎么学 识间的灵活应用，其数学期望和方差公式要熟练应用；正态分布也是本节的重点，要正确理 解正态曲线的性质并能结合图象解决问题，熟练应用3σ原则解决实际问题 320 O专题九计数原理、概率与统计 续表 主要思想、方法 ①数形结合；②逻辑推理 易错警示 ①错用超几何分布的数学期望公式致误；②不能正确理解正态曲线的特点致误 学什么⊙ 考点内容梳理 考点 二项分布、超几何分布与正态分布（高考6年1考） 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组 伯努利试验 成的随机试验称为n重伯努利试验 般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示 事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=Cp(1一p)-,k=0,1,2,…,n. 二项分布 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记 布 作X~B(n,p) 两点分布与 ①若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)=,D(X)=(1一). 二项分布的 ②若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p) 均值、方差 般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放 超几何分布 回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=)=C,C,k=m, C 的定义 何 m+l,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M),r=min{n, 布 M.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布 超几何分布 的均值 若X服从参数为N,M,n的超几何分布，则E(X)= N 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)= 1 (x-02 正态分布的 6√2 =e24,x∈R,其中u∈R,o>0为参 定义 数，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(4,o) ①曲线是单峰的，它关于直线x=4对称； 正态曲线的 ②曲线在x=μ处达到峰值1 特点 ②n 态 ③当|x无限增大时，曲线无限接近x轴 布 ①P(u-o≤X≤μ十o)≈0.6827； 3。原则 ②P(μ-2a≤X≤十2a)≈0.9545； ③P(u-3≤X≤μ十3a)≈0.9973 正态分布的 若X~N(4,2),则E(X)=4,D(X)= 均值与方差 321 讲解册 实战高考·数学 知识拓展 1.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几 何分布，当总体容量很大时，超几何分布可看作二项分布来处理 2.超几何分布有时也记为X一H(,M,N),其均值E(X=M,方差D(X)-(1- nM (1-号》 怎么考 题型各个击破 题型一 二项分布 P(X=0)= (=0 题型解读 1.运用二项分布求概率的一般方法 (1)根据题意设出随机变量； (2)分析出随机变量服从二项分布； P(X=2)=(4°-6， (3)明确参数n,p,写出二项分布的分布列； 所以随机变量X的分布列为 (4)将值代入表达式（公式），求出概率， X 0 1 2.两点分布、二项分布的均值 P 3 16 8 16 (1)若随机变量X服从参数为饣的两点分 布，则E(X)=. 所以E武0=2X}2 (2)若X服从参数为n,p的二项分布，即 (2)对于方案一：“机器发生故障时不能及时维 X~B(n,p),则E(X)=np. 修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责 典例某工厂车间有6台相同型号的机器，各 的2台机器同时发生故障”，从反面处理这个 台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率 问题， 都是！，且一台机器的故障能由一个维修工处 其概率为P1=1-[1一P(X=2)]3=1一 理.已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有 u-6=476 两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护， 对于方案二：机器发生故障时不能及时维修的 每人负责2台机器；方案二：由甲、乙两人共同 维护6台机器 概率为P=1-()°-C·4×(°-C· (1)对于方案一，设X为甲维护的机器同一 时刻发生故障的台数，求X的分布列与 (4)×(保)/=1-3+6×3+15x3 4096 均值E(X); 694 4096 (2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时 可得P2<P,即方案二能让故障机器更大概 不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判 率得到及时维修，能使工厂的生产效率更高. 断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？ 解题技法 解：(1)由题意可知，X~B(2,4),则 二项分布问题的解题关键 322 O专题九计数原理、概率与统计 (1)定型： 55+0.2×65+0.45×75+0.2×85+0.05× ①在每一次试验中，事件发生的概率相同， 95=74(分). ②各次试验中的事件是相互独立的 (2)可得抽取的10人中日运动时间在 ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即 [50,60),[60,70),[80,90)内的同学人数分别 发生与不发生 为2,4,4， (2)定参：确定二项分布中的两个参数n和卫， 所以X可取0,1,2,3. 即试验发生的次数和试验中事件发生的概率. P(X=0)= 器-6PX-18- C4C8=1 题型二超几何分布 题型解读 C=,P(X-3)=cC-1 P(X-2)-CG_3 C030 1.求超几何分布的分布列的步骤 所以X的分布列为 验证随机变量服从超几何分布，并确 X 2 3 第一步 定数N,n,M的值 3 1 6 2 10 30 第二步 :根据超几何分布的概率计算公式计算 :随机变量取每一个值时的概率 第三步 用表格的形式列出分布列 数学期塑E(X)=0×名+1×2+2×昌+3× 10 16 2.超几何分布的均值 30=5 若X服从参数为N,n,M的超几何分布，即 解题技法 XHN,0,则EX0=兴 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随 机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布 典例2某校随机调查了100名同学的日运动 的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对 时间（分），得到如图所示的频率分布直方图， 象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类 频率/组距 个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类 0.020- 别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 0.010 0.005--☐ 题型三正态分布 05060708090100分 题型解读 (1)求该100名同学的平均日运动时间； 1.学习正态分布，要掌握正态分布的图象与性 (2)为进一步调查运动方式，采用分层抽样从 质，一定要紧紧抓住均值μ和标准差。这两 日运动时间在[50,60)，[60,70)，[80,90)内的 个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳 同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查， 正态曲线的性质. 求抽到日运动时间在[60,70)内的调查人数X (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x=4对 的分布列和数学期望。 称，由此特点，结合图象可求； 解：(1)由题意，得(0.010+0.020+a+0.020+ 0.005)×10=1,所以a=0.045. (2)正态曲线在x=μ处达到峰值1 所以该100名同学的平均日运动时间为0.1× 此特点，结合图象可求σ 323 讲解 实战高考·数学 2.解答正态分布的实际应用题的关注点 解析：(1)因为X~N(u,o),o>0且P(X< (1)方法：转化法，把普通的区间转化为3。 4十o)=p,所以P(X≥μ十o)=1一力. 区间，由特殊区间的概率值求出. 根据正态分布曲线的对称性，可得P(X≤μ (2)理论基础：①正态曲线的对称性；②曲线 o)=P(X≥μ十o)=1-p, 与x轴之间的面积为1；③P(μ-o≤X≤ 所以P(μ-o<X<u+o)=1-P(X≤-σ) u十o),P(μ-2a≤X≤μ+2o),P(μ-3o≤ P(X≥μ+o)=1-2(1-p)=2p-1. X≤μ十3σ)的概率值. (2)由题意知，技术改造前，该零件质量指标的 典例3(1)随机变量X~N(μ，2)，σ>0.若 均值为1=40，标准差为01=0.5，技术改造 P(X<μ十o)=p,则P(一o<X<十 后该零件质量指标的均值为2=40，标准差 G)=( 02=0.25. A.1-p B.2-2p 改造前(39.5,40.5)=(h1一1，h十1)，改造 C.p-z D.2p-1 后(39.5,40.5)=(2-2o22+2o2), 所以优质品率提高了约0.9545一0.6827= (2)某企业生产的一种零件，其质量指标介于 0.2718. (39.5,40.5)的为优质品，该企业生产的这种 解题技法 零件质量指标服从正态分布N(40,0.25),技 解决正态分布问题的三个关键，点： 术改造后生产的同种零件质量指标服从正态 (1)对称轴为x=4. 分布N(40,0.0625),那么，该企业生产的这 (2)标准差为σ. 种零件的优质品率约提高了 (3)分布区间. (若X~N(,o),则P(|X-<σ)≈ 利用对称性可求指定范围内的概率值；由、 0.6827,P(X-μ<2o)≈0.9545， σ、分布区间的特征进行转化，使分布区间转化 P(|X-<3)≈0.9973) 为3。特殊区间，从而求出所求概率.注意只有 )答案(1)D(2)0.2718 在标准正态分布下对称轴才为x=0. 怎么学 本节压轴归纳 考查内容 示)，其中样本数据分组的区间为[0,2)，[2， 频率分布直方图与二项分布的综合问题 4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12].请估计该 典例某高校共有15000人，其中男生10500 校学生每周平均体育运动时间不低于4小时 人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体 的概率 育运动时间的情况，采用按比例分配的分层随 4频率 组距 机抽样的方法，收集300名学生每周平均体育 0.1501 0.125 运动时间的样本数据（单位：小时）， 0.100 (1)应收集多少个女生样本数据？ 0.075 (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平 0.025 0 均体育运动时间的频率分布直方图（如图所 4681012时间/小时 324 O专题九计数原理、概率与统计 (3)视样本数据的频率为概率，现从全校随机 P(X=2)=C×(×(-23 抽取4名学生，记X为这4名学生中运动时 间不低于4小时的人数，求X的分布列以及 P(X=3=×(})×()°-， 数学期望. 解：(1)因为该校共有15000人，其中女生有 PX==C×(份}×(}广= 4500人，所以女生占总人数的比例为号 则X的分布列为 又因为采用按比例分配的分层随机抽样的方 3 法收集300名学生的样本数据， 所以女生样本数据应收集品×300=90（个）。 1 27 2 81 256 64 128 64 256 (2)由频率分布直方图可知，学生每周平均体 育运动时间不低于4小时的频率为(0.15+ BC0-4Xg-3, 0.125+0.075+0.025)×2=0.75, 洗题意图 故估计该校学生每周平均体育运动时间不低 让学生学会利用数形结合思想来解决频率分 于4小时的概率为0.75. 布直方图与二项分布的综合问题，解题时要正 (3)由(2)可知，运动时间不低于4小时的概率 确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方 为，则X~B(4,), 图正确计算出各组数据.概率问题以计算为 主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际 所以P(X=0)=C×()×(保)°=2： 问题的意义，使之和相应的概率计算对应 p(X=1D=CX(4)×(=， 起来 9.5统计与成对数据的分析 ⊙ 考什么 高效复习必备 核心知识 ①抽样方法；②用样本估计总体；③样本相关系数；④一元线性回归模型；⑤独立性检验 本节我们需要掌握的重点是由频率分布直方图求平均数、中位数与百分位数，解决该类问题要 怎么学 正确分析频率分布直方图；回归直线方程和独立性检验也是考查的重点，该类问题要注意计算 的准确性，对于非线性回归方程要转化为线性回归方程进行求解 主要思想、 ①数形结合；②转化与化归 方法 ①因忽视简单随机抽样、分层随机抽样都为等可能抽样而致误；②当数据发生变化时，没有正确 易错警示 使用平均数和方差的计算公式致误；③计算中位数容易忽略计算前需要将数据按照从小到大或 从大到小的顺序排列而致误 325