7.4 空间角与距离、空间向量及其应用(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

讲解 实战高考·数学 7.4空间角与距离、空间向量及其应用 ⊙ 丝高效复习必备 ①利用空间向量证明平面垂直、平行；②利用空间向量求异面直线所成的角；③利用空间向量求 核心知识 直线与平面所成的角；④利用空间向量求二面角；⑤空间中的距离问题 本专题我们主要重点掌握空间角，求空间角首先把它转化为平面角，然后再用代数的方法和向 怎么学 量的方法求出它，体现了转化与化归思想、数形结合思想，需要重点掌握转化与化归思想、数形 结合思想这两种思想方法 主要思想、 ①转化与化归；②数形结合 方法 易错警示 ①求空间角时不能正确的推理致误；②求空间角时忽视空间角的范围致误 考总内容梳理 考点1 向量法求空间角（高考6年5考） 1.异面直线所成的角 若并面直线4，函所成的角为6，其方向向址分别是u,则o0s9=cas,-侣 2.直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为0，直线 AB的方向向量为u,平面a的法向量为n,则sin0=|cos〈u,n)|= u·n u·n un 3.平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面α与平面3的夹角. 若平面a,3的法向量分别是n1和2，则平面a与平面B的夹角即为向量n1和 n2的夹角或其补角.设平面a与平面3的夹角为0，则cos0=|cos〈n1,2〉|= n1·n2 nt n2' 知识拓展 1.异面直线所成角的范围是(0， ]:直线与平面所成角的范国是[0，]：二面角的范国是[0，]， 两个平面夹角的范国是[0，受】 2.若平面a与平面B的夹角为01，平面a内的直线l与平面B所成角为02，则A≥0，当l与a和B 的交线垂直时，取等号。 272 O专题七立体几何与空间向量 考点2空间距离（高考6年4考） 1.点到直线的距离 如图，已知直线1的单位方向向量为u,A是直线l上的定点，P是直线L外一 点，设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)w.在Rt△APQ中， 由勾股定理，得PQ=√A2-A夜2=√a2-(a·)2. 2.点到平面的距离 如图，已知平面a的法向量为n,A是平面a内的定点，P是平面a外一点， 过点P作平面a的垂线l,交平面a于点Q,则n是直线l的方向向量，且点 P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度，因此PQ= |A市·n=A·n n n 知识拓展 1.平行线间的距离可以转化为，点到直线的距离。 2.线面距离、面面距离都可以转化为，点到平面的距离 怎么考⊙ 题型各个击破 题型一异面直线所成的角 面ABCD,底面ABCD为 题型解读 正方形，PA=BC,E为CD 1.用平移法求异面直线所成角的步骤 的中点，F为PC的中点， (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线 则异面直线BF与PE所 所成的角（或其补角） 成角的余弦值为( (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的 A.-3 9 B③ 角（或其补角） (3)三求：解三角形，求出所作的角.若求出 C_ 53 D53 9 9 的角是锐角或直角，则它就是要求的角；若 )答案B 求出的角是钝角，则它的补角才是要求 的角 解析：如图，以点A为坐标原点，以AB,AD, 2.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤 AP所在直线分别为x轴、y轴、之轴建立空间 (1)建立空间直角坐标系； 直角坐标系.设AB=2,异面直线BF与PE (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； 所成的角为0，则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0, (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余 0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),则E(1,2, 弦值； 0),F(1,1,1), (4)注意两异面直线所成角的范围是 所以B=(-1,1,1), (0,],即两异面直线所成角的余弦值等于 P=(1,2,-2), 所以cos0=|cos〈B! 两向量夹角的余弦值的绝对值， D P〉|= BF.PE 典例如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底 BFPE B 273 讲解册 实战高考·数学 1-1+2-2=3 接PM. W3×3 由已知可得AB=2,AD=4,∠BAD=60°，在 即异面直线B即与PE所成角的余孩值为图 △DAB中由余弦定理得BD=2√3， 所以AB2+BD=AD, 解题技法 所以△DAB为直角三角形，且AB⊥BD. 求异面直线所成的角有两种方法，一种是几何 因为AB∥CD,PD⊥CD,所以AB⊥PD. 法，一种是向量法.运用几何法可以平移到一 又BD∩PD=D,BD,PDC平面PBD, 个三角形中去求解；运用向量法先建立空间直 所以AB⊥平面PBD. 角坐标系，再结合数量积公式进行求解， 因为PMC平面PBD,所以PM⊥AB. 题型口直线与平面所成的角 (2)解：由(1)，知CD⊥平 题型解读 面PDM,如图，以D为坐 利用空间向量求线面角的解题步骤 标原点，分别以DB,DC 根据图形与已知条件，构建适当的空间 为x轴、y轴，垂直于底面 建坐标系 直角坐标系 ABCD的直线为之轴，建AE 0 立空间直角坐标系，则A(2√3，一2,0)，C(0, 、求法向量 设直线AB与平面α所成的角为0，求平 面α的法向量n与直线的方向向量AB 1,0) 0 用公式 0s(Ain)-A店·n 设Dx0,,则N(臣2，)，A=(登 lABlinl 0 利用sin0=lcos(AB,n1及直线和平面所 25,号》. 得结论 成角的范围是0，引，即可得出直线和平 设平面PDM的一个法向量为n=(0,1,0),直 面所成的角 线AN与平面PDM所成角为0， 典例2如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是梯 则 D--- sin0=|cosn,A1=n·A n AN 形，AB∥CD,AB=2CD= 5 2,AD=4,∠BAD=60°，PD 2 ,化简得 √/15 ⊥CD,E为AB的中点，MAEB -2++( 为CE的中点， (x-4√3)2+之=35.由PA=√5，可得 (1)证明：PM⊥AB; (2)若PA=√15，N为PC中点，且AN与平 (x-2√3)2十2=11，求得x=√3，之=2√2. 面PDM所成角的正弦值为西，求四棱锥 故V-分Smh=号×1+2》)X2BX22 3 2 P-ABCD的体积. =2√6. (1)证明：在梯形ABCD中，连接BD交CE于 解题技法 一点，连接DE. 求直线与平面所成角的主要方法： 由题意知BE=CD且BE∥CD, (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的 所以四边形CDEB为平行四边形， 方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹 所以BD与CE的交点即为CE的中点M,连 角（或其补角） 274 O专题七立体几何与空间向量 (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方 为菱形，所以AC⊥A1C. 向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的 因为平面AAC1C⊥平面ABC,平面AA1CC 补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. ∩平面ABC=AC,AB⊥AC,ABC平面 题型三平面与平面的夹角 ABC,所以AB⊥平面AA1CC 题型解读 因为ACC平面AACC,所以AB⊥A1C. 1,利用空间向量求平面与平面夹角的解题 因为AB,ACC平面ABC1,AB∩AC=A, 步骤 所以AC⊥平面ABC. 因为BCC平面ABC,所以A CBO1, 根据图形与已知条件，构建适当的空间 、建坐标系 直角坐标系 (2)解：如图，以AC的 b 中点O为坐标原点，过 、求法向量 准确求解相关点的坐标，并分别求出两 平面的法向量m,n,设两平面的夹角为0 O作射线Ox∥AB.由 b (1)知AB⊥平面 利用求两向量夹角余弦值的公式cosB= 用公式 lcos(m,n)1=hm· AAC1C,所以Ox⊥平 ,求夹角的余弦值 Imellnel 面AA1C1C.因为四边形AA1CC是菱形， 2.利用向量法求二面角 ∠A1AC=120°，所以易得OC⊥OC.以Ox, 二面角的大小可以通过这两个面的法向量 OC,OC所在直线分别为x轴、y轴、之轴，建 的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补 立空间直角坐标系，则C1(0,0,3),A(0,一√3， 角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半 0),C(0,√3,0)，B(2,-√3,0)，所以AA1=CC 平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出” =(0,-√3,3)，AB=(2,0,0),BC=(-2, 半平面；当法向量m,n“一进一出”时，m,n √3,3). 的夹角就是二面角的大小；当法向量m,n 设AP=λAA1=(0,-√3λ，3)(0≤A≤1)，则 “同进同出”时，m,n的夹角就是二面角的 补角， BP=A户-AB=(-2,-√3λ，3λ). 设平面BPC1的法向量为=(x,y,之)， 典例3如图，在三棱柱 n1·Bp=0, ABC-A1B1C中，平面B 则 n1·BC=0, AA1CC⊥平面ABC,AB ⊥AC,AB=2,∠A1AC= [-2x-√3λy十3λz=0, 即 120°，AC=AA1=2√3，P -2x十√3y十3z=0, 为线段AA1上一点， 3λ 入十1之， (1)求证：AC⊥BC. 所以 (2)是否存在点P,使得平面BPC与平面 y=8A-3 入十1之 ABC的夹角余弦值为一？若存在，求出 取n1=(3λ，W3λ-√3,1+λ) 易得平面ABC的一个法向量为2=(0,0,1). 的值；若不存在，请说明理由. 由题意，得cos(n1,2)|= 1+入 (1)证明：连接AC1.由题意，知四边形 √13入2-4λ+4 AA1CC为平行四边形 因为AC=AA1=2√3，所以四边形AA1C1C 牙，解得A=或号·经验证A一品与入=号 275 讲解 实战高考·数学 均特合题意，所以代=6或号 后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与 平面夹角的大小 解题技法 (2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的 利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常 两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点 用方法： 的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得 (1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然 到平面与平面夹角的大小 怎么学 本节压轴归纳 考查内容 (2)解：设AC中点为O, 立体几何中的翻折问题 AB中点为D,则易证得 M 典例在梯形ABCD中，AB∥CD,∠D=90°， OA,OD,OP两两互相垂 无A B 直.以OA,OD,OP所在直 D AB=2√2，AD=DC=√2，如图1.现将△ADC沿 线分别为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标 对角线AC折成直二面角P-AC一B,如图2，点 系，如图所示，则A(1,0,0),C(一1,0,0)， M在线段BP上. P(0,0,1),B(-1,2,0),所以CA=(2,0,0), B2=(1,-2,1) 设部-0<≤》.则i-驴 设M(x,y,2),则BM=(x十1，y-2,之)，所以 图1 图2 (x+1,y-2,2=λ(1，-2,1)， (1)求证：AP⊥CM; 所以M(-1,2-2λ，λ)，CM=(入，2-2λ，λ). (2)若点M到直线AC的距离为2，求别 因为点M到直线AC的距离为5， 的值 (1)证明：由已知可得AC=√AD+DC2=2, 所以a-+产. ∠DAC=45°.在△ABC中，∠CAB=90° 即+(2-22+=号+（学）， ∠DAC=45°，AC=2,AB=2W2,由余弦定理， 得BC=2,所以AB2=AC+BC2,所以∠ACB 即25以2-401十16=0，解得入=号，所以别 =90°，即AC⊥CB. 因为二面角P一AC一B是直二面角，平面 选题意图 PAC∩平面ACB=AC,CB⊥AC,CBC平面 让学生学会利用数形结合和转化数学思想来 ACB,所以CB⊥平面PAC 解决折叠问题，解决此类问题首先确定折叠前 又APC平面PAC,所以CB⊥AP, 后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量 因为AP⊥PC,PC∩CB=C,PC,CBC平面 和不变量，其次在折叠后的图形中确定线和面 PCB,所以AP⊥平面PCB. 的位置关系，明确需要用到的线、面；最后利用 又CMC平面PCB,则AP⊥CM. 判定定理或性质定理进行证明求解问题. 276