7.3 直线、平面垂直的判定与性质(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

讲解 实战高考·数学 选题意图 的角可以归结到一个三角形的内角时，容易忽 让学生学会利用转化思想和数形结合思想来 视这个三角形的内角可能等于两异面直线所 解决异面直线夹角的问题，求两异面直线所成 成的角，也可能等于其补角. 7.3直线、平面垂直的判定与性质 “丝高②复习必备 核心知识 ①线面垂直的判定与性质；②面面垂直的判定与性质 无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线线垂直，这种转化为“降维”垂直的思想方法，在解题 怎么学 中非常重要.我们在学习中要重视这种思想方法的应用，灵活的将线面垂直和面面垂直转化为 线线垂直来证明 主要思想、 ①转化与化归；②数形结合 方法 ①由面面垂直性质定理证明线面垂直时步骤不严谨致误；②在判断线面、面面位置关系时考虑 易错警示 不周全致误 学么 考点内容梳理 考点①直线与平面垂直（高考6年4考） 1.定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 ILa 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂 a 1⊥b →l⊥a 定理 直，那么该直线与此平面垂直 b a∩b=0 a,b二a b 性质 aa 垂直于同一个平面的两条直线平行 →a∥b 定理 b⊥a) 3.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这 个平面所成的角 A (2)范围：0°≤0≤90°. 268 O专题七立体几何与空间向量 考点2平面与平面垂直（高考6年0考） 1.平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个 aCa →aLβ 定理 平面垂直 alB a⊥3 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于 性质 a∩β=a 这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面 →la 定理 lLa 垂直 lCβ 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. B B (2)二面角的平面角：如图，在二面角α一l一B的棱1上任取一点O,以点O 0 为垂足，在半平面α和B内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA 和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. ⊙ 怎么考 题型各个击破 题型一直线与平面垂直的判定与性质 证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，.PA⊥底 题型解读 面ABCD,CDC平面ABCD,∴.PA⊥CD 证明线面垂直的常用方法 又AC⊥CD,且PA∩AC=A,PA,ACC平面 (1)判定定理； PAC,∴.CD⊥平面PAC (2)垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥a→b⊥a); .AEC平面PAC,.CD⊥AE (3)面面平行的性质(a⊥a,a∥B→a⊥B); (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°，可得AC (4)面面垂直的性质. =PA..E是PC的中点，.AE⊥PC 由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,PC,CDC 典例们如图，在四棱锥P一 平面PCD,.AE⊥平面PCD. ABCD中，PA⊥底面AB 又PDC平面PCD,.AE⊥PD. CD,AB⊥AD,AC⊥CD, ,PA⊥底面ABCD,ABC平面ABCD, ∠ABC=60°，PA=AB= ∴.PA⊥AB. BC,E是PC的中点.证明： 又AB⊥AD,且PA∩AD=A,PA,ADC平面 (1)CDAE; PAD,∴.AB⊥平面PAD. (2)PD⊥平面ABE. .PDC平面PAD,∴.AB⊥PD 269 讲解 实战高考·数学 又AB∩AE=A,AB,AEC平面ABE, AE∥BC,AE=-BC, ∴.PD⊥平面ABE 解题技法 .FG∥AE,FG=AE, 与线、面垂直关系有关命题真假的判断方法： ∴.四边形AFGE是平行四边形，.AF∥EG (1)借助几何图形来说明空间直线、平面的关 又AF中平面SEC,EGC平面SEC,'.AF∥ 系要做到作图快、准，甚至无需作图通过空间 平面SEC. 想象来判断。 (2)证明：△SAD是正三角形，E是AD的 (2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确. 中点，.SE⊥AD (3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用 .四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， 判定定理或性质定理进行简单说明 ∴.△ACD是正三角形 E是AD的中点，.AD⊥CE 题型二平面与平面垂直的判定与性质 又SE∩CE=E,SE,CEC平面SEC, 题型解读 .ADL平面SEC 1.判定面面垂直的方法 'EGC平面SEC,∴.ADI EG (1)面面垂直的定义.(2)面面垂直的判定定理 又四边形AFGE是平行四边形 2.面面垂直性质的应用 .四边形AFGE是矩形，∴.AF⊥FG (1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化 SA=AD=AB,F是SB的中点， 为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内 .AF⊥SB. 的直线”. 又FG∩SB=F,FG,SBC平面SBC, (2)若两个相交平面同时垂直于第三个平 ∴.AF⊥平面SBC 面，则它们的交线也垂直于第三个平面. ,AFC平面ASB,∴.平面ASB⊥平面SBC. 典例2如图，在四棱 锥S一ABCD中，四 M 边形ABCD是边长为 2的菱形，∠ABC= B 60°，△SAD为正三角形，侧面SAD⊥底面 ABCD,E,F分别为棱AD,SB的中点， (3)解：存在点M满足题意.假设在棱SB上存 (1)求证：AF∥平面SEC 在点M,使得BD⊥平面MAC,连接MO,BE, (2)求证：平面ASB⊥平面SBC 则BD⊥OM. (3)在棱SB上是否存在一点M,使得BD⊥平 四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC 面MAC7若存在，求山兴的值；若不存在， =60°，△SAD为正三角形， .可求得BE=√7，SE=√3，BD=2OB= 请说明理由. 23,SD=2,SE⊥AD (1)证明：取SC的中点G,连接FG,EG .F,G分别是SB,SC的中点，∴.FG∥BC, ,侧面SAD⊥底面ABCD,侧面SAD∩底面 FG-BC. ABCD=AD,SEC平面SAD, .SE⊥平面ABCD. ,四边形ABCD是菱形，E是AD的中点， .BEC平面ABCD,∴.SE⊥BE 2701 O专题七立体几何与空间向量 ∴.SB=√SE十BE=√W10, 解题技法 SB2+BD2-SD2_3√30 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进 ∴.cos∠SBD= 2SB·BD 20 行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为 B-3y面，BM=2西，B1-名 线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. BM 20 3 BS 3 怎么学 本节压轴归纳 考查内容 .AE=2AD=1,AA=/3AiD=2/3, 运用几何法求直线与平面所成的角 典例如图，已知ABCD ∴PE=号AA=3,BE=VA+A A1BCD是底面为正方形的 B =√5. 长方体，∠AD1A1=60°，AD =4,点P是AD1上的动点. 在Rt△BPE中，BP=√BE十PE=2√2， (1)试判断不论点P在AD cos∠BPE-PE=B-6, B1P224’ 上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面 AA1D1D,并证明你的结论； ∴.异面直线AA1与B1P所成角的余弦值 (2)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与 B1P所成角的余弦值； 等 (3)求PB1与平面AA1DD所成角的正切值 (3)易知B1A1⊥平面AA1D1D,.∠B1PA1是 的最大值 PB1与平面AA1DD所成的角 解：(1)不论点P在AD1上的任何位置，都有 ”an∠BPA,- =2 APAP' 平面BPA⊥平面AA1D1D.证明如下： ∴.当A1P最小时，tan∠B1PA1最大， .ABCD-A1B1CD,是长方体， .BA⊥平面AA1D1D. 此时AP⊥AD,A1P=AD:AA=5,得 AD .BAC平面BPA, 2√3 .平面BPA⊥平面AA1D1D, tan∠B,PA1= 3 .无论点P在AD1上的任何位置，都有平面 即PB1与平面AA1DD所成角的正切值的最 BPA⊥平面AA1D1D, (2)过点P作PE⊥A1D1,垂 大值为9 足为E,连接BE,如图 选题意图 易知PE∥AA1, 让学生学会利用几何法求直线与平面所成的 ∴.∠B1PE是异面直线AA1 角，求直线与平面所成的角是先作出直线与平 与BP所成的角， 面所成的角，然后证明所作的角就是所求的 在Rt△AA1D中，.∠AD1A1=60°， 角，最后转化到三角形中去求解.本题重在让 .∠A1AD1=30°， 学生掌握数形结合及转化与化归数学思想 .AiB.=A:D=2AD:=2, 方法. 271