7.2 直线、平面平行的判定与性质(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

讲解 实战高考·数学 7.2直线、平面平行的判定与性质 丝高效复习必备 核心知识 ①空间点、线、面的位置关系；②直线与平面平行的判定及性质；③平面与平面平行的判定及性质 直线与平面平行和平面与平面平行都是考查了转化思想的应用，直线与平面平行是把线面平行转 怎么学 化为线线平行来证明，平面与平面平行是把面面平行转化为线面平行来证明，所以只要掌握住转 化思想本节所有问题也就解决了 主要思想、 ①转化与化归；②数形结合 方法 易错警示 ①易忽略异面直线所成角的范围而致误；②判断线面位置关系时易忽略特殊情况致误 丝考息内容梳理 考点空间点、直线、平面之间的位置关系（高考6年2考） 1.基本事实与基本概念 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 三个推论 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点. 共面直线 平行直线：在同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 (1)定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直 异面直线所 线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. 成的角 (2)范围：(0，受 注意)分别在两个不同平面内的两条直线不一定为异面直线，它们的关系也可能是平行或相交， 2.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 a 直线与平面 相交 a∩a=A 1个 264 O专题七立体几何与空间向量 续表 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 a 平行 a∥a 0个 a 直线与平面 在平面内 无数个 a a aCa 平行 a∥B 0个 B 平面与平面 相交 aNB-l 无数个 考点2空间直线、平面的平行（高考6年2考） 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 a中a 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线 判定定理 bCa→a∥a 平行，那么该直线与此平面平行 a∥b B a∥a 条直线与一个平面平行，如果过该直线的 a/ 性质定理 /b aCB 9a∥b 平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a a∩3=b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 aCβ 如果一个平面内的两条相交直线 bCβ 判定定理 与另一个平面平行，那么这两个 a∩b=P→B∥a 平面平行 a∥a b∥a 两个平面平行，如果另一个平面 a∥3 性质定理 与这两个平面相交，那么两条交 any=a→a∥b 线平行 80x=6) 265 讲解册 实战高考·数学 知识拓展 1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥aa⊥3，则a∥A 2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥y,则a∥Y 3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若aLa,b⊥a,则a∥b 4.若a∥B,aCa,则a∥R ⊙ 怎么考 题型各个击破 题型一直线与平面平行 因为DF￠平面PBE,GEC平面PBE, 题型解读 所以DF∥平面PBE, 1.判断或证明线面平行的常用方法 (2)由(1)知DF∥平面PBE,又DFC平面 (1)利用线面平行的定义（无公共点）： PDC,平面PDC∩平面PBE=l, (2)利用线面平行的判定定理(a￠a,bCa, 所以DF∥L. a∥b→a∥a). 解题技法 (3)利用面面平行的性质(a∥B,aCa→a∥. 线面平行问题的解题关键： (4)利用面面平行的性质(a∥B,a中B,a∥a (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面 →a∥)： 内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思 2.向量法：(1)证明直线的一个方向向量与平 路是利用几何体的特征，合理利用中位线定 面的一个法向量垂直；(2)证明直线的一个 理，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两 方向向量能被平面上的两个不共线向量线 直线平行 性表示 (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线 的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来 典例1如图，四边形ABCD 确定交线。 为长方形，PD=AB=2,AD =4,点E,F分别为AD,PC 题型日平面与平面平行 D 的中点.设平面PDC∩平面 题型解读 PBE=U.证明： 1.证明面面平行的常用方法 (1)DF∥平面PBE; (1)利用面面平行的定义. (2)DF∥L. (2)利用面面平行的判定定理， 证明：(1)取PB的中点G,连 (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”. 接FG,EG (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个 因为点F为PC的中点，所 平面，那么这两个平面平行” (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行” 以FG∥BC,FG=2BC B 的相互转化. 因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD, 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平 且BC=AD,所以DE∥BC,DE-BC, 行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交 直线 所以DE∥FG,DE=FG,所以四边形DEGF 2.向量法：证明两个平面的法向量共线 为平行四边形，所以DF∥GE 典例2如图，四棱柱ABCD一A1B1C1D1的底 266 O专题七立体几何与空间向量 面ABCD是正方形 又A1B寸平面CD1B1,DCC平面CD1B1, (1)证明：平面A1BD∥ 所以A1B∥平面CD1B1. 平面CDB1; 因为BD∩A1B=B,BD,A1BC平面ABD, (2)若平面ABCD∩平面 所以平面A1BD∥平面CDB. CDB1=l,证明：B1D1∥1， (2)由(1)知平面A1BD∥平面CDB1,又平面 证明：(1)由题设知BB1∥DD1且BB1=DD1, ABCD∩平面CD1B1=L,平面ABCD∩平面 所以四边形BBDD是平行四边形， A1BD=BD,所以L∥BD. 所以BD∥BD. 又BD1∥BD,所以BD∥U. 又BD寸平面CD1B1,B1D1C平面CD1B1, 解题技法 所以BD∥平面CDB. 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互 因为A1D1∥BC∥BC且A1D1=BC=BC, 转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 的关键；面面平行判定定理的推论也是证明面 所以AB∥DC. 面平行的一种常用方法。 ⊙ 怎么学 本节压轴归纳 考查内容 所以EF∥CD, 异面直线所成的角 所以异面直线AD和EF所成的角等于 典例如图，三棱柱ABC-ABC的所有棱 ∠ADC或其补角. 长都为2，且∠A1AC=60°，D,E,F分别为 因为四边形AA1C1C为菱形，AA1=A1C1= A1C1,AB1,BC的中点，则异面直线AD和 CC1=2,所以A1D=C1D=1,∠CCD= EF所成角的余弦值为( ∠A1AC=60°，∠AA1D=180°-∠A1AC A号 B③ A =120°. 2 E B 在△A1AD中，由余弦定理， c 得AD=√AA?+A1D-2AA1·A1Dcos120 )答案D -√4+1-2×2×1×(-号)-7. 解析：连接CD,DE,如图所示 在△CCD中，由余弦定理， 因为D,E分别为 得CD=√CC+CD2-2CC·CDcos60°= A1C1,A1B1的中，点， 所以DE∥B1C1且DE √4+1-2×2x1×7-5. -B.Cl. 在△ACD中，因为AC=2,CD=√3，AD=√7， 易知BC∥BC,且BC=BC. 所以AC2十CD=AD2,所以AC⊥CD, 因为F为BC的中点， 所以uAX-需-号g, 所以CF/BG且CF=号BC=2BG, 所以异面直线AD和EF所成角的余弦值 所以CF∥DE,CF=DE, 所以四边形CDEF为平行四边形， 为②7 7· 267 讲解 实战高考·数学 选题意图 的角可以归结到一个三角形的内角时，容易忽 让学生学会利用转化思想和数形结合思想来 视这个三角形的内角可能等于两异面直线所 解决异面直线夹角的问题，求两异面直线所成 成的角，也可能等于其补角. 7.3直线、平面垂直的判定与性质 “丝高②复习必备 核心知识 ①线面垂直的判定与性质；②面面垂直的判定与性质 无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线线垂直，这种转化为“降维”垂直的思想方法，在解题 怎么学 中非常重要.我们在学习中要重视这种思想方法的应用，灵活的将线面垂直和面面垂直转化为 线线垂直来证明 主要思想、 ①转化与化归；②数形结合 方法 ①由面面垂直性质定理证明线面垂直时步骤不严谨致误；②在判断线面、面面位置关系时考虑 易错警示 不周全致误 学么 考点内容梳理 考点①直线与平面垂直（高考6年4考） 1.定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 ILa 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂 a 1⊥b →l⊥a 定理 直，那么该直线与此平面垂直 b a∩b=0 a,b二a b 性质 aa 垂直于同一个平面的两条直线平行 →a∥b 定理 b⊥a) 3.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这 个平面所成的角 A (2)范围：0°≤0≤90°. 268