7.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

专题七 立体几何与空间向量 目 7.1空间几何体的结构特征、表面积和体积 考什么⊙人 高效复习必备 ⊙ 核心知识 ①空间几何体的结构特征；②空间几何体的表面积；③空间几何体的体积 我们要熟练掌握空间几何体的表面积和体积公式，结合几何体的图形进行求解，体现了数形结 合思想的应用.多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和；旋转体侧面积就是侧面展开图的 怎么学 面积，注意转化和化归思想的应用；解决球与多面体的切接问题，要注意应用轴截面；有关体积 的问题，要注意“等积变换”“分割求和“拼补求差”等求解思路 主要思想、 ①转化与化归；②数形结合 方法 易错警示 ①不能正确进行等积变换求体积致误；②不能准确找出所求几何体的形状无从下手致误 学什么 考点内容梳理 考点①空间几何体的结构特征（高考6年5考） 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 D' E个G 图形 y B 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 互相平行且相等，垂直 母线 相交于一点 延长线交于一点 于底面 259 讲解 实战高考·数学 续表 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法. (2)规则：①原图形中x轴、y轴、x轴两两垂直，直观图中x轴、y轴的夹角为45°或135°，z轴 与x'轴和y'轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和之轴的线段在 直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半 知识拓展 1直现国与原平西图彩面积间的美系：S-号S,S6=22Sa: 2.球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面 3.球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=√R-d: 考点2空间几何体的表面积与体积（高考6年4考） 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 0.2πr. 0 侧面积公式 S圆柱侧=2xrl S圆维侧=πrl S圆台侧=x(r1十r2)l 2.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 几何体 柱体 S表=S侧十2S底 V-Sh 锥体 S表=S侧十S底 V-3Sh 台体 S表=S侧十S上十S下 V-(5:+Sy +/5:5)h 球 S表=4πR2 V-告R 知识拓展 1,一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. 2.底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖啦原理）. 260 O专题七立体几何与空间向量 怎么考⊙ 题型各个击破 ⊙ 题型一空间几何体的表面积与体积 c D.63W3π 题型解读 答案D 1.求解几何体表面积的类型及求法 解析：圆台的体积即为该 E (1)求多面体的表面积 60 茶杯容量，如图，AB= 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利 6 cm,CD=12 cm B 用求平面图形面积的方法求多面体的表 过点A,B分别作AE⊥CD,BF⊥CD于，点E, 面积. (2)求旋转体的表面积 F,EF-AB-6cm,DE-12>6-3(cm). 2 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入 圆台的高为AE=DE·tan60°=3√3cm, 手，将其侧面展开后求表面积，但要清楚它 们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中 故国台体积为[x×()+x×(°+ 的关系 2.求空间几何体的体积的常用方法 12 X3√3=63√5π(cm)3 规则几何体的体积问题，直接利用公 公式法 解题技法 式进行求解 处理体积问题的思路 把不规则的几何体分割成规则的几 割补法 (1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求 何体，或者补成规则的几何体 面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来 通过选择合适的底面来求几何体体 不易看出的高转换为易看出并易求解的高. 积，特别是三棱锥的体积（即利用三 等体积法 (2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成 棱锥的任一个面可作为三棱锥的底 几个简单几何体，便于计算 面进行等体积变换) (3)“拼”：指的是将一个不易求体积的几何体 典例1白舍窑位于江西省南 拼补成一个易求体积的几何体，如将一个三棱 丰县白舍镇，是宋元时期“江 锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一 西五大名窑”，其瓷器以白瓷 个四棱柱等，这些都是拼补的方法. 最为闻名，素有“白如玉，薄如 题型二与球有关的切、接问题一 纸”的特点.如图是白舍窑生产的一款斗笠型 题型解读 茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且 1.正方体与球 外形为圆柱.现测得底部直径为6cm,上部直 (1)内切球：内切球直径2R=正方体棱长a. 径为12cm,茶杯侧面与水平面的夹角为60°， (2)棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对 则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为 角线长√2a. )(单位：cm3) (3)外接球：外接球直径2R=正方体体对角 A.56V3 3π B.19√3π 线长√3a. 261 讲解册 实战高考·数学 柱两底面中心连线的中点为其外接球球心， R-(學)+（得AD: 2.长方体与球 0 外接球：外接球直径2R=体对角线长 D √a+形+c2(a,b,c分别为长方体的长、宽、高). 6.圆柱的外接球 R=/(伦)'+P(R是圆柱外接球的半径，A 是圆柱的高，x是圆柱底面圆的半径). 3.正棱锥与球 。0 (1)内切球：V正棱锥= S张·7-S·h(等 体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高. 7.圆锥的外接球 (2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边 R2=(h一R)2+(R是圆锥外接球的半径， 形的外接圆圆心为E,半径为r,R=(h一R)2 h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径)， 十2（正棱锥外接球半径为R,高为h). y 0 0 B 典例2(1)一个圆锥的侧面展开图是一个半径 R 4.正四面体的外接球、内切球 为3，圆心角为经的扇形，在该圆锥内有一个 若正四面体的棱长为a,高为h,正四面体的 体积为V的球，则该球的体积V的最大 外接球半径为R,内切球半径为r,则h= 值是( ) 3a,R= √6 4a,r= 2a,R:r=3:1. A.2n C2 3元 D 3π (2)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上， △ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面 a,' R R ABC,则SA= R 0 )答案(1)D(2)2 D 解析：(1)由题意，得扇形的孤长1=3×2r 3 5.正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱 2,所以该国锥的底面圆的半径一-1， 262 O专题七立体几何与空间向量 所以该圆锥的高h一√32一平=2√2. 00,0A,则00L平面ABC,且00，=2SA 设该圆锥内的球的最大半径 又球的半径R=OA=2,OA2=OO十O1A2,所 为R,圆锥的轴截面如图 所示 以4=1SA2+3,得SA=2. R X2× 依题意得S△ABC=之 解题技法 1.求解外接球问题的方法： 2VE=2×(3+3+2)×R,解得R=号 (1)解决多面体外接球问题的关键是确定球 2 心的位置，方法是先选择多面体中的一面， 所以该球的体积V的最大值是号迟=号× 3 确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心 作垂直于此面的垂线，则球心一定在此垂线 3π 上，最后根据其他顶，点的情况确定球心的准 (2)如图，设△ABC的外接圆圆心为O1,连接 确位置. OA.因为△ABC是边长为3的等边三角形， (2)对于特殊的多面体还可通过补成正方体 所以其外接圆辛径r=0A=号×要×3 或长方体、直棱柱的方法找到球心的位置 2.“切”的问题处理规律： =√3. (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决. (2)体积分割是求内切球半径的通用方法. B (③)正四而体的外接球的半径R=,内 切球的半径r三0，其半径R1r=3:1( B 将三棱锥S一ABC补形为正三棱柱SB1C1 为该正四面体的棱长) ABC.由题意知SA为侧棱，设球心为O,连接 (4)等体积法求内切球半径. 节压轴归纳 考查内容 解析：如图，把侧面展开2周可得对角线最短， 空间几何体的展开图 典例如图，已知正三棱柱A下 ABC-A1B1C的底面边长为 1cm,高为5cm,一质点自A点 则AA1=√62+52=√61(cm). 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两 选题意图 周到达A,点的最短路线的长为( 让学生学会采用转化与化归思想解决空间几 A.12 cm B.13 cm 何体的展开图问题，在解决空间折线（段）最短 C.61 cm D.15 cm 问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策 )答案C 略，将空间问题平面化进行求解。 263