6.1 数列的概念及表示(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

专题六 数列 6.1数列的概念及表示 ⊙ 考什么 高效复习必备 核心知识 ①数列的概念；②数列的通项公式；③数列的递推公式；④数列的单调性；⑤数列的前n项和 我们需要重点掌握求数列的通项公式的方法，解决求通项公式的方法有观察分析法、累加法、累 怎么学 乘法、递推法以及前项和法，只要熟练应用这几种方法来求通项，这节课我们也就掌握了 主要思想、 ①观察法求通项公式；②逻辑推理；③分类讨论 方法 ①由Sn求an时易忽视对n=1的验证而致误；②由观察法求数列通项时弄不清符号，数字、字母 易错警示 与项数的变化致误；③不能正确的应用累加法和累乘法导致错误 ⊙ 学什么⊙ 考点内容梳理 考点 数列的概念及表示（高考6年1考）】 1.数列的有关概念 名称 概念 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式 通项公式 子叫做这个数列的通项公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个 递推公式 数列的递推公式 数列{an}的 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即Sn-a1 前n项和 +a2+…+an 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 有穷数列 项数有限 项数 无穷数列 项数无限 递增数列 ant1>an 项与项 其中 递减数列 antI<an 间的大 n∈N 常数列 小关系 ant1 -an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 240 O专题六数列 3.数列与函数的关系 数列{a}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号 n,对应的函数值是数列的第n项am,记为a,=f(n). 知识拓展 在数列{an》中，若an最大，则 fan≥am-1 '(n≥2，n∈N*);若am最小，则 (an<an-1, (n≥2，n∈N*). an≥an+1 anan+i 怎么考 题型各个击破 题型一由an与Sm的关系求通项公式 解析：(1)令n=1,得3a1=2S1+1=21+1, 题型解读 得a1=1,由3an=2Sn十1， 1.已知Sn求an的三个步骤 当n≥2时，3a-1=2S-1+1,两式相减，得 (1)利用a1=S1求出a1. 3an-3a-1=2(Sn-Sn-1)=2a,即a.= (2)当n≥2时，利用an=Sn一Sn-1求出an的 表达式 3a-1,即a=3, an-1 (3)看a1是否符合n≥2时a.的表达式，如果 所以数列{a.}是以a1=1为首项，3为公比的 符合，那么可以把数列的通项公式合写，否则 S,n=1, 等比数列，所以S=1X,3)=121. 应写成分段的形式，即a.= 1-3 Sn-Sn-1,n≥2. (2)当n=1时，a1=21=2,.'a1十2a2+3a3十 2.Sn与am关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的 …十nam=2m,① 方向转化 故a1+2a2+3a3+…+(n-1)am-1=2m-1(n≥ 方向1：利用am=Sm一Sn-1(n≥2)转化为只 2,n∈N*),② 含S,Sm-1的关系式，再求解 由①-②，得nan=2m-2m-1=2m-1,∴.an= 方向2：利用Sn一Sm-1=an(n≥2)转化为只 含an,am-1的关系式，再求解， 2-1 (n≥2，n∈N*). 提醒：注意an=Sm一Sm-1成立的条件是n≥ 显然当n=1时不满足上式， 2,转化后往往能构造等差或等比数列或用 累加、累乘等方法求解 2,n=1, 典例1(1)已知数列{an.}的前n项和为Sm,满 .an 2m-1 ,n≥2，n∈N*. n 足3an=2Sm十1，则S=() A.11 B.31 C.61 D.121 解题技法 (2)已知数列{amn}满足a1十2a2十3a3十…十 求通项公式一定要注意对n=1时的结果进行 nan=2m,则an= 检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符 2,n=1, )答案(1)D(2)X2 合，则数列的通项公式合写；若不符合，则应该 n,n≥2，n∈N 分n=1与n≥2两段来写. 241 讲解 实战高考·数学 题型二 由数列的递推关系求通项公式 题型解读 由递推关系求通项公式的方法及适用类型和要点 方法 适用类型 要点 变形为an+1一an=f(n),利用an=a1十(a2一a)十(a3一a2)十…十(an- 累加法 an+1=an十f(n) an-1)=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)(n≥>2，n∈N*)求解 累乘法 an+i=f(n)an 变形为a=fm,利用a=a·8·8…22-=a·f1）·f2) an 。…·f(n-1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解 am+1=pam十q(p≠0，p≠ 变形为a+1十t=p(a.十)（其中一b是）可得以p为公比的等比数列 1,9≠0) {a,十t}的通项公式，进而可求{a,}的通项公式 构造法 a+1 g80,0≠0，g≠ 先取倒数a=·+ 0,r≠0，p≠r) 再换元：令，=之，则有1=0，：十名，转化为上面构造法模型求解 興例2(1)已知数列{an}满足a1=1,a+中= 号…子言1=n子D显然，对于 2 an m十2则1a的前6项和为( n=1时也成立， B号 c号 所以a (2)设数列{an}满足a1=1,且a+1一a.=n十1(n 则a)的前6项和为2X1-分十分日+… ∈N“),则数列{a}的通项公式为a= + 号)=2×1-7)=号 (3)已知数列{an}满足a=1,a+1=3a,十2(n∈ N*),则数列{an}的通项公式为a,= (2)由题意，得a2一a=2,a3一a2=3,…, 2a. ∴.an- am-1=n(n≥2). （4)已知数列{a}中，a=2,a1 am+2(n∈ 以上各式相加，得am一a=2十3十…十n= N*),则数列{a,}的通项公式为a.= (n-1)(2+n=2+n-2 2 2 )答案(1)C(2)0十n(3)2·3-1-1 2 ra4=l,a,三t2(n≥2 (4)2 当n=1时也满足此式，a,=心十” 2 解析：(1)由=n amn十2，当n>2时，a,=。 (3).'am+1=3an十2，∴.an+1+1=3(am+1), 8.22…%.ea=.n2. .+1十1 =3, an-2 an-3 az a -n+1n an+1 242 ○专题六数列 ∴.数列{a十1}为等比数列，公比q=3. 最值 又a1+1=2,∴.a.+1=2·3m-1, 典例3(1)已知数列{c.}是递增数列，且c,= ∴.am=2·3n-1-1. (3-a)n-4,n≤10， 40u1a424=240, n∈N*,则a的取值范围 d-9+2,n>10, 女+单又=2则 是( ) A.(1,3) B.(1,2] 1=1, C.(2,3) D.(2,4] a12' (2)已知数列{a,}的通项公式为a,=(n十1)· :已}是以号为首项，为公差的等差数列， an 10” ,则数列{an}的最大项为() an al n A.ag或ag B.ag或a1o 解题技法 C.a0或a1 D.a11或a12 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 )答案(1)C (2)B 形如aa网可求和时，用门 (3-a)n-4,n≤10， 、累加法 累加法求解 解析：(1)由cm= n∈N*, a-9+2,n>10, 、累乘法 形如三mm可求积时，用累 数列{cm}是递增数列， 乘法求解 3-a>0, 、构造法 形如an=pan-+m(p,m为常数，p≠1，m≠0) :时，构造等比数列 得a>1, 解得2<a<3,所 取倒数浅 形如am ma化n,m为非零常数时，可 10(3-a)-4<a1-9+2, ka,+p :通过两边同时取倒数的方法构造新数列 以a的取值范围是(2,3). 题型三数列的单调性和最值的应用 (2)结合f(x)=(x十1) 的单调性，设数 题型解读 a≥am+1, 列{an}的最大项为a,则 1.判断数列单调性的两种方法 an≥an-1 (1)作差（商）法. (a+1)·(9)≥+2)·(9》， (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用 所以 导数或利用基本初等函数的单调性探求其 a+1)·(≥·()。 单调性，再将函数的单调性对应到数列 解不等式组可得9≤n≤10. 中去 2.求数列中最大（小）项的两种方法 所以数列{an}的最大项为ag或a1o. (1)根据数列的单调性求解， 解题技法 解决数列的单调性问题，常用作差比较法，根 (2)利用不等式组 an≥an-1 或 au≥an+1 据差的符号判断数列{an}的单调性，如：{an} a.≤a1'求出n的值，进而求得a,的 是递增数列台a+1>an,{an}是递减数列台 an≤am+1, an+1an. 243 讲解册 实战高考·数学 ⊙ 怎么学 本节压轴归纳 ⊙ 考查内容 W3-√3 a4= =0, 数列的周期性 1+√3X√3 所以数列{a}的取值具有周期性，且周期为3. 典例在数列{a}中，a=0,a+1= 3+a,S, 1-√3a 又a1+a2十a3=0, 是数列{a}的前n项和，则So2s= 所以S2026=S3×675+1=a1=0. )答案0 选题意图 √3十am,所以a2= 解决数列的周期性问题，让学生学会归纳猜想 解析：因为a1=0,an+1= 1-√3am 的方法，能够体会由特殊到一般的解题思路， +3=23=-3, 3=8,a-1-3X8 解决该类题目先求出数列的前几项，归纳出数 1 2 列的周期，再根据周期性求值. 6.2 等差数列 ⊙ 考什么 高效复习必备 ①等差数列的概念；②等差数列的性质的应用；③等差数列前项和公式的应用；④等差数列前 核心知识 n项和的性质的应用 本节课我们主要需要掌握的一是等差数列的判定，解决这类问题可以采用等差数列定义法和等 怎么学 差数列中项法进行判定；二是等差数列性质的应用，熟记等差数列的性质，结合不同等差数列情 景去套用性质，熟练解决该类问题，同时熟练应用方程思想和整体思想来解决问题 主要思想、 ①方程思想；②逻辑推理；③分类讨论；④整体思想 方法 易错警示 ①在“知三求二”时运算不过关致误；②应用性质时出现错误 ⊙ 学什么⊙ 考点内容梳理 考点个 等差数列的定义（高考6年4考） 般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列 等差数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an 的定义 an-1=d(常数)(n≥2，n∈N*) 等差中项 由三个数a,A,b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A=a十b 等差数列的 (1)通项公式：an=a1十(n-1)d. 有关公式 (2)前n项和公式：S=a+"2D1或S,-a寸） 2 244