4.1 三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

专题四 三角函数与解三角形 目 4.1三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 ⊙ 啦高效复习必备 核心知识 ①角的有关概念的理解；②三角函数的概念；③诱导公式的应用；④三角恒等变换 本专题主要考查三角公式的灵活应用，包括公式正用、逆用、变形用等，灵活运用公式进行化简、 怎么学 求值、证明以及解三角形或结合三角函数图象和性质解题，还要熟悉角的拆拼、变换的技巧 主要思想、 ①方程思想；②整体代换；③分类讨论；④数形结合 方法 ①对三角函数符号把握不准而致误；②易忽视角α所在的范围导致所求的值分不清正负而致 易错警示 错；③不能灵活应用诱导公式致误，④倍角公式不能正确进行变形致误 学什么》 考点内容梳理 ⊙ 考点1三角函数的概念与诱导公式（高考6年2考） 1.任意角的三角函数 (1)定义 前提 正弦 余弦 正切 如图，设&是一个任意角，a∈R,它的终边OP 与单位圆交于点P(x,y) y叫做a的正弦x叫做a的余弦y叫做a的正切 P(x,y) 函数，记作sina 函数，记作cosa 函数，记作tana A(1,0) (2)定义的推广 设P(x,)是角a终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0),那么sinQ=, 号，tana=(x≠0). cos a= 2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2a-十cos2a=1; (2》商数关系：tana-0C(c≠受+kx,k∈Z, cos a 214 O专题四三角函数与解三角形 3.诱导公式 角 2kπ+a(k∈Z) π十a 一a xa 2 a a 正弦 sin a -sin a -sin a sin a cos a cos a 余弦 cos a cos a cos a cos a sin a sin a 正切 tan a tan a -tan a -tan a 口诀 奇变偶不变，符号看象限 知识拓展 1.三角函数值在各象限的符号规律： 一全正，二正弦，三正切，四余弦 2.象限角和轴线角： 第一象限角) {a2km<a<2km+牙，k∈Z] 轴线 终边落在c轴上的角)aa=kπkeZ] 限 角 第二象限角 fa2kw+T<a-2kn+mkEZ} a42km+m<a<2km+3要ke2☑ 的 终边落在2y轴上的角) {aa=罗+km.kEZ] 第三象限角) 集 第四象限角) {a2km+<a<2km+2mke2☑ 集 合 终边落在坐标轴上的角) {aa=号m,keZ] 考点2 三角恒等变换（高考6年4考） (1)公式Ca-D:cos(a-B)=cos acos B+-sin asin B; (2)公式Catn:cos(a+B)=cos acos B--sin asin B; 两角和与差的余 (3)公式Sam:sin(a-B)=sin acos B-cos asin B; 弦、正弦、正切(4)公式Sa+m:sin(a十B)=sin acos B+cos asin B; 公式 (5)公式Ta:tan(aB)=i干tan atan tan a-tan B (6)公式Ta+p:tan(a+)=i-tan atan tana十tanB (1)公式S2a:sin2a=2 sin acos a. 二倍角的正弦、 (2)C2:cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a. 余弦、正切公式 (3)公式Ta:tan2a=1-tana 2tan a 辅助角公式 asin a+bcos a=√a2+bsin(a十p),其中sinp= Va,cos= a a2+b 半角公式（不要 sin受=± /cs=士√g0;an号=±√-o8符号由号所在象限 求记忆) 决定 215 讲解册 实战高考·数学 知识拓展 1.两角和与差的公式的常用变形： (1)sin asin B+cos(a+B)=cos acos B. (2)cos asin B+sin(a-B)=sin acos B. (3)tana士tanB=tan(a士B)(l干tan atan). (4)tan atan B-1-tan af tanBtana tanB 1. tan(a+B) tan(a-B) 2.二倍角公式的变形公式： （11-c0sa=2sim号，1十c0sa=2cos2受.（升幂公式） (2)1士sina sin号±cos (升幂公式)》 (3)sin2a= 1-cos 2a cos2 a= 1-cos 2a 1一cos20.(降幂公式) tan?a-1+cos 2a 3.半角正切公式的有理化：tan号-干coSa sin a 1-cos a sin a 怎么考 题型各个击破 题型一同角三角函数基本关系式的应用 (2)sine=-tan(a≠5+kr,k∈Z. 题型解读 典例1（多选）已知0∈(0，π)，sin0+cos0 1.利用sina十cos2B=1可以实现角a的正弦、 余弦的互化，利用sn。=tana可以实现角 专则( ) cos a a的弦切互化、 A9e(受，x) B.cos 0=-3 2.sina,cosa的齐次式的应用 C.tan 0=-3 D.sin 0-cos 7 5 (1)已知tana的值，求关于sina与cosa的 )答案ABD 齐n次分式的值：分子、分母同除以cos"a, 转化为关于tana的式子求解. 解析：sin0+cos0= 0 (2)“1”的代换问题：含有sina,cos2a及 (sin9+cos0=1+2n0eos0-云： sina·cosa的整式求值问题，可将所求式 子的分母看作“1”，利用“sina+cos2a=1” 2sin 0cos24 25 代换后转化为“切”，然后求解。 .0∈(0，π)，.sin0>0,cos0<0,∴.0∈ 3.同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2a=1-cos2a=(1+cos a)(1- (受，故A正确； cos a); (m0-cos0=1-2sn0os0-器∴sm0 cos2a=1-sin2a=(1+sin a)(1-sin a); (sina士cosa)2=1±2 sin acos a. cos 0=7 ② 216 ○专题四三角函数与解三角形 故D正确； 解题技法 由①②得sin0= 5,C0s0=- 故B正确： 三角函数式的化简要注意观察条件中角之间 的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和 tan 0= sin 0 cos 0 3,故C错误 三角函数公式之间的联系点 解题技法 题型三三角函数式的求值 (1)形如asin a十bcos a 题型解读 csin a+dcos a' asin2a+bsin acos a+ 三角函数式求值的三种题型 ccos2a等类型可进行弦化切. (1)给值求值问题一般是将待求式子化简整 (2)对于sina+cosa,sin acos a,sina-cosa 理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后 这三个式子，利用(sina土cosa)2=1士 根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入 2 sin acos a,可以知一求二. 即可 题型二三角函数式的化简 (2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊 题型解读 角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时， 要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊 通过看三角函数式中各角之间的差别与 一看 角并且消除特殊角三角函数而得解， 式中各角 联系，把角进行合理的拆分，从而正确使 用公式 (3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数 二看 看函数名称之间的差异，从而确定使用的 值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下 函数名称 公式，常见的有“切化弦” 原则： 分析结构特征，找到变形的方向，常见的 ①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦 三看 结构特征 有“遇到分式要通分”“整式因式分解” 函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 “二次式配方”等 典例2若tan35°=m,则+sin20° (0,）选正余弦皆可。 c0s20° ②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范 A B阳 围为（一受，），选正弦较好。 cI m D.m 典羽已知a,8均为锐角，osa=2y7, 7,sin B= )答案C ,2a-B= 解析：tan35°=tan(45°-10)= 1-tan10° 33,则c0s2a 14 1+tan 10 =m, )案75 1+sin20°=1+2sin10°cos10°_ c0s20° cos210°-sin210° 解析：因为0sa=29,所以0s2a=20s。 (cos10°+sin10°)2 (cos10°-sin10)(cos10°+sin10) -1= _cos10°+sin10°_1+tan10°_1 cos10°-sin10°1-tan10°m 又因为e,8均为能角血合=3源，所以ma 217 讲解 实战高考·数学 =V21 os是 又B为锐角，所以-登<2a-K受 因此sin2a=2 sincos=4y5, 7, 又m(2a0=号，所以2a日-5 所以sin(2a-β)=sin2 acos B--cos2 asin B= 解题技法 4×将-×39- 运用两角和与差的三角函数公式以及倍角公 7 式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆 因为a为锐角，所以0<2a<元.又cos2a>0, 用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思 所以0<2a<受， 路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力. 怎么学 本节压轴归纳 考查内容 则cos（+君)=-/1-sin(xw+)= 三角恒等变换的综合应用 典例已知a=[2cosx,23sin(x+)], 3, b=[cosx,-cos(z+)],记f(z)=a· 则sin2(z+g)=2sin(z+)cos(a+晋） b,x∈R 45ws2(+》-as(+） (1)求函数f(x)的最小正周期； sn(x十）-g, (2)若f(受)=号∈（肾，，求c0s2 可得cs2a=60s[2(6十若）-5]=c0s2(x 解：(1)因为f(x)=a·b=2cos2x-2√3sin(x +)cos号+sin2(a+晋)sin号-g×号十 +cos (+)=1+cos 2z-3sin (2x+ =1+s2x2x号s2=x (-4g5)×=1-西，所以s2z 2 18 2 =1-4√15 sin 2z-2cos 2z+1--sin (2+1, 18 选题意图 所以)的最小正周期T-受=元 让学生进行三角恒等变换要抓住：变角、变函 数名称、变结构，尤其是角之间的关系；并且注 (2)因为f(9)=一sin·(a+晋)+1=3，可 意公式的逆用和变形使用.对于形如y= 得sim(a十)=号，又因为∈（肾）， asin x-十bcos x化为y=√a2+bsin(x+p),再 进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对 则∞十晋（经，爱》， 称性 218