3.1 导数的概念及运算(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

专题三 导数及其应用 3.1导数的概念及运算 丝高效复习必备 ①理解导数的定义；②熟练掌握导数的几何意义；③熟记基本初等函数的导数公式；④灵活应 核心知识 用导数的运算法则；⑤会运用复合函数的求导法则 我们要熟记基本初等函数的导数公式和函数和、差、积、商的求导法则以及复合函数的求导法 怎么学 则，能够运用导数公式和导数运算法则解决导数的计算和导数的几何意义等一些简单的问题 主要思想、方法 ①待定系数法；②数形结合；③分类讨论；④数学运算 易错警示 ①混淆“在点P处的切线”和“过点P处的切线”问题；②复合函数导数法则不清致误 学什么⊙ 考点内容梳理 考点1①导数的概念（高考6年4考） 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x处的导数记作f(xo)或yx=,: f)=m- f(xo+△x)-f(x) △x (2)函数y=f(a)的导函数（简称导数）f(x)=y=1imfx十A)-f) Ax0 △x 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=xo处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(xo,f(xo)处的切线的 斜率，相应的切线方程为y一f(xo)=f(xo)(x一xo). 注意)(1)f(xo)代表函数f(x)在x=x处的导数值；(f(x0))'是函数值f(xo)的导数，而函数值 f(x)是一个常量，其导数一定为0，即(f(xo)'=0. (2)求曲线的切线时，要分清在，点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包 括了前者 考点2导数的运算（高考6年4考） 1.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=0 f(x)=x(a∈R,且a≠0) f(x)=ax-1 f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x 196 O专题三导数及其应用 续表 基本初等函数 导函数 f(x)=a(a>0,且a≠1) f(x)=a'In a f(z)=e f(r)=e f(x)=logx(a>0,且a≠1) f)=1 xlna f(x)=In x fw)=是 2.导数的运算法则 若∫(x),g(x)存在，则有 [f(x)士g(x)]'=f(x)土g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); [-fwfg@(g≠0：'=ofe. [g(x)]2 3.复合函数的定义及其导数 复合函数y=f(g(x)的导数与函数y=f(w),u=g(x)的导数间的关系为yz=y。·ux,即y 对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 知识拓展 1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数 2.曲线的切线与曲线的公共，点不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共，点 3.“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明 点P不一定是切，点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上 4.函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向， (x)的大小反映了f(x)图象变化的快慢，子(x)越大，曲线在这点处的切线越“陡” 生题型各个击破 题型一利用导数的几何意义求曲线的切 方程，即y-f(x1)=f(c1)(x-x); 线方程及参数 第三步：将点P(xo,y)代入切线方程求 出x1; 题型解读 第四步：将1的值代入方程y一f()= 1.若已知曲线y=f(x)过点P(xo,yo),求曲 f(1)·(x一x1),可得过点P(xo,y)的切 线过点P的切线方程，则需分点P(x,) 线方程 是切点和不是切点两种情况求解 2.已知切线方程求参数 (1)当点P(xo,yo)是切点时，切线方程为 当曲线的切线方程是已知条件时，常选择以 y-yo=f(xo)·(x-xo). 下三个条件的表达式解题： (2)当点P(x,yo)不是切点时，可分以下几 (1)切点在切线上； 步完成： (2)切点在曲线上； 第一步：设切点坐标为P(x1,f(x); (3)在切点横坐标处的导数等于切线的 第二步：写出在点P(x1,f(x1))处的切线 斜率 197 讲解 实战高考·数学 典例1过y轴上一点(0，a)可以作函数f(x)= 图象关于直线x=a对称台导函数f(x)的 x3十x2一x图象的3条切线，则a的取值范围 图象关于点(a,0)对称 是() 性质2：若函数f(x)连续且可导，则f(x)的 A(27) 图象关于点(a,f(a)对称台导函数f(x) 的图象关于直线x=a对称. c(-3o) D(,》 2.导函数与原函数奇偶性的关系 性质1：若f(x)为偶函数且可导，则f'(x) )答案A 为奇函数. 解析：因为f(x)=x3十x2一x,所以f(x) 性质2：若f(x)为奇函数且可导，则f(x) 3.x2+2x-1. 为偶函数 设切，点为(x0,x8十x号一x),则切线方程y 典例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(1 (3x+2x-1)(x-x)+x8+x8-xo, 而切线l过点(0，a),将点(0，a)代入方程得到 十x)=f(1-x),且f(2+x)=-f(2-x), f(x)是f(x)的导数，则( a=-28-x6, A.f(x)是奇函数，且是周期函数 令g(x)=-2x3-x2,g'(x)=-6x2-2x, B.f(x)是偶函数，且是周期函数 令g(x)<0,x∈(-0，-3U(0,+∞)，此 C.f(x)是奇函数，且不是周期函数 时g)在(-0，一3)和(0，十)上单调 D.f(x)是偶函数，且不是周期函数 )答案B 递减， 解析：根据题意，定义在R上的函数f(x)满足 令g(x)>0,x∈（-30，此时g(x)在 f(1十x)=f(1-x),所以f(-x)=f(2十x) 又∫(2+x)=-f(2-x),所以f(-x) (一日，0)上单调递增， =-f(4十x), 故g(x)有极小值g(-号）=一7，有极大值 所以f(x+4)=一f(x+2),即f(x+2) =-f(x), g(0)=0,则得到a∈(-7,0)，故A正确。 所以f(x十4)=-f(x十2)=f(x),所以f(x) 是周期为4的周期函数， 解题技法 所以f(x+4)=[f(x十4)]'=f(x),所以 求曲线切线方程的步骤： f(x)是周期函数， (1)求出函数y=f(x)在，点x=xo处的导数， 因为f(-x)=f(2十x)=-f(x),即f(x)= 即曲线y=f(x)在，点P(xo,f(xo))处切线的 -f(-x),所以f(-x)=-[f(-x)]'= 斜率； f(x),所以f(x)是偶函数. (2)由点斜式方程求得切线方程为y一f(x) 解题技法 =f(xo)·(x一o). 求解此类问题的关键是熟知原函数与导函数 题型二导函数与原函数的性质联系问题 间的性质关系，明确函数的奇偶性、对称性、周 题型解读 期性之间的内化条件，体会赋值法在解题中的 1.导函数与原函数对称性的关系 应用. 性质1：若函数f(x)连续且可导，则f(x)的 198 O专题三导数及其应用 ⊙ 怎么学⊙ 本节压轴归纳 考查内容 即品=2-ha>0. 公切线问题 典例若两曲线y=lnx-1与y=a.x存在公 令g(.x)=2.x2-x21nx,x>0,则g'(x)=3x 切线，则正实数a的取值范围是( 2xln x=x(3-2In x), A.(0,2e] B[e,+ 令g(x)=0,得x=e,当x∈(0，e)时， g'(x)>0,g(x)单调递增； C.(0.e-] D.[2e,+oo) 当x∈(e,十o∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递 )答案B 解析：设公切线与曲线y=lnx一1和y=ax 减，所以g(x)m=ged)=2C, 的切，点分别为(c1,lnx1一1)，（x2,ax号)，其中 故0,≥ 1 >0,对于y=1nx-1有y-,则切线方 洗题意图 程为y一(Im-1D-(x-),即y- 让学生清楚公切线问题是该直线是两条曲线 +lnx1-2. 的切线，公切线问题应根据两个函数在切点处 对于y=ax2,有y=2ax,则切线方程为y一 的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上， ax吃=2ax2(x-x2),即y=2ax2x-ax吃， 列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组 1=2ac2' 1 进行求解，或者分别求出两函数的切线，利用 所以x 则一 axi =ln-2, (In x-2=-ax2, 两切线重合列方程组进行求解， 3.2利用导数研究函数的单调性、极值和最值 ⊙ 考什么 高效复习必备 核心知识 ①函数单调性的应用；②求函数的极值及函数极值的应用；③求函数的最值及函数最值的应用 我们结合实例可以总结出求可导函数单调区间、极值和最值的一般步骤和方法，并会应用导数 怎么学 解决求单调区间、比较大小、求参数和解不等式等问题，但要注意解决问题前首先要考虑函数的 定义域 主要思想、 ①待定系数法；②数形结合；③分类讨论；④转化与化归 方法 ①在求函数的单调区间和极值时，首先要考虑函数的定义域；②当求出函数的单调区间有多个 易错警示 时，不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开，③混淆极值与极值点的概念而致错 199