2.1 函数的概念和基本性质(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

专题三 函数及其性质 2.1函数的概念和基本性质 ⊙ “丝高效复习必备 ①函数的三要素；②函数的常用表示方法；③函数的单调性和最值的应用；④函数奇偶性的应 核心知识 用；⑤函数周期性、对称性的应用 我们可以结合基本初等函数图象，通过观察、分析掌握一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质 怎么学 的应用规律，能够运用这些规律方法解决一些函数性质的应用问题 主要思想、 ①赋值法；②数学运算；③分类讨论；④数形结合 方法 ①忽视限制条件求错函数定义域；②利用单调性解不等式时易忽视定义域而致误；③易忽视复 易错警示 合函数的定义域而致误 ⊙ 学什么 考点内容梳理 考点函数的概念（高考6年0考） 1.函数的概念 般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应 概念 关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称∫：A→B为从集合A到集合 B的一个函数 对应关系 y=f(x),x∈A 三要素 定义域 x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A) 2.同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同， 那么这两个函数为同一个函数， 3.函数的表示方法 表示函数的常用方法：解析法、图象法、列表法。 注意)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点。 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种 函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集， 1781 O专题二函数及其性质 知识拓展 已知函数y=f()与u=g(x),给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的 值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x)有意义，且称y=h(x)=f(g(x))为函数f()与 g(x)的复合函数，其中u称为中间变量。 考点2函数的单调性与最值（高考6年4考） 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 般地，设函数f(x)的定义域为D,区间I二D,如果Hx1,x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就称 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就称函数 定义 函数f(x)在区间I上单调递增.特别地，当函 f(x)在区间I上单调递减.特别地，当函数f(x)在它 数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就 的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 称它是增函数 y=f(x) f( 图象 -y=f(x) foc) if(cc, 描述 0x12x 03x 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 注意)若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“U”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗 号”或“和”联结， 2.函数的最值 前提 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 ①Hx∈D,都有f(x)≤M; ①Hx∈D,都有f(x)≥M; 条件 ②]x∈D,使得f(xo)=M ②]xo∈D,使得f(x)=M 结论 M为最大值 M为最小值 知识拓展 1.函数单调性的两个等价结论： 设Hx1,x2∈D(x1≠x2),则 Q)f）二f2>0(或(-)f()-f)]>0)台f()在D上单调递增； 2x1一X2 (2)f二f)<0(或(1-)Lf()-f)]<0)台f()在D上单调递减. x1一x2 179 讲解册 实战高考·数学 2.若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)当f(x),g(x)都是增（减）函数时，f(x)十g(x)是增（减）函数； (2)若>0，则f(x)与f(x)单调性相同；若<0，则f(x)与f(x)单调性相反； ③)函数y=f代m(f代x)≠0)在公共定义城内与y=一fxy-的单调性相反： (4)复合函数y=f(g(x)的单调性与y=f()和u=g(x)的单调性有关.简记为“同增异减”. 3.最值定理 闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处， 考点3函数的奇偶性与周期性（高考6年4考）】 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特征 设函数f(x)的定义域为D,如果Hx∈D,都有一x∈D,且f(一x) 奇函数 关于原点对称 =一f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 设函数f(x)的定义域为D,如果Hx∈D,都有-一x∈D,且f(一x) 偶函数 关于y轴对称 =f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 注意(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。 (2)若f(x)≠0，则奇（偶）函数定义的等价形式如下： ①f(-)=-fx)台f-x)+)=0e=-1台f(x为奇函教； f(x) ②f(-x)=f()f-D）-f)=0=f-2=1台f为偶函载 f(x) 2.函数的周期性 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)= 周期函数 f(x),那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最 正周期 小正周期 知识拓展 1.函数的奇偶性的常用结论： (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则一定有f(0)=0.如果函数f(x)是偶函数， 那么f(x)=f(x) (2)在公共定义域内有：奇士奇=奇，偶士偶=偶，奇X奇=偶，偶X偶=偶，奇X偶=奇 (3)若y=f(x十a)是奇函数，则f(一x十a)=一f(x十a),若y=f(x十a)是偶函数，则f(一x +a)=f(x+a). 2.函数的周期性的常用结论： 对f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x十a)=-f(x),则T=2a(a>0). 180 O专题二函数及其性质 (2)若f(x十a)= f,则T=2a(a>0). (3)若f(x十a)= f,则T=2a(a>0). (4)若f(x+a)=f(x+b),则T=a一b(a≠b) 怎么考 题型各个击破 题型一函数的单调性及应用」 典例1(1)函数f(x)=√/1og2(x2-2x)的单调 题型解读 递增区间为( ) 1.判断函数的单调性（或求函数的单调区间） A.[1,+∞) B.[1十√2，十o∞) 的方法 C.(2,十∞) D.(1+√5，+o∞) 般步骤：设元→作差→变形→判断 (2)已知定义域为R的函数f(x)满足 定义法 符号→得出结论 f(x十4)十f(-x)=0,且对任意的x1,x2∈ 若函数f(x)是以图象形式给出的，或 [2,十0)，都有f)二f>0成立.若m, C1一C2 图象法 者f(x)的图象易作出，则可由图象的 n是关于x的方程x2一4x十t2一5=0的两个 上升或下降确定函数的单调区间 不等实根，则关于t的不等式f(m)+f(n)+ 先求导数，再利用导数值的正负确定函 导数法 f(t)>0的解集为( 数的单调区间 A.(-∞，2) B.(-3,2) 对于由两个函数的和、差构成的函数， C.(2,+∞) D.(2,3) 可以根据这两个函数的增减性及“增十 性质法 )答案(1)B(2)D 增=增，增一减=增，减十减=减，减 解析：(1)由log2(x2-2x)≥0且x2-2x>0, 增=减”进行判断 得x2-2x≥1，即x≤1-√2或x≥1十√2， 对于复合函数，先将函数f(g(x)分 所以函数f(x)=√/1og2(x2-2x)的定义域为 解成y=∫f(t)和t=g(x),然后讨论 (-∞，1-√2]U[1+√2，+o∞). 复合法 (判断)这两个函数的单调性，再根据复 合函数的单调性“同增异减”的规则进 因为y=x2-2x=(x-1)2一1在(-0∞，1 行判断 √2]上单调递减，在[1十√2，十∞)上单调递增， 且函数y=log2x为增函数， 2.利用函数单调性求参数的解题策略 所以函数y=log2(x2-2x)在(-0∞，1-√2]上 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单 调性的定义，确定函数的单调区间，与已知 单调递减，在[1十√2，十∞)上单调递增 单调区间比较求参数. 又因为函数y=√元为增函数，所以函数f(x) (2)若函数在区间[a,b]上是单调的，则该 一√1og2(x2-2x)的单调递增区间为[1+√2， 函数在此区间的任意子区间上也是单调的 十∞). (3)分段函数的单调性需要分段研究，既要 (2)因为m,n是关于x的方程x2-4x十t2一5 保证每一段函数的单调性，还要注意每段端 =0的两个不等实根， 点值的大小 所以△=16-4(t2-5)>0,解得-3<t<3,且 181 讲解册 实战高考·数学 m+n=4. 策略： 由f(x+4)+f(-x)=0,x∈R, 先将待求区间上的自变量转化到已知区间 知函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则 上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充 f(m)+f(n)=0,且f(2)=0. 分利用奇偶性构造关于f(x)的方程（组）， 又因为对任意的1，x2∈[2，十∞)，都有 从而得到f(x)的解析式。 f(x1)-()>0成立， (2)利用函数的奇偶性求参数的值的解题 C1一C2 策略： 所以f(x)在[2，十∞)上单调递增，则该函数 利用待定系数法求解，根据f(x)士f(一x) 在（一∞，2）上也为增函数， =0得到关于待求参数的恒等式，由系数的 从而可知，函数f(x)在R上为增函数.由f(m) +f(n)+f(t)>0,可得f(t)>0=f(2), 对等性得出参数的值.对于在x=0处有定 解得t>2.又因为-3<t3,所以2<t3. 义的奇函数f(x),可考虑列等式f(0)=0 解题技法 求解 (1)求解复合函数的单调区间时，应注意函数 (3)利用函数的奇偶性解不等式的解题 的定义域 策略： (2)利用单调性求参数的取值（范围）.根据其 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在 单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式 对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区 (组)或先得到其图象的升降，再结合图象求 间上的单调性相反，将问题转化到同一单调 解.对于分段函数，要注意衔接，点的取值. 区间内求解，涉及偶函数时常用f(x)= 题型二奇偶性的判断及应用 f(x),将问题转化到区间[0，十∞)上 题型解读 求解。 1.函数奇偶性的判断方法 典例2(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶 (1)定义法： 函数，f(x)在[0，十∞)上单调递减，且f(3)= 确定 判断定义域是否 否 既不是奇函数 0,则不等式(2x一5)·f(x一1)<0的解集 定义域 关于原点对称 也不是偶函数 为( 8 得出 计算f-网) 确定f)与f-)的关系 B.(4,十∞) 结论 A.(-,-2U(,4) (2)图象法： C(-2,8)U4,+∞) D.（-0∞，-2) 关于原点对称 f)为奇函数 fc)的图象 (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x 关于y轴对称→f)为偶函数 2 >0时，f)=正-2x+2则fm= (3)性质法：对于由两个函数的和、积构成的 2 函数，可以根据这两个函数的奇偶性及“奇 x2+2.x+2x0, 十奇=奇，奇×奇=偶，偶十偶=偶，偶×偶 )答案(1)C (2)0,x=0, =偶，奇×偶=奇”进行判断. 2 2.函数奇偶性的应用 x2-2x+2x>0 (1)利用函数的奇偶性求值（解析式）的解题 解析：(1)依题意，函数的大致图象如图： 182 O专题二函数及其性质 题型三目函数的对称性、周期性的应用 题型解读 1.奇函数、偶函数的对称性 因为f(x)是定义在R上的偶函数，在[0， (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的 十∞)上单调递减，且f(3)=0, 图象关于y轴对称. 所以f(x)在（一o,0]上单调递增，且f(一3） (2)若函数y=f(x十a)是偶函数，则函数y =0, =f(x)的图象关于直线x=a对称；若函数 则当x>3或x<一3时，f(x)<0;当一3<x y=f(x十a)是奇函数，则函数y=f(x)的 <3时，f(x)>0. 图象的对称中心为点(a,0). 不等式(2x一5)·f(x一1)<0化为 2.函数的轴对称和中心对称 2x-5>0, 2x-5<0, (1)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a 或 所 以 f(x-1)<0 对称，则f(a-x)=f(a十x)台f(2a-x)三 f(x-1)>0, f(x): (2x-5>0, 2x-5>0, 或 或 (2)若函数y=f(x)满足f(a一x)=一f(a x-1>3 x-1<-3 十x),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0) (2x-5<0, 解得x>4或x=⑦或一2<x 对称. .-3<x-1<3, (3)若函数y=f(x)满足f(a一x)+f(b+ <号放2<号或>4， x)=c,则函数f(x)的图象的对称中心 即原不等式的解集为(-2，)U(4,十∞).故 为， 选C 3.函数的周期 (2)由函数f(x)是R上的奇函数，得f(0)= 已知a,b∈R且a≠b, 0,而当x<0时，一x>0, (1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和x 2 =b对称，则函数f(x)的一个周期为 所以f(x)=-f(-x)=一 (-x)2-2X(-x)+2 2b-a; 2 (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点 x2+2x+2 (b,0)对称，则函数f(x)的一个周期为 2 22+2x+22<0, 2b-a; 综上所述，f(x)=0,x=0, (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点 (b,0)对称，则函数f(x)的一个周期为 2-2x+2x>0, 4b-a. 解题技法 典例3(1)（多选）已知函数f(x)是定义域为R (1)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区 的奇函数，g(x)=（x一2)f(x),若g(4一x)= 间上的图象，结合图象直观求解相关问题. g(x),f(-1)=-2,f(2)=0,则() (2)利用奇偶性求解析式，求谁设谁，自变量 A.g(5)=-6 转移。 B.f(x)的图象关于点(2,0)对称 183 讲解册 实战高考·数学 C.f(x)是周期为4的周期函数 对于D选项，因为函数f(x)是定义域为R的 2025 D.2f)=2 奇函数， 则f(0)=0,f(1)=-f(-1)=2,f(2)=0, )答案BCD 解析：对于A选项，因为g(4一x)=g(x),则 f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以 g(5)=g(-1)=-3f(-1)=-3×(-2)= f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0. 6,A错误；对于B选项，由g(4一x)=g(x)可 因为2025-4×506+1，则罗f()-506× 得[(4-x)-2]f(4-x)=(x-2)f(x). [f(1)+f(2)+f3)+f(4)]+f(1)=2,D 整理可得(2-x)f(4一x)=(x一2)f(x), 正确， 当x≠2时，则有f(4一x)=一f(x),即f(4 解题技法 x)+f(x)=0, 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函 当x=2时，f(2)=0,也满足f(4一x)+f(x)=0, 所以函数f(x)的图象关于，点(2,0)对称，B正确； 数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起 对于C选项，因为f(x)是定义域为R的奇函数， 命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称 且f(x)=-f(4一x)=f(x+4),所以函数 性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现 f(x)是周期为4的周期函数，C正确； 区间的转换，再利用单调性解决相关问题， 怎么学 本节压轴归纳 考查内容 即当x+y>x>0时，有f(x十y)一f(x)>0 抽象函数 恒成立， 典例（多选）已知函数f(x)的定义域为R, 故f(x)在(0，十∞)上单调递增，故B正确； f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),Ef(1) 令x=n(n∈N*),y=1,则有f(n十1)=f(n) =1,当x>0时，f(x)>0,则下列说法正确的 +f(1)+f(n)f(1), 是() 即f(n+1)=2f(n)十1，即f(n+1)+1= A.f(0)=-1 2[f(n)+1]. B.f(x)在(0，十o∞)上单调递增 又f(1)+1=2,故数列{f(n)+1}是以2为首 C.数列{f(n)十1}(n∈N*)是等比数列 项，2为公比的等比数列，故C正确； D.当x<0时，-1<f(x)<0 由数列{f(n)十1}是以2为首项，2为公比的 )答案BCD 等比数列， 解析：令x=1,y=0,则有f(1)=f(1)+f(0) 故f(n)+1=2",即f(n)=2m-1,所以当x→ +f(1)f(0).由f(1)=1, 十∞时，f(x)→十∞. 得1=1+f(0)+f(0),即f(0)=0,故A 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(一x)十f(x)· 错误； f(-x)=0. 令x>0,y>0,则有f(x+y)-f(x)=f(y) 当x>0时，f(x)>0,所以f(-x)= +f(x)f(y)=f(y)[1+f(x)]. f(x) 1 由x>0,y>0,故x+y-x>0、f(x)>0、 ff--1+1+fo f(y)>0,则f(y)[1+f(x)]>0, 因为x>0,则一x<0,又f(x)>0,所以0< 184 ○专题二函数及其性质 1+f<1,所以-1<f-x)<0, 1 次函数模型；见到f(xy)=f(x)f(y),可构 造幂函数模型或构造函数f(x)=0或构造函 所以当x<0时，一1<f(x)<0,故D正确. 数f(x)=1;见到f(x+y)=f(x)·f(y),可 选题意图 构造指数函数模型或构造函数f(x)=0或构 让学生学会利用赋值法来破解抽象函数问题， 一是会通过对自变量赋值，得到所需要的函数 造函数f(x)=1;见到f(xy)=f(x)+f(y), 值，常对自变量取0，士1，士2等值；二是会取 可构造对数函数模型或构造函数f(x)=0), 特殊函数，常通过取符合题意的特殊函数，对 才能轻松构造出可排除题意的特殊函数；三是 所给的选项进行排除，此时，需熟悉基本初等 利用函数单调性、基本不等式等，判断所给的 函数（如见到f(x十y)=f(x)十f(y),可构造 不等式正确与否 2.2 基本初等函数 ⊙ 考什么⊙ 高效复习必备 核心知识 ①指数函数的图象与性质；②对数函数的图象与性质；③幂函数的图象与性质 我们要熟练掌握指数函数、对数函数和幂函数的图象，通过结合指、对、幂函数的图象，理解它们 怎么学 的性质，体会数形结合思想在数学中的应用 主要思想、 ①换元法；②数形结合；③分类讨论 方法 ①底数含参数未进行讨论致误；②易忽视对数的真数大于0而致错；③忽视换元后的取值范围 易错警示 致误 ⊙ 学什么⊙头 考点内容梳理 考点指数函数及其性质（高考6年2考） 1.概念：一般地，函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y /= 1=a 图象 (0,1) (0,1) -y=1 .-y=1 01x 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点(0,1)，即x=0时，y=1 性质 当x>0时，y>1;当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1;当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 185