专题3 解题高招(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

解题高招令怎么做 解题高招1 同构函数问题 p题目特征 x0, 或 高考中有这样一类题型，题目中不是给出具体 g(x)<0=g(-1), 的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数 x>0, 「x<0, 即 x<1 或 x<-1, 所以x<-1或0<x 满足的条件，这就需要根据条件构造函数，研 究所构造函数的单调性等性质，进而解决 <1, 问题， 所以f(x)>0的解集为（一∞，一1）U(0,1). p样板题 故选A. 典例设f(x)是定义域为R的奇函数， )答案A f(-1)=0,当x>0时，xf(x)-f(x)<0,则 【答题模板】 使得f(x)>0成立的x的取值范围是( (1)出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x) A.(-∞，-1)U(0,1) =x"f(x); B.(-1,0)U(1,+∞) (2)出现xf'(x)一nf(x)形式，构造函数F(x) C.(-∞，-1)U(-1,0) =f(x) D.(0,1)U(1,+∞) x 【陷阱解法】 °题型延伸三 1.不能正确的构造函数；2.不能正确的结合图 典例若定义在R上的函数f(x)满足 象求解不等式 f(x)- 2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x) 【点评】 >e2x的解集为 本题根据所给的条件xf(x)一f(x)<0,构造 【陷阱解法】 出正确的函数关系式，然后求导，结合函数的 本题很容易与nf(x)+xf(x)形式混淆造成 图象求解不等式 误解。 【科学解法】 【点评】 令g)=f2,则g()=zf'f (1)出现f'(x)十nf(x)形式，构造函数F(x) 所以当x>0时，g'(x)<0,所以g(x)在 -euf(x); (0,十∞)上单调递减. (2)出现f(x)一nf(x)形式，构造函数F(x) 又f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以 =f(x) er. g(x)在（一∞，0）上单调递增。 【科学解法】 又f(1)=-f(-1)= 0,即g(1)=g(-1) 构造F（x)= 2,则F() =0. y=g(x e2f'(x)-2e2f(x)f(x)-2f(x) 而f(x)>0等价于 eir [x>0, .函数f(x)满足f(x)一2f(x)>0,则 g(x)>0=g(1) F(x)>0,F(x)在R上单调递增， 209 又.f(0)=1,则F(0)=1,∴.f(x)>e2台 因为0<x<5时，有f(x)cosx十f(x)sinx fx)>1台F(x)>F(0),根据单调性， >0成立， 得x>0. 所以g(m）=fo)cosz寸fx)sinx0, cos2x )答案（(0，十∞) 1P题型延伸○ 故函数g()在(0，)上单调递增。 典例已知偶函数f(x)的定义域为 根据偶函数的对称性可知，g()在（一受，0）上 (一受，)，其导函数为f(x,当0<x<受 单调递减. 时，有f(x)cosx+f(x)sinx>0成立，则关 由f(x)>2f() ·cosx可得f(z) f) 于x的不等式f(x)>2f() ·cosx的解集 cos x cos 3 为( A(-5,) B() =2f() c(-,-5U(5,5)D(-5oU(,) 所以g()>g(）,所以x>5或x<-, 【陷阱解法】 即<<或-<<- 与三角函数联系的题目，找不出函数与三角函 )答案C 数的关系式造成误解 |P类题实战 【点评】 1.设函数f(x)的定义域为R,f(x)是其导函 与sinx,cosx有关的导函数存在一定的特殊 数，若f(x)十f(x)>0,f1)=1,则不等式 性，其常见考查形式如下： f(x)>el-x的解集是() F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x A.(0,十∞) B.(1,+∞) +f(x)cos x; C.(-∞，0) D.(0,1) Fa)-fD,F(-(DsinzKs sin x sinx 2.定义在(0，)上的函数f(x),函数f(x)是 F(x)=f(x)cos x,F(x)=f(x)cos x 它的导函数，且恒有f(x)<f(x)tanx成 -f(x)sin x; 立，则( F)=fm,F'(）=f0osx寸fo0sinx cOS cosx Af④>af() 【科学解法】 B.f(1)<2f()sin 1 令g()=因为f(x)为偶函数，即 f(-x)=f(x), C.2f)>f(》 所以g(-)=f《一=f《=g(x). cos(-x) D.3f()f() 210 解题高招2导数新定义问题 p题目特征 即(2x-2)(2十4)=0，即得2-2=0，解得 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、 x=1,所以f(x)与g(x)具有C关系. 新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定 (2)因为f(x)=lnx-ax-1,g(x)=1-x2, 义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理 Ao(x)=f(x)+g(x)=In x-ax- 解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理 x2,x∈(0，十o). 解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基 因为f(x)与g(x)不具有C关系，又p(x)在 础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”， (0,十∞)上的图象连续不断，所以(x)在 掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝、 (0,十∞)上的值恒为负或恒为正 O样板题 若o(x)>0在(0，十∞)上恒成立，则o(1)= 典例定义：如果函数y=f(x)和y=g(x)的 -a-1>0,即a<-1. 图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则 又当a<-1时，o(1-a)=ln(1-a)-a(1- a)-(1-a)2=ln(1-a)-(1-a) 称函数y=f(x)和y=g(x)具有C关系. (1)判断函数f(x)=4一8和g(x)=2x+1是 令u(x)=lnx-x,所以W(x)=1-1= 否具有C关系； (2)若函数f(x)=lnx-a.x-1和g(x)=1 1-x.令u(x)>0,所以0<<1， x2不具有C关系，求a的取值范围； 令(x)<0,解得x>1,所以u(x)在(0,1)上 (3)若函数f(x)=x(e-1)和g(x)=x十 单调递增，在(1，十∞)上单调递减，所以u(x) nsin x(m<0)在区间(0，π)上具有C关系，求 ≤u(1)=-1<0, m的取值范围， 所以p(1一a)<0,与假设矛盾，所以不存在a 【陷阱解法】 使得p(x)>0在(0，十∞)上恒成立， 1.不能正确理解题目所给的新定义导致错误； 若P(x)<0在(0，十∞)上恒成立， 2.不会应用新定义解决所给的问题导致错误 即a>nx-x2 【点评】 根据所给的定义判断两函数是否具有C关系， 令L)=血亡，所以L')=1-hx立 根据具有C关系结合转化与化归思想、分类讨 又y=1-lnx-x2在(0，十∞)上单调递减， 论思想求解参数问题」 所以当0<x<1时，y=1-lnx-x2>1-ln1 【科学解法】 -12=0,所以L(x)>0. (1)f(x)与g(x)具有C关系.理由如下： 当x>1时，y=1-nx-x2<0,所以L'(x)< 根据定义，若f(x)与g(x)具有C关系，则在 0, f(x)与g(x)的定义域的交集上存在x,使得 所以L(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上 f(x)十g(x)=0. 单调递减， 又f(x)=4x-8,g(x)=2x+1,x∈R,所以 所以L(x)max=L(1)=-1, f(x)+g(x)=4x-8十2x+1=0, 所以a>一1，即a的取值范围是（一1，十∞）. 211 (3)因为f(x)=x(e-1),g(x)=x+msin x 关系. (m<0), 综上，m的取值范围是(-o∞，一1). 令h(x)=f(x)十g(x),则h(x)=xe+ 【答题模板】 msin x, 本题解题的关键是理解新定义，得到f(x)与 因为f(x)与g(x)在(0，π)上具有C关系，所 g(x)具有C关系，则在f(x)与g(x)的定义域 以h(x)在(0，π)上存在零点 的交集上存在x,使得f(x)十g(x)=0,从而 因为h'(x)=(x+1)e+ncos x, 得解。 当-1≤m<0且x∈(0，π)时， p题型延伸 因为(x+1)e>1,mcos x<m≤1，所 典例已知A、B为实数集R的非空子集，若 以h'(x)>0, 存在函数y=∫(x)且满足如下条件：①y 所以h(x)在(0，π)上单调递增，则h(x)> f(x)定义域为A时，值域为B;②对任意1， h(0)=0,此时h(x)在(0，π)上不存在零点，不 满足题意； ∈A,西≠2，均有f()二f2)>0,则称 C1一2 当m<-1时，当x∈，元)时，-1<cosx≤ f(x)是集合A到集合B的一个“完美对应”. (1)用初等函数构造区间[0,1)到区间 0,所以h'(x)>0, [0,十∞)的一个完美对应f(x); 当xe(o,2)时，令y=h'(x)=(x+1)e+ (2)求证：整数集Z到有理数集Q之间不存在 ncos x,则y'=(x十2)e-msin x>0, 完美对应； 所以(x)在(0，)上单调递增，且h'(o)=1 (3)若f(x)=x3-kx2+1,k∈R,且f(x)是某 区间A到区间[一3,2]的一个完美对应，求 +m<0,h()-(+1)e>o, 的取值范围。 故'(x)在(0，)上存在唯一零点，设为， 【陷阱解法】 1.不能正确理解“完美对应”这个新法则导致 使得h'(x)=0, 错误； 所以当x∈(0，)(x)<0;当x∈()， 2.错误运用此新法则求解和证明问题. h'(x)>0. 【点评】 又当xe5x)时，h'()>0, 解决本题可以取f(x)=tan(受，根据正切 所以h(x)在(0，xo)上单调递减，在(x,π)上 型函数的图象与性质即可证明其满足题意；对 单调递增， 于第二问，可以利用反证法，假设有f(x)是集 所以h(x)在(0，π)上存在唯一极小值点xo. 合Z到Q的一个完美对应，最后得到0<k< 因为h(0)=0,所以h(xo)<0. 1,这与假设矛盾；第三问的关键是求导得 又因为h(π)=πe>0,所以h(x)在(0，π)上存 f(x)=3x2一2kx=0,然后求出导函数零，点 在唯一零点x1, 所以函数f(x)与g(x)在(0，π)上具有C 《=0或学最后对及进行合理分夹讨论即可。 212 【科学解法】 (,0)时，f(<0;x(0,+o)时，f(） (1)f(x)=tan(段x,当x∈[o,1)时，x∈ >0, [0,),则其值域为[0，十∞)，满足条件①， 则y=f(x)在（ -,)单调递增，在 根据复合函数单调性知f(x)在[0,1)单调递 增，则其满足条件②， (学，0)单调递减，在0，十∞)单调递指。 故可取f(x)=tan(受小 又f0)=1>-3,故只有极大值f()≥2才 (2)假设有f(x)是集合Z到Q的一个完美 满足题意， 对应， 即()°-k()+1≥2，即-32 2 则有f(0)=a,f(1)=b,其中a<b∈Q,于是， atteo 踪上，k的取值范围是（一∞，二3D 由完美对应的定义，存在整数k,使得f() {0}U[3,+∞). 且0k1, P类题实战 定义：0，x2是函数f(x)的两个极值点，若 这与k为整数矛盾，故假设不成立 十x2<0<f(x1)十f(x2),则称f(x)为“M函 所以，整数集Z到有理数集Q之间不存在完 数” 美对应 (1)若f(x)=x3+mx2-2为“M函数”，求m (3)f(x)=x3-kx2+1, 的取值范围. 了()=32-2kx=0,得x=0或学 (2)已知函数f)=e-号x-ax-1有两个 若k=0,则f(x)=x3+1严格递增，且f(1) 极值点。 2,f(-4)=-3,此时A=[-4,1],满足 ①求a的取值范围， 题意 ②证明：f(x)为“M函数”. 若>0，则x∈(-o∞，0)时，(x)>0;x∈ (o,)时，了(<0x∈(5，+o)时，了x) >0, 则y=f(x)在（一∞，0）上单调递增，在 (0,)上单调递减，在（学+∞）上单调 递增. 又f0)-1<2,故只有极小值f(传)≤-3才 满足题意， 即（-(） +1≤-3，k≥3. 若k<0,则x∈ -，）时f()>0x 213讲解册参考答案及解析 解题高招 解题高招1同构函数问题 P类题实战 ①B解析构造函数g(x)=f(x)·er,x∈R, 则g'(x)=[f(x)十f(x)]·er. 因为f(x)+f(x)>0,ex>0, 所以g'(x)=[f(x)+f(x)]·er>0. 故g(x)在R上单调递增，g(1)=e 因为f(x)>el-x可化为g(x)>e=g(1), 故原不等式的解集为(1，十∞)，故选B. 2D解析f(x)<f(x)tanx台f(x)sinx-f(x)· ax>0,x∈(0，受)令F()=,则F(x)= f()sin zf()cos2>0,即函数F(a)在(0,5)上单 sin2x 调递增」 ()() A项，F()<F(),即 如sin子 “.3f()<V2f(),故A项错误； 风m传4到 ∴f(1)>2f(石)sin1,故B项错误； C项，F()<F(),即 ()f() in否sin平 ·2f(否)<f(还)，故C项错误； D项，F()<F(5),即 ()f() in否sin ·V3f()<f(),故D项正确.故选D, 解题高招2导数新定义问题 类题实战 (1)解：由f(x)=x3+mx2-2,求导可得f(x)=3x2+ 2mx,令f(x)=0,解得=0,2=-2g, 3 由函数f(x)为“M函数”，则x1十x2<0<f(x1)+ f(x2), 5241 怎么做 可得0+（一婴）<0<-2+(-婴)'+m·(一婴 2,解得m>3. (2)0解：由f)=e“-分-a-1,则x∈R,求导可得 f(x)=e*-z-a,4g(z)=f(z), 由题意可得函数g(x)存在两个不同的变号零点，则g'(x) =ex-1, 令g(x)=0,解得x=0,当x<0时，g(x)<0,则g(x) 在（一∞，0）上单调递减； 当x>0时，g(x)>0,则g(x)在(0，十∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(0)=1-a, 由g(ln2a)=a-ln2a,令y=x-ln2x, 求导可得=1-，令-0，解得x=1, 当0<x<1时，y<0,则y=x-ln2x在(0,1)上单调 递减， 当x>1时，y>0,则y=x-ln2x在(1，十o∞)上单调 递增， 所以am=1-ln2=lh>0,则g(n2a)>0, 由g(-a)=ea>0,则当g(0)<0时，函数g(x)存在两 个不同的变号零点， 可得1-a<0,解得a>1. ②证明：由①可得g(x)=f(x)=e一x一a,易知方程 g(x)=0存在两个不相等的实数根， 设为x3,x4,由①不妨设x3<0<x4, h(x)=g(x)-g(2X0-x)=e*-e-x-2x, 求导可得h'(x)=ex+e-x-2,由ex十e-x≥2，当且仅当 x=0时取等号，则h'(x)≥0， 所以函数h(x)在R上单调递增，由h(0)=0,则当x>0 时，h(x)>0,可得g(x)>g(-x), 由g(x3)=g(x4)>g(-x4),且函数g(x)在 (-o∞，0)上单调递减，则x3<一x4,可得x3十x4<0; 由当x3<x<0时，f(x)=g(x)<0,则函数f(x)在 (x3,0)上单调递减， 由x3<-x4<0,则f(x3)>f(-x4),所以f(x3)十 f(x4)>f(-x4)+f(x4), 要证f(x3)十f(x4)>0,只需证f(-x4)十f(x4)>0, 由f(-x4)+f(x4)=e4十ex4-x-2,则令F(x)= erte-x-x2-2, 求导可得F(x)=er一ex一2x,令G(x)=F(x),则 G(x)=ex+e-x-2≥0， 所以函数G(x)在R上单调递增，则当x>0时，G(x)> G(0)=0,即F(x)>0, 所以函数F(x)在(0，十∞)上单调递增，则当x>0时， F(x)>F(0)=0, 所以不等式ex十ex-x2-2>0在(0，十∞)上恒成立， 可得f(-x4)十f(x4)>0. 综上所述，x3十x4<0<f(x3)+f(x4),所以函数f(x) 为“M函数”， 解题高招3三角函数中o的范围问题 O类题实战 ①D f()=3,)=0,x一音-21.T (m∈)，T-3(2干D:f)在（否，5）上单调递减， 10π 10π ≤10，n∈N, .n=0,1,2,3,4,即周期T有5个不同取值，∴w的取值 共有5个. 2B解析由题意，函数f(x)=√3 sin wx十cos wx= 2sin(ax+石)，w>0, 因为x∈(0，晋），所以<x十否<(1十w), 要使得函数f()在区间(0，否)上仅有一条对称轴及 个对称中心， 则需满足晋1十o)<,解得5<w<8,所以u的取 值范围为(5,8]. 3B解析由题意，在[0,1]上至少出现50次最大值，即在 [0,1]上至少需要49}个周期，即7个周期，所以 吗T-1坚，1，所以≥野w的最小值为竖 2 ☑D解t析g(x)=cos(2ux-苓)，当x∈[0，x)时，2wa -5∈[-5,2wm-5）: y=60sx在)轴右方的零点为x=受，经，受，受，资， …, 因为函数g(x)的图象在区间[0，π)内有5个零点， 所以竖<2m吾<，解得8w≤ 35 解题高招4数列中的奇偶项问题 p类题实战 ①解：(1)设数列{am}的公差为d(d≠0) ○讲解册参考答案及解析 S3=T3, a1十a2+a3=a1+2a1+a3, 由a3a5=S5,得(a+2d)(a1+4d)=5a1+10d, d≠0， d≠0， a1=d, a1=1, 即(a1+2d)(a1+4d)=5a1+10d,解得 d=1, d≠0， 所以an=a1+(n-1)d=n. ∫an,n为奇数， (2)由bn= 可知当n为偶数时，Tm=(b1 (2bm-1,n为偶数 +b3+…+bm-1)+(b2+b4+…+bm)=(a1+a3+…+ an-1)+2(b1十b3十…十bm-1)=3(a1+a3十…十am-1)= 81+n-1·23m2 2 4； 当n为奇数时，T,=T+1-6+1=是(a+1)2-26,= a+1)2-2m-3m-2n+ 4 (3n2一2n十3，n为奇数， 4 综上所述，Tm= 3n2 4,n为偶数 2解：(1)由题意，可得a1>0,q>0. a2十a3=12得 1q(1+q)=12, 由 a4+a5=48,a1g3(1+g)=48, a1=2,a=6, 解得92 q=-2 (舍去)， 所以{am}的通项公式是an=2X2r-1=2m. (2)由(1)可得bn=(-1)m-1log2am=(-1)n-1·n.若n 为奇数，可得bm十bm+1=n-(n十1)=一1，则Sm=(b十 b2)+(b3+b4)+…+(bn-2+bm-1)+bn= 一1)+(-D十+(-D+n=m”2=告若n为 2 个 偶数，则Sn=(b1十b2)+(b3十b4)+…+(bn-1十bn)= (-1)+(-1++(-)=一受 多 n+1 2,n为奇数， 综上所述，Sn= 受，n为偶数 解题高招5解析几何中的 范围、最值问题 0类题实战 e=￡=2， a ,c=2a, ①解：(1)由题知 即】 c2=a2+b2, b2=3a2. 因为当MF2⊥x轴时，MF2=3, 所以将M2a,士3)代人方程器一总-1，得2=1， 525