2.4 函数模型及应用(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

○专题二函数及其性质 设t=f(x),令f(f(x))一a=0,则a=f(t). t3<一1时，t3=f(x)只有一解. 第二步：辅助图形 第四步：归纳总结 在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象（如 综上，当a≥-1时，函数g(x)=f(f(x)-a 图) 有三个不同的零，点. 第三步：数形结合 选题意图 当a≥-1时，y=a 对于嵌套函数的零点，让学生通常先学会“换 与y=f(t)的图象有 元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的 两个交点. 函数，借助函数的图象、性质求解.利用换元法 设交点的横坐标为h,t2(不妨设t2>t),则 和数形结合思想是解决本类问题的关键.含参 <-1,t2≥-1. 数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动 当1<-1时，t1=f(x)有一解； 起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y=a 当t2≥一1时，t2=f(x)有两解. 与y=f(t)的图象，确定1,2，t的取值范围， 当a<-1时，y=a与y=f(t)的图象只有一 进而由y=f(x)与y=t的图象确定零点的 个交点.设交，点横坐标为t3,此时t<一1.当 个数. 2.4 函数模型及应用 ⊙ 考什么⊙人 高效复习必备 ( 核心知识 ①几种常见函数模型的应用；②三种函数模型性质的比较 数学建模是本节重点，我们可以结合所学基本初等函数的特征，判断出是哪类函数，得出函数关 怎么学 系式来解决实际问题，如果直接给出函数关系式，我们可以通过函数的性质等来解决实际问题 主要思想、 ①数学建模；②转化与化归；③数学运算 方法 易错警示 ①破解应用问题时，一定要注意自变量所表示的实际意义；②不能正确的根据题意列出关系式 学什么 考点内容梳理 考点函数模型及应用（高考6年2考）】 1.三种函数模型的性质 函数 y=a*(a>1) y=log,x(a >1) y=x(a>0) 性质 在(0，十∞）上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 随x的增大逐渐表现随x的增大逐渐表现 图象的变化 随α值的变化而各有不同 为与y轴平行 为与x轴平行 193 讲解 实战高考·数学] 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 次函数模型 f(x)=a.x十b(a,b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)=飞+b(k,b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)=ba十c(a,b,c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)=blog.x十c(a,b,c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)=a.x十b(a,b,a为常数，a≠0，a≠0) 知识拓展 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用 “指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小 2.“对勾”函数f(x)=x十a(a>0)在(0，十o∞)上的性质：在(0，√a上单调递减，在[√a,十o∞)上 单调递增，当x=√a时f(x)取最小值2√a ⊙ 怎么考⊙人 题型各个击破 题型利用函数模型解决实际问题 Poe,其中P。,k>0,若在前5h内消除了 题型解读 10%的污染物，则15h后污染物含量还 解函数应用题的步骤 剩余( A70% B.85% (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数 C.81% D.72.9% 量关系，初步选择函数模型； (2)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等 (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字 或亮度来描述.以织女星的亮度I。为标准，天 语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应 的函数模型； 体的星等m与亮度I满足m=一 1g已知 (3)求解：求解函数模型，得出数学结论； 北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北 (4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实 极星与牛郎星的亮度之比为( ) 际问题的结果 A.103 B.10- 以上过程用框图表示如图： C.10端 D.10-号 实际问题 分析联想 )答案(1)D (2)D 建立函数模型 抽象转化 解析：(1)当t=0时，P=Po·e.0=Po; 答 教学推演 Po·e-5 还原 =0.9，即e5=0.9; 实际结果 数学结论 当t=5时，0P0 典例(1)某工厂产生的废气经过滤后排放， 当t=15时，e -=e-15k=(e-5k)3=0.93 Po 过滤过程中废气中的污染物含量P(单位： =0.729=72.9%. mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P= (2)令北极星与牛郎星的亮度分别为I1,I2,依 194 ○专题二函数及其性质 2=- (1)建模：抽象出实际问题的数学模型 题意，得 (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理 0.8= 或数学运算，得到问题在数学意义上 的解. 两式相减得一 (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨 解题技法 论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问 构建函数模型解决实际问题的步骤： 题中去，得到实际问题的解。 怎么学 节压轴归纳 ng 考查内容 且x=0,y=-4时，得c=-4. 构建函数模型解决实际问题 当x=2,y=8时，得4a+2b=12;当x=6,y= 典例某科研小组研制钛合金产品时添加了 8时，得36a+6b=12. 种新材料，该产品的性能指标值y是这种新 4a+2b=12, 联立 解得a=一1，b=8,所以 材料的含量x(单位：克)的函数.研究过程中 36a+6b=12, 的部分数据如表所示. 当0≤x<7时，y=一x2+8x-4. (2)由(1)知，当0≤x<7时，y=-x2+8x x(单位：克) 0 2 6 10 1 y 8 4又当≥7时y=(号)” 已知当x≥7时，y= ,其中m为常数， 将x=10y=号代入上式，得}=（得》”台 32=3m-10,解得m=8,即当x≥7 当0≤x<7时，y和x的关系为以下三种函数 模型中的一个：①y=ax2十bx十c;②y=k·a 时-() (a>0且a≠1)；③y=klogax(a>0且a≠1)， 1)8 x≥7， 其中k,a,b,c均为常数. 综上有y (1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间 x2+8x-4,0≤x<7. 的关系，并求出其解析式； 当0≤x<7时，y=-x2+8x-4=-（x-4)2 (2)求该新材料的含量x为多少克时，产品的 十12，所以当x=4时，取到最大值ymax=12. 性能达到最大。 当≥7时=（层）广 单调递减，所以当x=7 解：(1)由表格知当x=0时，y=一4， 若选①y=ax2+bx十c,则c=一4； 若选②y=k·a(a>0且a≠1)，则k=-4, 故当新材料的含量x=4克时，产品的性能达 此时y=-4a2(a>0且a≠1)不满足x=2 到最大 时，y=8,故不选； 选题意图 若选③y=klogax(a>0且a≠1)，x=0时无 让学生弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 意义，故不选 关系，选择合适的函数模型，将文字语言转化 所以选①的函数模型来描述x,y之间的关系， 为数学语言，求解所选择的函数模型，得出数 由题意有当0≤x<7时，由y=ax2十bx+c, 学结论 195