4.2 三角函数的图象与性质(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

O专题四三角函数与解三角形 4.2 三角函数的图象与性质 丝高效复习必备 核心知识 ①三角函数的图象与性质；②三角函数的图象及其变换 ①学好本专题的关键是熟练掌握“五点法”作图，用到的重要思想是“数形结合”.其中“五点法” 作图是为用“数形结合”研究函数性质服务的，两者之间是递进关系，抓住这两点，你就胜利了！ 怎么学 ②函数图象的变换还是要注意y=Asin(awx十p)两种变换方式的不同，能够根据所给的图象求 函数的解析式，这两个都是“数形结合”思想的体现 主要思想、 ①转化与化归；②数形结合；③分类讨论 方法 ①易忽视ω<0的情况，从而不对函数f(x)化简直接求单调区间而致错：②易忽视正切函数本 易错警示 身的定义域而致误；③忽视函数名称的转化而导致错误 学什么⊙人 考点内容梳理 考点①三角函数的图象与性质（高考6年5考） 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y=sin,x∈[0,2x]的图象中，五个关键点是：(0,0)，（受，1，（元，0）， (,-1,2x,0. (2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2m]的图象中，五个关键点是：(0,1)，（受，0），（元，-1）， (,o,2x,1. 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x ↑y ◆2 图象 20 定义域 R 及 {红x≠kr十} 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π 2n 元 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 219 讲解册 实战高考·数学 续表 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 单调递 [2kx-元，2kπ] 增区间 [2x-受，2x+] (x一受，x十受） 单调递 [2kπ，2kπ十元] 减区间 [2kx+受，2kx+] 对称中心 (kπ，0) (kx+受，0) (, 对称轴 方程 x=kx十受 x=kπ 知识拓展 1.对称性与周期性 (①)正弦曲线、，余孩曲线相邻两对称中心，相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中 心与对称轴之间的距高是}个周期。 (②)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是号个周期， 2.与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y=Asin(w十p)为偶函数，则p=br十(k∈Z);若为奇函数，则p=r(k∈Z). (2)若y=Acos(r十p)为偶函数，则px(∈ZD;若为奇函数，则p=kr十变(k∈Z). (3)若y=Atan(r十p)为奇函数，则p=kπ(k∈Z), 考点2函数y=Asin(ox十p)图象的变换及函数解析式的求解（高考6年3考） 1.简谐运动的有关概念 已知函数y=Asin(wx十p)(A>0,w>0),x≥0. 振幅 周期 频率 相位 初相 A T=2r wx十p w f子 9 2.用“五点法”画y=Asi(ox十p)(A>0,o>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点 ox十p 0 2π x 0-9 3π」 π二9 2x一9 y=Asin(ox+p】 0 A 0 -A 0 220 O专题四三角函数与解三角形 3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ox+p)(A>0,o>0)的图象的两种途径 画出y=sinx的图象 骤 画出y=sinc的图象 1 向左（右） I个单 横坐标变为 原来的倍 平移 位长度 得到y=sinc+p)的图象 骤 +得到y=sin的图象 2 横坐标变为 原来的。倍 向左（右） 周个单 平移 金 位长度 得到y=sin(owc+g)的图象+ 骤 -得到2y=sin(oc+p)的图象 3 纵坐标变为 原来的A倍 纵坐标变为 原来的A倍 得到y=Asin(ωx+9)的图象 骤 得到y=Asin(oc+p)的图象 4 知识拓展 1.函数y=Asin(awx十p)十k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.函教y=sim(ax十p图象的对称轴是直线x=红+无-9(k∈ZD,对称中心是点（红-巴，0）小(k w 2w w ∈Z). ⊙ 怎么考 题型各个击破 题型一根据图象确定函数的解析式 则( y 题型解读 确定y=Asin(wx+p)+b(A>0,o>0)的步 骤和方法 (1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值 m,则A=M2m,b=M+m 2 2 A.函数f(x)的最小正周期是2 (2)求w.确定函数的最小正周期T,则w= B.w=1 T 2 (3)求o.常用方法如下： C.9=3π ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时 要注意该点在上升区间上还是在下降区间上) D.函数y=f)的图象向右平移6个单位得 或把图象的最高点或最低点代入 到一个偶函数的图象 ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法” )答案ACD 中的特殊点作为突破口. 解析：A.由图可知A=2,最小正周期T=2× 典例I(多选)已知函数f(x)=Asin(wx十p) (停》=2，A正确 (A>0,w>0,0<<π)的部分图象如图所示， 221 讲解 实战高考·数学 B由T=2,符2，故。=xB错灵 的范围. 2.对称轴、对称中心的求法 C将点（传，0）代入f)=2sin(rx+p中，得 对于可化为f(x)=Asin(wx+p)(或f(x) =Acos(wx十p)形式的函数，如果求f(x) f传)=2sin(侍x+g-0, 的对称轴，只需令ax十9=十x(k∈Z) ∴号十p=x(质∈，即p=-专x十x(k∈ (或令wx十o=kπ(k∈Z)),求x即可；如果 Z). 求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx 2 “0<<,p-π，C正确。 p-kr(k∈Z)(或令ux十p=吾+x(k∈ 2 D.由题意，得f(x)=2sinπx十3不： Z),求x即可.对于可化为f(x)= Atan(wx十p)形式的函数，如果求f(x)的 y=fx)的图象向右平移号个单位，所得函数 对称中心的横坐标，只需令ar十9=经 解析式为g)=2sin[e)+] (k∈Z),求x即可. 2 sin+）=2cos元z, 典例2(1)已知函数f(x)=sinw(x十π)为奇 函数且w>0,则f(π)=() 由函数g(x)定义域为R,g(一x)= A.0 B.1 C.-1 D.±1 2cos(一πx)=2cosπx=g(x),得g(x)为偶函 (2)(多选)已知函数f(x)=sin2x-2sinx, 数，D正确. 则() 解题技法 A.f(x)的最小正周期为2π 由函数f(x)=Asin(wωx十p)的部分图象，得 出A,T,w,p,写出f(x)的解析式，再进 B曲线y=f(x)关于直线z=对称 行判断. C.f(x)在区间[-2π，2π]上有4个零点 题型日三角函数性质的综合应用 D.fx)在区间（号，受）内单调递减 题型解读 )答案(1)A(2)AD 1.求解三角函数的值域（最值）常见类型 解析：函数f(x)=sin(wx十wm)为奇函数且 (1)形如y=asin x十bcos x十c的三角函 w>0,则wr=kr,k∈N*,解得ω=k,k∈N*, 数，可先化为y=Asin(x十p)+c的形式，再 于是f(x)=sin(kx十kπ)，k∈N*,所以f(π)》 求值域（最值）， =sin2kπ=0，k∈N*. (2)形如y=asin2x十bsin x十c的三角函 (2)A选项，y=sin2x的最小正周期为π，y= 数，可先设sinx=t,化为关于t的二次函数 sinx的最小正周期为2π， 求值域（最值）. 两者的最小公倍数为2π，故f(x)的最小正周 (3)形如y=asin xcosx十b(sinx士cosx)+ 期为2π，A正确； c的三角函数，可先设t=sinx士cosx,化为 B选项，f(π-x)=sin(2π-2x)-2sin(π-x) 关于t的二次函数求值域（最值），注意求t =-sin2x-2sinx≠f(x), 222 O专题四三角函数与解三角形 故曲线y=f(x)不关于直线x=下对 2 即fx)=4(sx- <0,所以f(x） 称，B错误； 在区间（昏，）内单调适减，D正确 C选项，f(x)=sin2x-2sinx=2 sin xcos x 2sin x=2sin x(cos x-1), 解题技法 令f(x)=0得2sinx(cosx-1)=0,故sinx 1.求形如y=Asin(wx+p)或y=Acos(awx十 =0或c0sx=1, p)(其中w>0)的单调区间时，要视“wz十p” 因为x∈[-2π，2π]，所以sinx=0的解为 为一个整体，通过解不等式求解.但如果 x1=一2r,x2=一元，3=0，x4=π，x5=2π， ω<0，可先借助诱导公式将w化为正数，防 c0sx=1的解为x1=-2π，x3=0,c5=2元. 止把单调性弄错。 综上，f(x)在区间[一2π，2π]上有5个零，点， 2.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般 C错误； 可化为y=Asin wx或y=Atan wx的形式， D选项，f(x)=2cos2x-2cosx=4cos2x 而偶函数一般可化为y=Acosωx的形式. 2-2osz=4(cosx-}°-9， 3.对称轴和对称中心的计算，本质是解方程， 计算时要注意：①对称中心是点，最终要写 当x(昏，)时，0s(72)4(eos工 成坐标的形式.②对称轴是直线，方程最终 2-9∈[-o, 要写成“x=…”的形式。 本节压轴归纳 考查内容 三角函数的实际应用 典例（多选）筒车是我国古代发明的一种水 利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业 生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在 图3 《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理 A.点P再次进入水中时用时30秒 (图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所示， B.当水轮转动50秒时，点P处于最低，点 水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒 C.当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从 D.点P第二次到达距水面(1十√3)米时用时 水中浮现时（图3中点P。)开始计时，则下列 25秒 结论正确的是( )答案BCD 解析：由题意，角速度w一酒-式（孤度/秒）， 6030 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面 图1 图2 1米，可知半径OP,与水面所成角为否，点P 223 讲解 实战高考·数学 又角速度w=酒=药（孤度/秒），当=0时， 6030 再次进入水中用时为 =40(秒)，故A 30 ∠0n=吾，所以w09=-百， 错误； 当水轮转动50秒时，半径0P,转动了50×弱 所以点P距离水面的高度H=2sin(需t一需） +1,当水轮转动150秒时，将t=150代入，得 -晋（孤度)，警吾-受点P正好处于最 H=2,所以此时点P距离水面2米，故C 低点，故B正确； 正确； H 将H=1+3代入H=2sin(0-)+1中， 得61一吾=2kx+5或5-吾-2x+红，解 得t=60k+15或t=60k+25(k∈N). 建立如图所示的平面直角坐标系， 所以，点P第二次到达距水面(1十√3)米时用 设，点P距离水面的高度H=Asin(awt十p)十B 时25秒，故D正确. (A>0,w>0), 选题意图 (Hmax=A+B=3, 让学生学会通过已知函数模型求解数学问题， 由 Hm=-A+B=-1, 这类问题就是把实际问题抽象转化成数学问 A=2, 题，利用三角函数的有关知识解决问题，考查 解得 B=1, 了数学建模的数学核心素养 4.3 解三角形 黑 高效复习必备 ①正弦定理及余弦定理的应用；②三角形面积公式的应用；③你能够运用正弦定理和余弦定理 核心知识 解决一些简单的三角形度量问题 我们要熟练应用正弦定理和余弦定理，弄清这类问题主要以三角形为依托，考查求解三角形中 怎么学 的边、角、面积等问题，所以掌握边角之间的灵活转化是解题的关键 主要思想、 ①转化与化归；②整体思想；③分类讨论；④数形结合 方法 ①已知两边和其中一边的对角，解三角形出现增解而致误；②处理三角形中的三角函数求值时， 易错警示 要注意角的范围；③图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错，对仰角、俯角等概念 理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错 224