2.3 函数图象与零点(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

O专题二函数及其性质 解析：f(x)=|lnx的图象如图. 上单调递减， 因为f(a)=f(b),所以 所以g(x)>g(1)=1+2=3,所以a+2b>3, |In a =In bl. f)=Inx 所以a十2b的取值范围为(3，十∞). 因为0<a<b,所以lna< Oa】 2 选题意图 0,lnb>0, 让学生在识别函数图象时，要善于利用已知函 所以0<a<1,b>1,所以-lna=lnb, 所以lna+lnb=ln(ab)=0, 数的性质、函数图象上的特殊点排除不符合要 所以ab=1,则6=2所以a+26=a+ 求的选项，把对数型方程问题转化为相应的函 a 数图象问题，利用数形结合法求解，体现了直 令g(x)=x十2(0<<1)，则g(x)在(0,1） 观想象的核心素养 2.3 函数图象与零点 考什么⊙ 高见复习必备 ①函数图象之间的变换；②函数图象的判断及应用；③函数的零点问题；④函数零点存在性定理 核心知识 的应用 ①我们要熟练掌握图象的平移变换、对称变换这些重点，同时能够结合函数的图象研究函数的 性质或由函数的性质判断函数的图象；②对于函数的零点我们关键掌握转化与化归思想，只要 怎么学 弄清方程f(x)=0有实数解、函数y=f(x)有零点、函数y=f(x)的图象与x轴有公共点这三 者之间的转化，函数零点问题也就解决了 主要思想、 ①方程与函数；②数形结合；③分类讨论；④转化与化归 方法 ①混淆一个函数图象的对称性与两个函数图象的对称之间的关系而致误，②对图象的平移关系 易错警示 掌握不清；③忽视分段函数各段的自变量的取值范围 学什么 考点内容梳理 考点1 函数的图象（高考6年1考）】 1.利用描点法作函数图象的步骤 确定函数的定义域并化简函数的解析式 化简 讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊点，如：与坐标轴的交点、顶点、端点、最（极）值点、对 (列表 称点等 (描点 画出直角坐标系，准确描出表中所表示的各个点 连线) 用光滑的曲线依次连接所描的各个点，得图象 189 讲解册 实战高考·数学 2.函数图象的变换 y=f)的图象向右 y=fc)的图象向 简记为 =fc)的图象上 y=f)的图象上所有点的横坐 平移a(a>0)个单位 左平移a(a>0)个 “左加 所有点的横坐 标伸长为原来的云0<w<1) 得到yc-a)的、 单位得到y=fc+a) 右减，上 标缩短为原来 倍得到y=fwc)的图象 图象 的图象 加下减” 的。（ω>1）得到 y=ωx)的图象 平移变换 伸缩变换 y=g)的图象向 、yf)的图象向下平 yfc)的图象上所 y=)的图象上所有点的纵坐标缩短为 上平移b(b>0)个 移bb>0)个单位得到 有点的纵坐标伸长 原来的A(0<A<1)倍得到y=Af)的图象 单位得到y= yfg)-b的图象 为原来的AA>1) fac)+b的图象 倍得到y=A)的图 象 y=fc)与y=-jac)的图 y=a)与y=-x)的图 y=的图象：可将y= y=x的图象：可 象关于轴对称 象关于y轴对称 fc)的图象在x轴下方的 先作出y=c)在y轴 部分关于x轴翻折，其 及其右边的图象， 余部分不变 对称变换 翻折变换 再作y轴右边的图 象关于2y轴对称的 2y=)与y=一f-c)的图象关于原点对称 ”图象 知识拓展 1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作.如果 x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换 2.函数图象自身的对称关系 (1)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a十x)=f(b一x),则函数y=f(x)的图象关于直线 x=a中对称， 2 (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称台f(a十x)=2b一f(a一x)台f(x)=2b -f(2a-x). 3.两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y=f(x)与y=f(2a一x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a一x)的图象关于点(a,b)对称. 考点2函数的零点（高考6年1考） 名称 定义 函数零点的概念 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点 函数零点与方程 方程f(x)=0有实数解台函数y=f(x)有零点台函数y=f(x)的图象与x轴有公 实数解的关系 共点 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0, 函数零点存在定理 那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0, 这个c也就是方程f(x)=0的解 190 O专题二函数及其性质 续表 名称 定义 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函 二分法 数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零 点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点 注意)1函数f(x)的零，点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实根 2.若连续不断的函数f(x)在(a,b)上是单调函数，而且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有且仅 有一个零点 3.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b们上有零，点不一定能推 出f(a)·f(b)<0,如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间 [a,b们上有零点的充分不必要条件 ⊙ 怎么考 题型各个击破 题型函数图象的应用 题型解读 1.函数图象的辨识可从以下方面入手 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置； (2)(多选)关于函数f(x)=|ln2-xl|,下列 (2)从函数的值域，判断图象的上下位置； 描述正确的有() (3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增 (4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称 (5)从函数的周期性，判断图象的循环往复； C.若x≠x2,但f(x1)=f(x2),则x十x2=2 (6)从函数的特殊点，排除不合要求的图象 D.函数f(x)有且仅有两个零点 2.对于已知解析式且易画▣出其在给定区间上 )答案(1)C(2)ABD 图象的函数，其性质常借助图象研究： 解析：(1)Wx2十1+x>0恒成立，故f(x)= (1)从图象的最高点、最低点分析函数的最 值、极值； ln(+1十x的定义域为R, e十ex (2)从图象的对称性分析函数的奇偶性； (3)从图象的变化趋势分析函数的单调性、 f(-x)= In2+1-x)In WF1+x) e rfer erte x 周期性 ln(x+1+x)=-f(x), 典m1)函数f代o)=n百十的图象 er-e z er十ex 故f(x)为奇函数，选项B、D错误； 大致为( 当x趋向于十o∞时，y=e十ex的增长速度远 大于y=ln(Wx2+I+x)的速度， B. 故)n2十小趋向于0，C错误，A ex十ex 191 讲解册 实战高考·数学 正确， 续表 (2)由函数y=lnx,x轴下方图象翻折到上方 将函数解析式（方程）适当变形，转化为图 可得函数y=lnx的图象， 象易得的函数与一个含参的函数的差，在 数形结 将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得 同一平面直角坐标系中画出这两个函数 合法 函数y=|lnx|=ln-x||的图象， 的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶 将函数图象向右平移2个单位长度，可得函数 性等性质求解 y=|ln-(x-2)|=|ln2-x|的图象， 典例2已知函数f(x)= g1-1x≤0若 则函数f(x)=|ln2一x|的图象如图所示. In x,x0, 由图可得函数 函数g(x)=f(x)一a有三个零点，则a的取 f(x)在区间(1， 值范围是( ) 2)上单调递增， A.(0,1) B.(0,2] 故A正确； C.(2,十∞) D.(1,+∞) 函数y=f(x) -3-2-01234567 )答案A 的图象关于直线x=2对称，故B正确； 解析：要使函数g(x)=f(x)一a有三个零，点， 若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1,x2关于直 则f(x)=a有三个不相等的实数根， 线x=2对称，则x1十x2=4,故C错误； 即y=f(x)与y=a的图象有三个交点， 函数f(x)有且仅有两个零，点，故D正确， 当x≤-1时，f(x)=1-3x+1在(-∞，-1]上 解题技法 单调递减，f(x)∈[0,1)； 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法 当-1<x≤0时，f(x)=3x+1-1在(-1,0]上 求解比较困难，但其对应函数的图象可作出 单调递增，f(x)∈(0,2]； 时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问 当x>0时，f(x)= 题，从而利用数形结合思想求解 lnx在(0，+o)上 <--2y=1 单调递增，f(x)∈ = 题型二函数的零点问题 -3-2 R.作出函数f(x) 题型解读 的图象，如图所示 由函数零点的个数或所在区间求参数的方法 由y=f(x)与y=a的图象有三个交点，结合 直接根据题设条件构建关于参数的不等 函数图象可得a∈(0,1). 直接法 式（组），通过解不等式（组）确定参数的取 解题技法 值范围 求函数的零，点问题可以通过方程f(x)=0有 分离参 先将参数分离，然后将原问题转化成求函 实数解台函数y=f(x)有零点台函数y= 数法 数值域的问题加以解决 f(x)的图象与x轴有公共点这个三者之间的 转化来解决问题. 怎么 节 压轴归纳 考查内容 函数g(x)=f(f(x))一a有三个不同的零点， 嵌套函数的零点问题 则实数a的取值范围是 )答案[-1，+∞) 典例函数f(x) ln(-x-1),<-1若 2x+1,x≥-1， 解析：第一步：换元解套 192 ○专题二函数及其性质 设t=f(x),令f(f(x))一a=0,则a=f(t). t3<一1时，t3=f(x)只有一解. 第二步：辅助图形 第四步：归纳总结 在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象（如 综上，当a≥-1时，函数g(x)=f(f(x)-a 图) 有三个不同的零，点. 第三步：数形结合 选题意图 当a≥-1时，y=a 对于嵌套函数的零点，让学生通常先学会“换 与y=f(t)的图象有 元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的 两个交点. 函数，借助函数的图象、性质求解.利用换元法 设交点的横坐标为h,t2(不妨设t2>t),则 和数形结合思想是解决本类问题的关键.含参 <-1,t2≥-1. 数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动 当1<-1时，t1=f(x)有一解； 起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y=a 当t2≥一1时，t2=f(x)有两解. 与y=f(t)的图象，确定1,2，t的取值范围， 当a<-1时，y=a与y=f(t)的图象只有一 进而由y=f(x)与y=t的图象确定零点的 个交点.设交，点横坐标为t3,此时t<一1.当 个数. 2.4 函数模型及应用 ⊙ 考什么⊙人 高效复习必备 ( 核心知识 ①几种常见函数模型的应用；②三种函数模型性质的比较 数学建模是本节重点，我们可以结合所学基本初等函数的特征，判断出是哪类函数，得出函数关 怎么学 系式来解决实际问题，如果直接给出函数关系式，我们可以通过函数的性质等来解决实际问题 主要思想、 ①数学建模；②转化与化归；③数学运算 方法 易错警示 ①破解应用问题时，一定要注意自变量所表示的实际意义；②不能正确的根据题意列出关系式 学什么 考点内容梳理 考点函数模型及应用（高考6年2考）】 1.三种函数模型的性质 函数 y=a*(a>1) y=log,x(a >1) y=x(a>0) 性质 在(0，十∞）上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 随x的增大逐渐表现随x的增大逐渐表现 图象的变化 随α值的变化而各有不同 为与y轴平行 为与x轴平行 193