2.2 基本初等函数(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

○专题二函数及其性质 1+f<1,所以-1<f-x)<0, 1 次函数模型；见到f(xy)=f(x)f(y),可构 造幂函数模型或构造函数f(x)=0或构造函 所以当x<0时，一1<f(x)<0,故D正确. 数f(x)=1;见到f(x+y)=f(x)·f(y),可 选题意图 构造指数函数模型或构造函数f(x)=0或构 让学生学会利用赋值法来破解抽象函数问题， 一是会通过对自变量赋值，得到所需要的函数 造函数f(x)=1;见到f(xy)=f(x)+f(y), 值，常对自变量取0，士1，士2等值；二是会取 可构造对数函数模型或构造函数f(x)=0), 特殊函数，常通过取符合题意的特殊函数，对 才能轻松构造出可排除题意的特殊函数；三是 所给的选项进行排除，此时，需熟悉基本初等 利用函数单调性、基本不等式等，判断所给的 函数（如见到f(x十y)=f(x)十f(y),可构造 不等式正确与否 2.2 基本初等函数 ⊙ 考什么⊙ 高效复习必备 核心知识 ①指数函数的图象与性质；②对数函数的图象与性质；③幂函数的图象与性质 我们要熟练掌握指数函数、对数函数和幂函数的图象，通过结合指、对、幂函数的图象，理解它们 怎么学 的性质，体会数形结合思想在数学中的应用 主要思想、 ①换元法；②数形结合；③分类讨论 方法 ①底数含参数未进行讨论致误；②易忽视对数的真数大于0而致错；③忽视换元后的取值范围 易错警示 致误 ⊙ 学什么⊙头 考点内容梳理 考点指数函数及其性质（高考6年2考） 1.概念：一般地，函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y /= 1=a 图象 (0,1) (0,1) -y=1 .-y=1 01x 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点(0,1)，即x=0时，y=1 性质 当x>0时，y>1;当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1;当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 185 讲解 实战高考·数学 知识拓展 (1)、 (4 如图所示是指数函数(1)y=,(2)y=,(3)y=c,(4)y=d的图象，则c>d >1>a>b>0,即在第一象限内，指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象越高， 底数越大 考点2对数函数及其性质（高考6年1考） 1.概念：一般地，函数y=logx(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0， 十0∞). 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 x=1 y=log x =1 图象 1,0 (1,0) 2 y=log x 定义域 (0,十∞) 值域 R 过定点(1,0)，即x=1时，y=0 性质 当x>1时，y>0;当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0;当0<x<1时，y>0 在(0，十∞)上是增函数 在(0，十∞)上是减函数 3.反函数 指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数，它们的图象 关于直线y=x对称. 知识拓展 1.对数函数y=logx(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,D,(日，-1小，函数图象只过 第一、四象限 2.对数函数的图象与底数大小的比较： logx 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象交，点的横坐标为相应的底 -----2y=1 数.故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，不 -log.x 同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大。 logx 考点3幂函数及其性质（高考6年1考）】 1.幂函数的定义 般地，函数y=x叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 186 ○专题二函数及其性质 2.常见的五种幂函数的图象 =r32y=c2 3.幂函数的性质 (1)幂函数在(0，十∞)上都有定义； (2)当a>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，十∞)上单调递增； (3)当a<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，十∞)上单调递减； (4)当α为奇数时，y=x为奇函数；当a为偶数时，y=x为偶函数 怎么考 题型各个击破 题型一指、对、幂比较大小 可得1og5>19,log7<9,所以a<c 题型解读 比较指、对、幂的大小，一般是先尝试转化为同 又a=log47= 景>1boe12-1,号 底或同指的形式，利用函数单调性解决 (1n7)2 In4ln12' 利用上述方法不能解决的问题，可以尝试以下 两个方法： BIndln12<In4In12-In48n49-In7, 2 2 2 (1)中间量法：先将各式与“0”或“1”这类中间 即ln4lnl2<(ln7)2, 量进行比较，显然负数小于0、1之间的数，而 所以号>l,所以a>b,所以Ka<c. 0、1之间的数必小于比1大的数. (2)构造法：根据需要构造适当的函数或代数 (2)因为log.30.2>loga.30.3=1=1og.20.2> 式，利用“幂、指、对”等函数的性质进行比较 l0g0.20.3,故A正确； 因为0.30.2>0.30.3>0.20.3，故B正确； 典例1(1)已知57>310,410>77.设a=log47, 因为1og23<1ogu22<0,所以1og:0.2=1og023 1 b=21og72+1og73,c=1og925,则( A.a<b<c B.c<a<b 1 C.b<c<a D.b<a<c >10g.22 =log20.2,故C错误； (2)(多选)下列不等式成立的有( ) 由32>23，得(32)>(23)茹，即30.2>20.3，故D A.1ogo.30.2>log0.20.3 B.0.3.20.20.3 错误 C.log30.2<1og20.2 D.30.2<20.3 解题技法 )答案(1)D(2)AB 在指数、对数中通常可优先选择“-1,0，？，1” 解析：(1)由题意可得b=1og712,c=1og35. 对所比较的数进行划分，然后进行比较.有时 因为57>310,410>7'，所以两边取对数、整理 可以简化步骤，也有一些题目需要选择特殊的 187 讲解 实战高考·数学 常数对所比较的数的值进行估计，例如1og23, 对于C,由于函数y=ln(x2+m-)为偶函 可知1=log22<log23<1og24=2,进而可估计 10g23是一个1~2之间的小数，从而便于 数，其图象关于y轴对称， 比较 将该函数的图象向左平移)个单位长度即可 题型二指数型与对数型复合函数问题 得到画致fx)=n[(+》+m] 题型解读 ln(x2+x+m)的图象， 求解与指数函数或对数函数有关的复合函数 问题，首先，要熟知指、对数函数的定义域、值 此时()的图象对称轴为直线x=一，故C 域、单调性等相关性质，其次，要明确复合函数 正确； 的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时， 般要借助“同增异减”分析判断函数单调性， 对子D,若m≥1，则y=+x十m=(x+2)》 最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加 十m ≥子故()的值城不是R,故D 以解决. 错误 典例2(I)(多选)已知函数f(x)=ln(x2+x 故选AC +m)(m∈R),则( 1x≤9， A当m>4时，f(x)的定义域为R (2)由题意得 则1≤x≤3，即g(x) l1≤x2≤9， B.f(x)一定存在最小值 的定义域为[1,3]. C.fw)的图象关于直线x=一号对称 g(x)=[f(x)]2十f(x2)=(1+log3x)2+1+ logsx2=(logsx)2+4l0g3x+2. D.当m≥1时，f(x)的值域为R 设t=log3x,则0≤t1, (2)已知f(x)=1十log3x(1≤x≤9)，设函数 则y=十4t+2=(t+2)2一2在[0,1]上单调 g(x)=[f(x)]2+f(x2),g(x)max-g(x)min 递增， 所以当t=0,即x=1时，g(x)mm=g(1)=2, )答案(1)AC (2)5 当t=1,即x=3时，g(x)max=g(3)=7, 解析：1)对于A,若m心是，则△=1-4m<0, 所以g(x)max一g(x)min=5. 解题技法 则x2十x十m>0恒成立，所以f(x)的定义域 求解与指数型函数、幂函数和对数型函数有关 为R,故A正确； 的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉 对于B,若m=0,则f(x)=ln(x2+x)的定义 及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助 域为（一∞，一1）U(0,十∞)，值域为R,没有 “同增异减”这一性质分析判断. 最小值，故B错误； 怎么学 本节压轴归纳 考查内容 且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围 解决对数函数图象问题 是 典例已知函数f(x)=|lnx|,若0<a<b, )答案(3，十∞) 188 O专题二函数及其性质 解析：f(x)=|lnx的图象如图. 上单调递减， 因为f(a)=f(b),所以 所以g(x)>g(1)=1+2=3,所以a+2b>3, |In a =In bl. f)=Inx 所以a十2b的取值范围为(3，十∞). 因为0<a<b,所以lna< Oa】 2 选题意图 0,lnb>0, 让学生在识别函数图象时，要善于利用已知函 所以0<a<1,b>1,所以-lna=lnb, 所以lna+lnb=ln(ab)=0, 数的性质、函数图象上的特殊点排除不符合要 所以ab=1,则6=2所以a+26=a+ 求的选项，把对数型方程问题转化为相应的函 a 数图象问题，利用数形结合法求解，体现了直 令g(x)=x十2(0<<1)，则g(x)在(0,1） 观想象的核心素养 2.3 函数图象与零点 考什么⊙ 高见复习必备 ①函数图象之间的变换；②函数图象的判断及应用；③函数的零点问题；④函数零点存在性定理 核心知识 的应用 ①我们要熟练掌握图象的平移变换、对称变换这些重点，同时能够结合函数的图象研究函数的 性质或由函数的性质判断函数的图象；②对于函数的零点我们关键掌握转化与化归思想，只要 怎么学 弄清方程f(x)=0有实数解、函数y=f(x)有零点、函数y=f(x)的图象与x轴有公共点这三 者之间的转化，函数零点问题也就解决了 主要思想、 ①方程与函数；②数形结合；③分类讨论；④转化与化归 方法 ①混淆一个函数图象的对称性与两个函数图象的对称之间的关系而致误，②对图象的平移关系 易错警示 掌握不清；③忽视分段函数各段的自变量的取值范围 学什么 考点内容梳理 考点1 函数的图象（高考6年1考）】 1.利用描点法作函数图象的步骤 确定函数的定义域并化简函数的解析式 化简 讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊点，如：与坐标轴的交点、顶点、端点、最（极）值点、对 (列表 称点等 (描点 画出直角坐标系，准确描出表中所表示的各个点 连线) 用光滑的曲线依次连接所描的各个点，得图象 189