1.3 不等式(精讲册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

O专题一集合、常用逻辑用语与不等式 1.3 不等式 丝高边复习必备 ①不等式性质的应用；②一元二次不等式的求解；③运用基本不等式求最值；④不等式的恒成立 核心知识 问题 本专题的重要思想是“转化思想”，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系 怎么学 可以通过相互转化进行解决；灵活掌握基本不等式的转化变形，通过结合基本不等式和拓展公 式求解函数最值问题 主要思想、 ①转化与化归；②数形结合；③分类讨论 方法 ①应用基本不等式时易忽略基本不等式成立的条件；②忽视分类讨论二次项的系数而致误； 易错警示 ③对于不等式ax2十b.x十c>0,求解时不要忘记a=0时的情形 学什么 考点内容梳理 nn 考点①不等式的性质（高考6年1考） 性质1对称性：a>b台b<a; 性质2传递性：a>b,b>c→a>c; 性质3可加性：a>b台a+c>b十c; 性质4可乘性：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc; 性质5同向可加性：a>b,c>d→a+c>b+d; 性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0→ac>bd; 性质7同正可乘方性：a>b>0→a">b(n∈N,n≥2). 知识拓展 不等式的两类常用性质： (1)倒数性质： ①abah>0=}名@a>60,0dAg乡 (2)有关分数的性质： bbtm bb m (b-m-0); 若a>b>0,m>0,则①真分数的性质：2<a干m&>a-7m ②根分数的性质：号册君名职山m>0, 考点2基本不等式（高考6年1考） 1基本不等式：va<生力 (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0. 173 讲解 实战高考·数学】 (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立 (3)其中a十色叫做正数a,b的算术平均数，√ab叫做正数a,b的几何平均数. 2 2.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x十y有最小值2√P. (2)已知x,y都是正数，如果和x十y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值. 注意)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等” 知识拓展 几个重要的不等式： ①a2+≥2aba,bcR.(2合+号≥2a,b同号). (③ab≤（告）(a,bER.w告≥() (a,b∈R) 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 考点3一元二次不等式（高考6年0考) 1.二次函数y=ax2+bx十c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)、不等式ax2+bx+c> 0(a>0)的关系 方程的判别式△=b-4ac △>0 △=0 △<0 二次函数的图象 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 一元二次方程的根 b 没有实数根 x1,x2(x1<C2) x1=x2= 2a 不等式的解集 {x|x<x1或x>x2} {xz≠-a} 及 2.简单的绝对值不等式 x|>a(a>0)的解集为(-o,-a)U(a,十∞)，x<a(a>0)的解集为(-a,a). 知识拓展 1.一元二次不等式恒成立问题： (1)不等式a.x2十bx十c>0(a≠0)，x∈R恒成立台a>0且△<0； (2)不等式ax2+bx+c<0(a≠0)，x∈R恒成立台a<0且△<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a=0的情形. 2.分式不等式与整式不等式： /00(<0s/Dga20<0)②g≥0（≤09/r)g(m≥0（≤0）且g()克 g(x) 174 O专题一集合、常用逻辑用语与不等式 怎么考⊙火 题型各个击破 ⊙ 题型一不等式的恒成立问题 m<0: 题型解读 △=[-(m-1)]2-4m(m-2)<0, 1.分离参数法 解得m<3-25 3 若不等式f(x,λ)≥0(x∈D,A为实参数)恒 成立，将f(x,λ)≥0转化为λ≥g(x)或λ≤ 综上所述，m的取值范围为(-∞，3-23 3」 g(x)(x∈D)恒成立，进而转化为λ≥ (2)(分离参数法)不等式f(x)≥0对一切x日 g(x)max或λ≤g(xmn,求g(x)(x∈D)的最 值即可. [22]恒成立， 该方法适用于参数与变量能分离，函数最值 即m(x2一x+1)≥1一x对一切x∈ 易求的题目， [2]恒成立 2.主参换位法 变换思维角度，即把变量与参数变换位置， 因为-x+1=(x-)°+>0， 构造以参数为变量的函数，根据原变量的取 值范围列式求解，一般地，条件给出谁的范 则不等式等价于加≥对一切x( 围，就看成有关谁的函数，利用函数单调性 [-2,2]恒成立 求解 3.数形结合法 由x[], 结合函数图象将问题转化为函数图象的对 1 得 1-x 称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置 1-x 一x十1一x (相对于x轴)关系求解.此外，若涉及的不 等式能转化为一元二次不等式，则可结合相 应一元二次方程根的分布解决问题 1-x121-)x1 典例1已知函数f(x)=mx2一(m-1)x十 当且仅当1-x=十即x=0时等号成立， m-1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的取 所以（千）=1， 值范围； 所以m≥1，即m的取值范围是[1，十o∞). (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈ (3)(主参换位法)不等式f(x)>2对一切m∈ [-2,2]恒成立，求m的取值范围： (0,2)恒成立， 即(x2-x+1)m十x一3>0对一切m∈(0,2) (3)若不等式f(x)>2对一切∈(0,2)恒成 恒成立 立，求x的取值范围. 令h(m)=(x2-x+1)m+x-3, 解：(1)不等式f(x)<1,即mx2-(m-1)x+ m-2<0. 因为2-x+1=(-)+>0, 当m=0时，x-2<0,解得x<2,不符合题意； 所以函数h(m)=(x2-x+1)m十x-3在(0， 当m≠0时，有 2)上单调递增， 175 讲解 实战高考·数学 则h(0)=x-3≥0，解得x≥3， B.4x+y的最小值为 所以x的取值范围为[3，十∞). 解题技法 C.√2x十√的最小值为√2 恒成立问题求参数的范围的解题策略： D.2+1的最小值为9 (1)弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的 y 范围，谁就是参数， (2)已知x>0,y>0,x十3y十xy=9,则x十3y (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别 的最小值为 式△；一元二次不等式在给定区间上恒成立， )答案(1)ABD(2)6 不能用判别式△，一般分离参数求最值或分类 解析：(1)对于A选项，由基本不等式，可得1 讨论。 =2x十y≥2v2y,解得x≤日 题型二利用基本不等式求最值 题型解读 当且仅当 2x=y, x= 4 时，即当 时，等号 1.配凑法 2x+y=1 y-2 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形， 通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为 成立，故的最大值为日，A正确； 定值的形式，然后利用基本不等式求解最值 对于B选项，由基本不等式，可得1=(2x十y)2= 的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变 形，拼系数、凑常数是关键， 4x2+y2+4xy≤4x2+y2+(4x2+y)= 2.常数代换法 2(4r+y,所以4+≥， (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）； (2)把确定的定值（常数）变形为1； 2x=y, 4, (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相 当且仅当 时，即当 时，等号 2x+y=1 乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； y-2 (4)利用基本不等式求最值， 成立，则4十y的最小值为2B正确： 3.消元法 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通 对于C选项，因为(2x十√y)2=2x+y+ 常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑 2√2x·y≤2x+y+(2x+y)=2(2x+y)=2, 出“和为常数”或“积为常数”，然后利用基本 解得√2x十√y≤√2， 不等式求最值， 4.构建目标式的不等式求最值 x= 2x=y, 4 在既含有和式又含有积式的等式中，对和式 当且仅当 时，即当 时，等号 2x+y=1 或积式利用基本不等式，构造目标式的不等 y=2 式求解. 成立，故2x十√y的最大值为√2，C错误； 典例2(1)（多选）已知x,y是正数，且2x+ y=1,下列叙述正确的是() 对于D项，2+}-（经+2x+0-5计 A.xy的最大值为日 x y 176 O专题一集合、常用逻辑用语与不等式 2y_2x 则x十3y-1+千y 9-=3y+3y=9-3y+3y1+D 时，等 1+y 当且仅当 2.x+y=1, 时，即当x=y= 9+3y_3(1+y)2-6(1+y)+12 x>0,y>0 1+y 1+y 号成立，即2+1的最小值为9，D正确。 -31t0+,y-6≥231+0·平 12 x'y (2)方法一（换元消元法）：由已知，得x十3y= 6=12-6=6, 9一xy .'x>0,y>0,∴.x+3y≥2W3xy, 当且仅当31十》=号，即=3，y=1卧等 3x≤(3， 号成立，故x十3y的最小值为6. 解题技法 当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号， (1)利用基本不等式的前提：“一正”“二定”“三 x3叶号)9， 相等”. 即(x+3y)2+12(x+3y)-108>0. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和 令x十3y=t,则t>0,且t+12t-108≥>0， 为常数的形式，然后利用基本不等式求解 解得t≥6，即x十3y的最小值为6. (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配 方法二（代入消元法）：由x+3y十xy=9, 凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换 得x=9-3y 的方法；三是消元法. 1+y 么学 本节压轴归纳 考查内容 2+2 基本不等式的综合应用 ·义=4，当且仅当好，即x y 4.c y 典例若两个正实数x,y满足上十4=1，且 2y=8时取等号.因为不等式x十￥<m 不等式x十￥<m2-3m有解，则实数m的取 3m有解，所以m2-3m大于x+￥的最小值， 值范围是( ) 即m2-3m>4,解得m<-1或m>4,即实数 A.(-1,4) m的取值范围是（一∞，一1）U(4,+∞).故 B.(-4,1) 选C C.(-∞，-1)U(4,+∞) 选题意图 D.(-∞，0)U(3,+∞) 让学生学会利用基本不等式求参数的取值范 )答案C 围，观察题目的特点，通过条件转化成能利用 解析：因为两个正实载，y满足上十号1，所 基本不等式的形式，再利用基本不等式确定等 号成立的条件，从而得到参数的值或取值 以x+￥=(+)（侵+）=2+g+≥ 范围. 177