学易金卷：高一数学下学期期末真题重组卷（全国通用，范围：人教A版必修第二册）

**基本信息** 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷，整合江苏无锡、山东泰安等地期末真题，覆盖复数、向量、立体几何、概率统计等必修第二册核心内容，通过电子元件概率、上合峰会知识竞赛等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、向量共线、圆台体积、概率计算|结合正方体骰子、电子元件等情境，设置单选基础与多选辨析| |填空题|3题15分|对立事件概率、直三棱柱外接球、莱洛三角形向量最值|融入数学文化（莱洛三角形），考查空间想象与最值求解| |解答题|5题77分|向量运算、频率分布直方图、解三角形、四棱锥二面角、比赛概率模型|上合峰会知识竞赛数据分析、围棋比赛概率建模，体现数学应用与逻辑推理|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 3．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 7．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）关于复数，下列说法正确的是（    ） A．是实数 B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数z满足，则 D．若，则 10．（25-26高一上·河北保定·期末）下列说法正确的有（   ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 11．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（    ） A．直线与直线是异面直线 B． 平面 C．直线与直线所成角是 D．在直线上存在点，使平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 13．（23-24高一下·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 14．（24-25高一下·福建泉州·期末）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，以的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．已知为上的一点，为的中点，若，则的最大值为_________，最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 16．（15分） （24-25高一下·天津·期末）2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题： (1)求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)估计这组数据的第75百分位数； (3)用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率. 17．（15分） （24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 18．（17分） （24-25高一下·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点． (1)若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 19．（24-25高一下·河南·期末）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 3．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 7．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）关于复数，下列说法正确的是（    ） A．是实数 B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数z满足，则 D．若，则 10．（25-26高一上·河北保定·期末）下列说法正确的有（   ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 11．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（    ） A．直线与直线是异面直线 B． 平面 C．直线与直线所成角是 D．在直线上存在点，使平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 13．（23-24高一下·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 14．（24-25高一下·福建泉州·期末）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，以的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．已知为上的一点，为的中点，若，则的最大值为_________，最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 16．（24-25高一下·天津·期末）2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题： (1)求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)估计这组数据的第75百分位数； (3)用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率. 17．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 18．（24-25高一下·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点． (1)若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 19．（24-25高一下·河南·期末）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A A D D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BCD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．0.18 13． 14． 4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1），又，，， 即， ，解得. （4分） （2）因为，，（5分） 又， ，即，解得. （8分） （3）因为，（10分） 所以， 所以当时，取最小值. （13分） 16．（15分） 【答案】(1)，71；(2)82分；(3) 【详解】（1）根据频率分布直方图可知：，即； 估计本次竞赛成绩的平均分为 . （4分） （2）由图中前四组面积之和为：， 图中前五组面积之和为：，（6分） 故这组数据的第75百分位数在第五组数据中， 设这组数据的第75百分位数为m， 则有， 故，即估计这组数据的第75百分位数为82分； （9分） （3）用分层抽样的方法在分数在内的师生中抽取一个容量为6的样本， （11分） 其中分数在的人数为2，分别记为a、b，分数在的人数为4，分别记为A，B，C，D 从6人中任取2人，所有的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共15种， （13分） 其中，事件“从6人中任取2人，至多有1人的分数在内”所包含的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD，共9种， 故所求概率为. （15分） 17．（15分） 【答案】(1)；(2)，. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （7分） （2）由（1）知，而，由正弦定理得， （10分） 由，得，则， ， （13分） 所以的面积. （15分） 18．（17分） 【详解】（1）如图，取的中点的中点，连接， 则截面与平面平行． （4分） （2）因为平面，平面，所以． 在矩形中，平面，平面， 故平面． 又平面，故．（6分） 在中，，是的中点，所以，又，平面，平面，故平面， 而平面，于是．（8分） 因为平面，平面， 所以平面； （10分） （3）由（2）知平面，于是， 所以即为二面角的平面角．（12分） 在中，，故，从而． 在中，，故，从而．（14分） 又在中，，故由余弦定理得， ， 所以二面角的余弦值为． （17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛， 所以丁连胜两盘且其中第二盘必胜，即对乙必胜， 所以．（2分） 故． （4分） （2）设、两队打平的概率为． 记事件第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜． 记事件第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则与为互斥事件， 则. （8分） （3）设丁获胜的概率为． 若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，则． 同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则． （10分） 若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． （12分） 若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． （14分） 因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 因为丁连胜三盘的概率与顺序无关，所以丁连胜两盘、负一盘， 其中第二盘必胜，第二盘的对手实力越强， 连胜两盘的概率越小，第二盘的对手实力越弱，连胜两盘的概率越大， 根据已知丙的实力最弱，故A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与B队进行比赛时对丁最有利． （17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) ◆频率/组距 6☑----- 5a 30 a 405060708090100成绩/分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) F E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，所以 2．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【详解】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 3．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得——① 再由，得，即——② 联立①②解得，. 所以. 故选：D 6．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 【答案】D 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 故选：D 7．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件， 该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：C 8．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，令，，，则，， 又，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以的最小值为， 又，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，即的最小值为． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）关于复数，下列说法正确的是（    ） A．是实数 B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数z满足，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，复数的共轭复数为，,正确. 对于B，复数对应点，其共轭复数对应点，两点关于实轴（轴）对称，正确. 对于C，假设，则，但复数平方根有双解，另一个解为，题目中仅给出，未包含全部解，C错误. 对于D，表示以z为圆心、半径为1的圆.圆心z到原点的距离为，因此圆上的点到原点的距离范围为：，，即，D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高一上·河北保定·期末）下列说法正确的有（   ） A．数据的分位数是23 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】BCD 【详解】对于A，将按从小到大的顺序排列为，因为，所以分位数是第7和第8个数据的平均数，即，故A错误； 对于B，由题意知事件“向上的点数为奇数或4”，所以，故B正确； 对于C，从中任选2名同学参加演讲比赛，有“两名男生”“一名男生一名女生”“全是女生”三种情况，而“至少一名男生”包含“两名男生”“一名男生一名女生”，所以“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故C正确； 对于D，根据平均数与方差的性质可知，的平均数为，方差为，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（    ） A．直线与直线是异面直线 B． 平面 C．直线与直线所成角是 D．在直线上存在点，使平面 【答案】BD 【详解】对于A，由图可知直线与直线都在平面中，故A错误； 对于B，正方体的棱长为1，由图可知直线， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质知， 所以直线与直线所成角为直线与直线所成角， 因为为正方形，所以，即直线与直线所成角是，故C错误 ； 对于D，连接，，，取的中点，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又 ，，平面，所以平面， 所以平面，即在点处时，可使平面，故D正确． 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 【答案】0.18 【详解】因为与对立，所以， 又与相互独立，所以 ． 故答案为：0.18． 13．（23-24高一下·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 【答案】 【详解】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 14．（24-25高一下·福建泉州·期末）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，以的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．已知为上的一点，为的中点，若，则的最大值为_________，最小值为_________． 【答案】 4 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则， 所以 ，其中， 则，则，所以， 所以当时，， 当时，. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1），又，，， 即， ，解得. （4分） （2）因为，，（5分） 又， ，即，解得. （8分） （3）因为，（10分） 所以， 所以当时，取最小值. （13分） 16．（24-25高一下·天津·期末）2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题： (1)求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)估计这组数据的第75百分位数； (3)用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率. 【答案】(1)，71；(2)82分；(3) 【详解】（1）根据频率分布直方图可知：，即； 估计本次竞赛成绩的平均分为 . （4分） （2）由图中前四组面积之和为：， 图中前五组面积之和为：，（6分） 故这组数据的第75百分位数在第五组数据中， 设这组数据的第75百分位数为m， 则有， 故，即估计这组数据的第75百分位数为82分； （9分） （3）用分层抽样的方法在分数在内的师生中抽取一个容量为6的样本， （11分） 其中分数在的人数为2，分别记为a、b，分数在的人数为4，分别记为A，B，C，D 从6人中任取2人，所有的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共15种， （13分） 其中，事件“从6人中任取2人，至多有1人的分数在内”所包含的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD，共9种， 故所求概率为. （15分） 17．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)；(2)，. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （7分） （2）由（1）知，而，由正弦定理得， （10分） 由，得，则， ， （13分） 所以的面积. （15分） 18．（24-25高一下·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点． (1)若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)． 【详解】（1）如图，取的中点的中点，连接， 则截面与平面平行． （4分） （2）因为平面，平面，所以． 在矩形中，平面，平面， 故平面． 又平面，故．（6分） 在中，，是的中点，所以，又，平面，平面，故平面， 而平面，于是．（8分） 因为平面，平面， 所以平面； （10分） （3）由（2）知平面，于是， 所以即为二面角的平面角．（12分） 在中，，故，从而． 在中，，故，从而．（14分） 又在中，，故由余弦定理得， ， 所以二面角的余弦值为． （17分） 19．（24-25高一下·河南·期末）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 【答案】(1)；(2)；(3)队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利，理由见解析 【详解】（1）因为队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛， 所以丁连胜两盘且其中第二盘必胜，即对乙必胜， 所以．（2分） 故． （4分） （2）设、两队打平的概率为． 记事件第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜． 记事件第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则与为互斥事件， 则. （8分） （3）设丁获胜的概率为． 若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，则． 同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则． （10分） 若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． （12分） 若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． （14分） 因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 因为丁连胜三盘的概率与顺序无关，所以丁连胜两盘、负一盘， 其中第二盘必胜，第二盘的对手实力越强， 连胜两盘的概率越小，第二盘的对手实力越弱，连胜两盘的概率越大， 根据已知丙的实力最弱，故A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与B队进行比赛时对丁最有利． （17分） 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $