精品解析：广东中山市第一中学2025-2026学年高二下学期二段考（5月）数学试题

2025—2026学年广东省中山市第一中学高二下数学二段考（5月） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 ， 又，，则所求切线方程为. 2. 若正整数a，b满足等式，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 2022 D. 2023 【答案】D 【解析】 【分析】由，再根据二项式定理展开后可求的值. 【详解】∵ ， ∴. 故选：D. 3. 已知随机变量满足，若，且 ，则 （ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，再由，即可求解. 【详解】因为随机变量满足，若，可得， 又因为，可得， 则. 4. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（       ） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，， 由回归方程必过样本中心，得，解得， 所以在样本点处的残差为. 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 18 C. D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，进而得到，再结合求解． 【详解】解：在等差数列中，， ，解得， ． 6. 从3位男生，2位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法有（ ）种． A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】总共3个场馆，每个场馆各1人，选出3人后进行全排列： 已知共3名男生，2名女生，且至少有1名女生，则共2种情况，1女2男和2女1男， 不同安排方法有：种． 7. 已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化题意为，根据求导分别求出即可. 【详解】若对任意的，存在，使得成立， 等价于，， 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以对任意的恒成立， 所以. 令，， 所以， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，即a的取值范围是. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导可得，可得，令，利用导数可得，进而判断. 【详解】令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，所以，当且仅当时取到等号， 令，所以，所以， 因为，所以，所以， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增，所以， 令，则可得， 所以，所以， 所以. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是13 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质得到，从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项． 【详解】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分析函数的单调性即可得出极值点个数；对于B， 利用函数的极值与零点存在定理可得出零点个数；对于C，通过检验是否恒成立即可判断；对于D，利用导数的几何意义写出切线方程，由求出的切点个数即可判断. 【详解】对于A，由求导得． 令，得或，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以和2是函数的两个极值点，故A正确； 对于B，由A项分析，在时取得极大值，在时取得极小值， 且当时，，当时，，故函数在定义域上有三个零点，故B正确； 对于C，由， 因为， 故曲线关于点不成中心对称，故C错误； 对于D，设切点为，则切线的方程为， 代入，可得，化简得，解得或． 故过点且与曲线相切的直线恰有两条，故D正确． 故选：ABD. 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（ ）. A. B. 主持人打开3号箱的概率 C. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A错误； 对于B，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故B正确； 对于C、D， （1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 . 从而. （2）当甲更改选择时 ①若甲改选号箱，甲中奖的概率为， ②若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故C正确； 而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】根据展开式的通项，再令进行计算． 【详解】解：二项式的展开式， 当，即时，常数项为． 13. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值． 【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 14. 甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则_________，若第1轮甲得3分，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：分析出情况的概率，结合事件的含义求解即可，第二空，列举出具体的样本点，结合二项分布求解即可. 【详解】由题知每一轮甲得3分的概率为，得0分的概率为，得1分的概率为，所以； 若第1轮甲得3分，则对应的甲乙得分情况可能为 所以 ． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分、第16、17题各15分、第18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． （1）估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； （2）若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解； （2）由，利用正态分布的对称性，求得的值，进而估计出成绩在内的学生的人数. 【小问1详解】 由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例, 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为. 【小问2详解】 解：由， 则 , 因为全市有60000名考生，所以该区间内的人数人， 所以成绩在内的学生人数大约为人. 16. 某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 （1）请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； （2）根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） （3）请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 【答案】（1）有关联，女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． （2）无关联，实际含义见解析 （3）不一致，原因见解析 【解析】 【分析】（1）通过观察等高堆积条形图中男女身高分布的差异，若男生中不低于170cm的比例明显高于女生，则判断两者有关联； （2）通过计算样本列联表的卡方统计量，与临界值比较，从而判断是否拒绝“性别与身高无关联”的原假设； （3）通过对比基于总体的描述性分析与基于样本的推断性检验的结论，指出因样本容量较小产生的抽样误差可能导致两种结论不一致. 【小问1详解】 有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生， 而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生， 故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． 【小问2详解】 由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联， 实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. 【小问3详解】 （1）与（2）的结论不一致， A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况， 若总体中确实存在关联，则其结论可靠； B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本， 样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大， 当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性. 17. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式： （2）求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见详解； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【小问1详解】 已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. 【小问2详解】 两边同乘​得 得，， 整理得. 【小问3详解】 由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 18. 某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和． （1）求电梯A最终停在6楼的概率； （2）若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望； （3）若 对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率． 【答案】（1）； （2）的分布列见详解，的数学期望为度； （3）. 【解析】 【分析】（1）先通过目标楼层反推电梯运行的次数组合，用方程确定两种运行方式的次数，再利用独立重复试验的特征，计算目标组合的概率，最后建立总耗电量与运行次数的线性关系，用期望性质直接计算即可； （2）先识别出随机变量服从，再通过公式计算各取值概率，列出分布列；并建立总耗电量与的线性关系，最后利用期望的线性性质，结合二项分布期望公式，直接求出的数学期望即可； （3）先确定电梯A停在6楼的所有运行序列，再针对每一种序列，按“每一步楼层差不超过1”的同步条件，分步枚举所有符合要求的B序列，接着计算出“同步且A停在6楼”的联合概率，最后利用条件概率公式，用联合概率除以“A停在6楼”的概率，得到最终结果即可. 【小问1详解】 设电梯A在3次运行中，向上运行1层的次数为，向上运行2层的次数为， 因为电梯从1楼出发，最终停在6楼，总上升层数为：， 所以 ，解得：， 即电梯A需要1次向上运行1层，2次向上运行2层， 根据二项分布，概率为：， 所以电梯A最终停在6楼的概率为. 【小问2详解】 由题意，为3次运行中向上运行1层的次数，每次运行向上1层的概率为，因此， 所以， ， ， ， 所以的分布列： 0 1 2 3 由题意，总耗电量与的关系为：， 化简得： ， 则期望： ， 因此，的数学期望： ， 所以的分布列如上，的数学期望为度. 【小问3详解】 事件M：电梯A停在6楼，其运行序列为“1次1层、2次2层”， 所以电梯A运行序列共有种排列，记为：. 同步条件：对， ， ①当电梯A运行序列为时： 符合条件的电梯B运行序列：，共6种，其概率和为. ②当电梯A运行序列为时： 此时电梯B运行序列中只有不满足同步条件，所以满足同步条件的概率为. ③当电梯A运行序列为时： 此时电梯B运行序列中也只有不满足同步条件，所以满足同步条件的概率为. A停在6楼的总概率：， 每种电梯A运行序列的概率： 所以总同步概率：同步且停在6楼 所以条件概率：同步 停在6楼， 故当电梯A最终停在6楼时，两部电梯始终同步的概率为. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． （2）； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【小问1详解】 ， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． 【小问2详解】 不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； 【小问3详解】 要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年广东省中山市第一中学高二下数学二段考（5月） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若正整数a，b满足等式，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 2022 D. 2023 3. 已知随机变量满足，若，且 ，则 （ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 4. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（       ） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 18 C. D. 22 6. 从3位男生，2位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法有（ ）种． A. 9 B. C. D. 7. 已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是13 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（ ）. A. B. 主持人打开3号箱的概率 C. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 13. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 14. 甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则_________，若第1轮甲得3分，则_________． 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分、第16、17题各15分、第18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． （1）估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； （2）若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 16. 某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 （1）请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； （2）根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） （3）请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 17. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式： （2）求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 18. 某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和． （1）求电梯A最终停在6楼的概率； （2）若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望； （3）若 对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $