精品解析：广东中山市桂山中学2025-2026学年高二下学期二段考数学试卷

广东省中山市桂山中学2025-2026学年高二下数学二段考试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ） A. 气候温度高，海水表层温度就高 B. 气候温度高，海水表层温度就低 C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项. 【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误. 故选：C. 2. 已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项的性质即可求解. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，所以，所以. 故选：B 3. 现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将3位摄影师插入站好的7位同学的8个空里. 【详解】先排7位学员，共有种排法，再从8个空位中选3个安排给3位摄影师，故不同排法数为． 故选：A 4. 某市卫健委用模型的回归方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人数，令后得到的线性回归方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数与指数的互化可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】，所以，，解得. 故选：A. 5. 若数列满足，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系求数列的前几项，归纳数列满足关系，由此确定结论. 【详解】因为，， 所以， ， ， ，…， 可得， 则． 故选：A. 6. 已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：若y关于t的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（ ） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号t 1 2 3 4 5 成交额y（万元） 50 60 70 80 100 A. 84万元 B. 96万元 C. 108万元 D. 120万元 【答案】C 【解析】 【分析】根据线性回归直线过样本中心点这一性质进行求解即可. 【详解】依题意， 又线性回归方程为必过点， 所以，解得，所以， 2025年的年份代号为6，所以当时，， 所以根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元． 故选：C． 7. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】由可得， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 且， 由可得， 即，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 8. 生物的性状是由遗传因子决定的.每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母（如）来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母（如）来表示.如图，在孟德尔豌豆试验中，的基因型为，子二代的基因型为，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取2颗踠豆进行杂交试验，则子三代中高茎的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法，列举出所有的可能结果，再利用全概率公式求解即可. 【详解】子二代基因配型有6种情况，分别记为事件, “子三代基因型为高茎”记为事件，则 事件 配型 , 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有4项 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案. 【详解】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为1，故A正确； 对于B，第二项二项式系数,第四项的二项式系数,第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误； 对于C，展开式的通项为， 令，∴，展开式中的常数项为，故C正确； 对于D，展开式的通项为，当时，，所以展开式的有理项共有4项，故D正确. 故选：ACD. 10. 某研究团队测定：某植物叶肉细胞的有氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布；干旱胁迫下叶肉细胞的无氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布（单位略），则（若随机变量服从正态分布，）（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件结合正态密度曲线的性质逐项判断即可. 【详解】对于A：，A项正确； 对于B：，B项正确； 对于C：，C项错误； 对于D：，D项正确． 故选：ABD. 11. 函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线的斜率为1 B. 当时，在上单调递增 C. 对任意，在上均存在零点 D. 存在，在上有唯一零点 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：利用导数的几何意义计算即可判断；对于B：求出，作图象数形结合判断其正负，即可判断函数的单调性；对于C、D：令，则构造函数令，利用导数求得其极值，从而说明当时，，即可判断. 【详解】对A：当时，， ，故在处的切线的斜率为1，故A正确； 对B：当时，， 作出函数在上的图象如图示， 可以看到在有两交点， 即有两个零点，不妨假设， 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 故当时，在上不是单调递增函数，故B错误； 对C：，， 令，则， 令，， 令，得， 故当时，，递减， 当时，，递增， 所以当时，取到极小值， 即当时，取到极小值， 又，即， 又因为在上，递减，故， 当时，取到极大值， 即当时，取到极大值， 又，即，故， 当时，， 所以当，即时，在上无零点，故C错误； 对D：当，即时，与的图象只有一个交点， 即存在，在上有唯一零点，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，利用导数判断函数单调性，确定极值，从而帮助解决问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量服从二项分布，，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据二项分布期望公式以及性质，求解即可. 【详解】由于X服从二项分布，所以，故. 故答案为：7 13. 已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 14. 已知数列共有项，其中项为，项为.若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为__________，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为__________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】根据定义列出当，条件下的所有“规范数列”，由此可得第一空结论，结合组合数定义确定有个，个，，时数列的个数，再求其中“规范数列”的个数，结合古典概型概率公式求结论. 【详解】（1）当时，满足要求的“规范数列”有 ；；；； ； 所以当，时，“规范数列”的个数为. （2），，时，具有“规范数列”数列特征的数列的个数为， 当，，时，由已知数列共有项，其中项为，项为， 所以满足条件的数列的个数为， 若数列为“规范数列”，则第一项为， 若第一项为，第二项为时，“规范数列”个数为， 当第一项为，第二项为，第三项必然为，此时“规范数列”个数为， 所以. 故， 因为函数在上单调递增， 所以当时，取最小值，， 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线平行于轴. （1）求与的关系； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义列出方程即得； （2）由题意得到在上恒成立，通过变量分离，推得在上恒成立，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由，可得，， 依题意，，即得， 此时切线方程为，该直线与x轴平行，所以， 所以； 【小问2详解】 函数在上单调递增等价于在上恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立， 故得且，即的取值范围是. 16. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望. （3）设用表示甲学校的总得分，比较和的大小（直接写出结果）. 【答案】（1） （2）分布列见解析，的期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，可以得到甲学校获得冠军的概率； （2）乙学校的总得分的值可取0，10，20，30，分别求出取上述值时的概率，可得分布列与数学期望； （3）求甲学校的总得分的分布列，再求得和的大小，即可得大小. 【小问1详解】 甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表： 第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛 甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8 乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2 甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场， ①甲学校3场全胜，概率为：， ②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：， 所以甲学校获得冠军的概率为：； 【小问2详解】 乙学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为： ， ， ， ， 则的分布列为： 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 的期望； 【小问3详解】 甲学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为： ， ， ， ， 则的分布列为： 0 10 20 30 0.06 0.34 0.44 0.16 的期望； 故， 由（2）可得， 故. 17. 在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列的前项和为，， ， ． （1）求数列的通项公式； （2）设，证明数列的前项和． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及求和公式直接求解； （2）利用裂项相消法求和即可得证. 【小问1详解】 由于是等差数列，设公差为， 当选①②时：，解得， 所以的通项公式，． 选①③时，解得， 所以的通项公式，． 选②③时，解得， 所以的通项公式，． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， ， . 18. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中， （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率. （2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由. 附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 【答案】（1）适宜，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率 （2）（i）0.778；（ii）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可； （2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况. 【小问1详解】 由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型. 令，先建立y关于t的线性回归方程. 由于， ， 该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为， 因此y关于年份数x的回归方程为 所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为 . 所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为. 【小问2详解】 设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”， 则，，， ，，. （i）由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为0.778. （ii）， ， ， 因为， 所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，令，求得，得到的单调性，进而求得函数的单调区间，结合极值的概念，即可求解. （2）（i）由题意得，令，求得，得到在单调递增，再令，得到在有2个零点，且，进而得到，求得函数，即可求解； （ii）根据题意，转化为证明，设，得到，令，求得，得到，进而转化为，令，利用导数求得单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 令，则， 当时，；当，， 所以在单调递减，在单调递增， 因为时，，则，， 所以当时，；， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 解：（i）由函数， 令，因为，所以在单调递增， 令，即在有2个零点，且， 因为，所以时，，在单调递增， 此时不存在2个零点，所以， 因为时，；时，，所以在单调递减， 在单调递增，因为时，；时，， 所以，所以． （ii）证明：由，可得，即证，即证， 不妨设，因为， 由（i）知，， 令，则且， 又因为，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 所以等价于，即， 即为， 令，则， 所以在单调递增，所以， 即，可得，所以，即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市桂山中学2025-2026学年高二下数学二段考试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ） A. 气候温度高，海水表层温度就高 B. 气候温度高，海水表层温度就低 C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 2. 已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 3. 现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（ ） A. B. C. D. 4. 某市卫健委用模型的回归方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人数，令后得到的线性回归方程为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若数列满足，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：若y关于t的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（ ） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号t 1 2 3 4 5 成交额y（万元） 50 60 70 80 100 A. 84万元 B. 96万元 C. 108万元 D. 120万元 7. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 生物的性状是由遗传因子决定的.每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母（如）来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母（如）来表示.如图，在孟德尔豌豆试验中，的基因型为，子二代的基因型为，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取2颗踠豆进行杂交试验，则子三代中高茎的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有4项 10. 某研究团队测定：某植物叶肉细胞的有氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布；干旱胁迫下叶肉细胞的无氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布（单位略），则（若随机变量服从正态分布，）（ ） A. B. C. D. 11. 函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线的斜率为1 B. 当时，在上单调递增 C. 对任意，在上均存在零点 D. 存在，在上有唯一零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量服从二项分布，，则______. 13. 已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 14. 已知数列共有项，其中项为，项为.若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为__________，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线平行于轴. （1）求与的关系； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 16. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望. （3）设用表示甲学校的总得分，比较和的大小（直接写出结果）. 17. 在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列的前项和为，， ， ． （1）求数列的通项公式； （2）设，证明数列的前项和． 18. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中， （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率. （2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由. 附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $