专题04 随机变量及其分布 10考点+15题型+4易错（期末复习知识清单）高二数学下学期人教A版

专题04 随机变量及其分布 1.条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P（B｜A）＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 提醒：（1）P（B｜A）与P（A｜B）意义不同，由条件概率的定义可知P（B｜A）表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的条件概率；而P（A｜B）表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的条件概率；（2）P（B｜A）与P（AB），P（A）三者互不相同，P（B｜A）是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A与B同时发生的概率，P（A）是事件A的概率，P（B｜A）与P（B）不一定相等. 2.全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）.称为全概率公式. 3.随机变量的分布列 （1）.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量. （2）离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 提醒：随机变量与函数的定义类似：随机试验样本空间Ω中的样本点ω相当于函数定义中的自变量，X（ω）是与ω对应的实数. （3）离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn （4）离散型随机变量分布列的性质 （1）pi≥0，i＝1，2，…，n； （2）p1＋p2＋…＋pn＝1. 　　提醒：（1）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和；（2）离散型随机变量的分布列的性质可以检查所写分布列是否正确. 4.两点分布 （1）定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P（A）＝p，则P（）＝1－p，那么X的分布列如表所示： X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布. 　提醒：两点分布的特点：（1）两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；（2）由对立事件的概率可知P（X＝0）＋P（X＝1）＝1. （2）两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）＝0×（1－p）＋1×p＝p. 提醒：（1）均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数；（2）随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动. 5.随机变量的分布列的期望 （1）定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. （2）离散型随机变量的均值的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数（X是随机变量），则Y也是随机变量，且E（aX＋b）＝aE（X）＋b. 6.离散型随机变量的方差 （1）方差定义：设离散型随机变量X的分布列如表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var（X）. （2）标准差：称为随机变量X的标准差，记为σ（X）. 　　提醒：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. （3）方差的性质 设a，b为常数，X为离散型随机变量，则 （1）D（X＋b）＝D（X）； （2）D（aX＋b）＝a2D（X）； （3）若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）； （4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2. 7.n重伯努利 （1）伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. （2）n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. （3）n重伯努利试验的共同特征 （1）同一个伯努利试验重复做n次； （2）各次试验的结果相互独立. 8.二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk（1－p，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p）. 提醒：（1）由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1；（2）两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布. 如果X～B（n，p），那么E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）. 9.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 提醒：超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E（X）＝np. 10.正态分布 （1）正态曲线：若f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线（如图）. （2）正态分布 ①若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2）.当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布； ②若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2. （3）正态曲线的特点 ①非负性：对∀x∈R，f（x）＞0，它的图象在x轴的上方； ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1； ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ④最大值：曲线在x＝μ处达到峰值； ⑤当｜x｜无限增大时，曲线无限接近x轴. （4）正态分布的几何意义：若X～N（μ，σ2），如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积. 服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率： P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 　提醒：（1）尽管随机变量的取值范围是（－∞，＋∞），但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生；（2）在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 条件概率 【例1】（2023·全国甲卷T6）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【变式】已知男性中有患色盲，女性中有患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人，设“任选一人是男人”为事件，“任选一人是女人”为事件“任选一人患色盲”为事件，如果此人患色盲，则此人是男性的概率 . 全概率公式 【例2】在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（   ） A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.9 【变式】已知某公司男员工与女员工人数比为，男员工中有的人有驾照，女员工中有的人有驾照，随机从该公司抽取一名员工，该员工有驾照的概率为 . 离散型随机变量的判断 【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由： （1）某教学资源网站一天内的点击量； （2）某市明年下雨的次数； （3）抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差. 【变式】（多选）下列随机变量中，是离散型随机变量的是（　AB　） A.从5个已编好号码的小球（1号到5号）中任取一个，被取出的小球的号码 B.一个袋子中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数 C.某林场的树木最高可达30 m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度 D.从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定的外径尺寸之差 用随机变量表示事件的结果 【例4】一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数X. （1）写出随机变量X的取值，并说明取值表示的试验结果； （2）若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型. 【变式】（多选）抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是（　　） A.第一枚6点，第二枚2点 B.第一枚5点，第二枚1点 C.第一枚2点，第二枚5点 D.第一枚6点，第二枚1点 离散型随机变量的分布列 【例5】设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（    ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.65 【变式】若离散型随机变量的分布列如下： -2 -1 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 均值与方差的性质 【例6】随机变量的分布列如下表，且，则（    ） 0 2 A．10 B．15 C．40 D．45 【变式】已知随机变量的概率分布列如下表，则 ，若，则 . 2 3 4 离散型随机变量的均值与方差 【例7】（2025·全国一卷T14）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 【变式】小智参加投篮比赛，比赛规则为投中1次得1分，投不中扣1分．已知小智投篮的命中率为0.5，记小智投篮3次后的得分为，则（    ） A．0.375 B．0.75 C．1.5 D．3 n重伯努利试验的概念 【例8】　判断下列试验是不是n重伯努利试验： （1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； （2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； （3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球. 【变式】下列事件是n重伯努利试验的是（　D　） A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 二项分布的概率 【例9】某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A，B，C三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是. （1）求甲被录用的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的分布列. 【变式】已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； （2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率. 二项分布的均值与方差 【例10】一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为　　　　，方差为　　　　. 【变式】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，. （1）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率； （2）在容器的入口处依次放入4个小球，记ζ为落入B袋中的小球的个数，求ζ的分布列、均值和方差. 超几何分布 【例11】某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 【变式】（2025江苏苏州二模）2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行. (1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率； (2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望. 利用正态分布的性质求概率 【例12】随机变量X～N（8，σ2）.若P（7≤X≤9）＝0.4，则P（X＞9）＝（　　） A.0.6　　　　　　　　B.0.5 C.0.4 D.0.3 【变式】已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞5）＝0.2，则P（1＜X＜3）＝（　　） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 正态分布的实际应用 【例13】有一种精密零件，其尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（20，4）.若这批零件共有5 000个，试求： （1）这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； （2）若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 【变式】某校高三学生的数学模考成绩X服从正态分布N（85，102），按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为92分，则他的等级是（　　） A.优秀 B.良好 C.合格 D.基本合格 均值与方差在决策中的应用 【例14】（2021·新高考全国Ⅰ卷T18）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【变式】某投资公司在2020年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 频率分布直方图与概率 【例15】（2022·新高考全国Ⅱ卷T19）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【变式】某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 易错01 对条件概率理解不透彻致错 【例1】小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 . 易错02 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 【例2】已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.3 m n 若，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式】已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 易错03 混淆二项分布与超几何分布而致错 【例3】某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【变式】我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 易错04 对正态分布的性质理解不准确 【例4】小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 【变式】（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 随机变量及其分布 1.条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P（B｜A）＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 提醒：（1）P（B｜A）与P（A｜B）意义不同，由条件概率的定义可知P（B｜A）表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的条件概率；而P（A｜B）表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的条件概率；（2）P（B｜A）与P（AB），P（A）三者互不相同，P（B｜A）是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A与B同时发生的概率，P（A）是事件A的概率，P（B｜A）与P（B）不一定相等. 2.全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）.称为全概率公式. 3.随机变量的分布列 （1）.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量. （2）离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 提醒：随机变量与函数的定义类似：随机试验样本空间Ω中的样本点ω相当于函数定义中的自变量，X（ω）是与ω对应的实数. （3）离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn （4）离散型随机变量分布列的性质 （1）pi≥0，i＝1，2，…，n； （2）p1＋p2＋…＋pn＝1. 　　提醒：（1）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和；（2）离散型随机变量的分布列的性质可以检查所写分布列是否正确. 4.两点分布 （1）定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P（A）＝p，则P（）＝1－p，那么X的分布列如表所示： X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布. 　提醒：两点分布的特点：（1）两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；（2）由对立事件的概率可知P（X＝0）＋P（X＝1）＝1. （2）两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）＝0×（1－p）＋1×p＝p. 提醒：（1）均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数；（2）随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动. 5.随机变量的分布列的期望 （1）定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. （2）离散型随机变量的均值的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数（X是随机变量），则Y也是随机变量，且E（aX＋b）＝aE（X）＋b. 6.离散型随机变量的方差 （1）方差定义：设离散型随机变量X的分布列如表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var（X）. （2）标准差：称为随机变量X的标准差，记为σ（X）. 　　提醒：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. （3）方差的性质 设a，b为常数，X为离散型随机变量，则 （1）D（X＋b）＝D（X）； （2）D（aX＋b）＝a2D（X）； （3）若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）； （4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2. 7.n重伯努利 （1）伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. （2）n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. （3）n重伯努利试验的共同特征 （1）同一个伯努利试验重复做n次； （2）各次试验的结果相互独立. 8.二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk（1－p，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p）. 提醒：（1）由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1；（2）两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布. 如果X～B（n，p），那么E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）. 9.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 提醒：超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E（X）＝np. 10.正态分布 （1）正态曲线：若f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线（如图）. （2）正态分布 ①若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2）.当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布； ②若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2. （3）正态曲线的特点 ①非负性：对∀x∈R，f（x）＞0，它的图象在x轴的上方； ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1； ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ④最大值：曲线在x＝μ处达到峰值； ⑤当｜x｜无限增大时，曲线无限接近x轴. （4）正态分布的几何意义：若X～N（μ，σ2），如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积. 服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率： P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 　提醒：（1）尽管随机变量的取值范围是（－∞，＋∞），但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生；（2）在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 条件概率 【例1】（2023·全国甲卷T6）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【解析】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则，所以，故选. 【变式】已知男性中有患色盲，女性中有患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人，设“任选一人是男人”为事件，“任选一人是女人”为事件“任选一人患色盲”为事件，如果此人患色盲，则此人是男性的概率 . 【答案】 【解】此人患色盲的概率 又，. 全概率公式 【例2】在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（   ） A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【解析】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”，则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率， 解得，即发送信号为的概率为，故选C 【变式】已知某公司男员工与女员工人数比为，男员工中有的人有驾照，女员工中有的人有驾照，随机从该公司抽取一名员工，该员工有驾照的概率为 . 【答案】 【解析】设抽取一名员工为男性为事件，抽取一名员工有驾照为事件， 则，，，， 则， 故从该公司抽取一名员工，该员工有驾照的概率为. 离散型随机变量的判断 【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由： （1）某教学资源网站一天内的点击量； （2）某市明年下雨的次数； （3）抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差. 【解】（1）某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量. （2）某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量. （3）抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量. 【变式】（多选）下列随机变量中，是离散型随机变量的是（　AB　） A.从5个已编好号码的小球（1号到5号）中任取一个，被取出的小球的号码 B.一个袋子中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数 C.某林场的树木最高可达30 m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度 D.从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定的外径尺寸之差 【答案】AB 【解析】选项A、B中的随机变量的取值都是有限个，符合离散型随机变量的定义；C中，所选树木的高度是随机变化的，它可以取（0，30]内的任意一个值，无法一一列出，不是离散型随机变量；对于D，实际测量值与规定值之间的差值是随机变化的，它的可能取值充满了某个区间，无法一一列出，不是离散型随机变量. 用随机变量表示事件的结果 【例4】一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数X. （1）写出随机变量X的取值，并说明取值表示的试验结果； （2）若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型. 【解】（1）X的所有可能的取值为0，1，2，3. “X＝0”表示取出3个黑球； “X＝1”表示取出1个白球2个黑球； “X＝2”表示取出2个白球1个黑球； “X＝3”表示取出3个白球. （2）由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值0，1，2，3， 所以Y对应的各值是6，11，16，21， 故Y的可能取值为6，11，16，21， 显然Y为离散型随机变量. 【变式】（多选）抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是（　　） A.第一枚6点，第二枚2点 B.第一枚5点，第二枚1点 C.第一枚2点，第二枚5点 D.第一枚6点，第二枚1点 【答案】AB　 【解析】因为ξ表示第一枚骰子的点数和第二枚骰子的点数之差，所以满足ξ＝4的可以是：第一枚6点，第二枚2点；第一枚5点，第二枚1点，故选A、B. 离散型随机变量的分布列 【例5】设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（    ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.65 【答案】A 【解析】依题意，，解得， 所以，故选：A 【变式】若离散型随机变量的分布列如下： -2 -1 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由分布列知， ，， 则当时，，所以实数的取值范围是，故选：C 均值与方差的性质 【例6】随机变量的分布列如下表，且，则（    ） 0 2 A．10 B．15 C．40 D．45 【答案】D 【解析】由题意得，得， 所以，解得， 所以， 所以，故选D. 【变式】已知随机变量的概率分布列如下表，则 ，若，则 . 2 3 4 【答案】 3 / 【解析】由随机变量分布列的性质，得， 所以， ， 解得，代入，得. 离散型随机变量的均值与方差 【例7】（2025·全国一卷T14）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 【答案】 【解析】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 【变式】小智参加投篮比赛，比赛规则为投中1次得1分，投不中扣1分．已知小智投篮的命中率为0.5，记小智投篮3次后的得分为，则（    ） A．0.375 B．0.75 C．1.5 D．3 【答案】B 【解析】由题意得：的可能取值是，， ，所以的取值范围是， ，， 分布列为： 1 3 0.75 0.25 故，．故选B. n重伯努利试验的概念 【例8】　判断下列试验是不是n重伯努利试验： （1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； （2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； （3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球. 【解】（1）由于试验的条件不同（质地不同），因此不是n重伯努利试验. （2）某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验. （3）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验. 【变式】下列事件是n重伯努利试验的是（　　） A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 【答案】D 【解析】选项A、C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义，选项B虽然是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不一定相同，因此不是n重伯努利试验，选项D中，甲射击10次，每次击中与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验. 二项分布的概率 【例9】某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A，B，C三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是. （1）求甲被录用的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的分布列. 【解】（1）通过两个项目测试的概率为（ ）2×＝， 通过三个项目测试的概率为（ ）3＝， 则甲被录用的概率为＋＝. （2）因为甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，由（1）可知甲、乙、丙三人每个人被录用的概率都是，所以X～B（ 3，）. 所以P（X＝0）＝（ ）3＝， P（X＝1）＝（ ）1×（ ）2＝， P（X＝2）＝（ ）2×＝， P（X＝3）＝（ ）3＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【变式】已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； （2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率. 【解】（1）由题意得，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，则X～B（ 3，）， 则P（X＝0）＝（ ）0（ 1－）3＝， P（X＝1）＝（ ）1（ 1－）2＝， P（X＝2）＝（ ）2（ 1－）1＝， P（X＝3）＝（ ）3（ 1－）0＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的. 故所求概率p＝（ ）3×（ 1－）3×＝. 二项分布的均值与方差 【例10】一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为　　60　　，方差为　　96　　. 【答案】60 96 【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y＝4X.由题知X～B（25，0.6），所以E（X）＝25×0.6＝15，D（X）＝25×0.6×0.4＝6，E（Y）＝E（4X）＝4E（X）＝60，D（Y）＝D（4X）＝42×D（X）＝16×6＝96.所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 【变式】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，. （1）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率； （2）在容器的入口处依次放入4个小球，记ζ为落入B袋中的小球的个数，求ζ的分布列、均值和方差. 【解】（1）设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”， 则P（M）＝××＋××＝， 所以P（N）＝1－P（M）＝1－＝. （2）易知ζ～B（ 4，）， 则ζ的分布列为 P（ζ＝k）＝（ ）k（ ）4－k（k＝0，1，2，3，4），故P（ζ＝0）＝，P（ζ＝1）＝， P（ζ＝2）＝＝，P（ζ＝3）＝， P（ζ＝4）＝. 故ζ的分布列为 ζ 0 1 2 3 4 P E（ζ）＝4×＝，D（ζ）＝4××＝. 超几何分布 【例11】某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 【解】（1）设事件“至少选到2箱级苹果”， 由题意知选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为， 所以， 故至少选到2箱A级苹果的概率为. （2）因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果， 所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱， 随机变量的所有可能取值为, 则， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 . 【变式】（2025江苏苏州二模）2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行. (1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率； (2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望. 【解】（1）设“汤姆选择中有200米服务”为事件；“汤姆选择中有1500米服务”为事件， 则，， 所以. （2）的值可能为：0，1，2，3. 且，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 利用正态分布的性质求概率 【例12】随机变量X～N（8，σ2）.若P（7≤X≤9）＝0.4，则P（X＞9）＝（　　） A.0.6　　　　　　　　B.0.5 C.0.4 D.0.3 【答案】D 【解析】∵随机变量X～N（8，σ2），P（7≤X≤9）＝0.4，∴P（X＞8）＝0.5，P（8≤X≤9）＝0.2， ∴P（X＞9）＝0.3，故选D. 【变式】已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞5）＝0.2，则P（1＜X＜3）＝（　　） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 【答案】C 【解析】P（1＜X＜3）＝P（3＜X＜5）＝0.5－P（X＞5）＝0.5－0.2＝0.3. 正态分布的实际应用 【例13】有一种精密零件，其尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（20，4）.若这批零件共有5 000个，试求： （1）这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； （2）若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 【解】（1）∵X～N（20，4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， 于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%. （2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%. ∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107（个）. 【变式】某校高三学生的数学模考成绩X服从正态分布N（85，102），按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为92分，则他的等级是（　　） A.优秀 B.良好 C.合格 D.基本合格 【答案】B 【解析】由题得μ＝85，σ＝10，所以μ＋σ＝95，μ－σ＝75，因为P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，所以P（X＞95）≈＝0.158 65≈16%，根据比例成绩大于95分为优秀，因为P（85＜X≤95）≈＝0.341 35≈34%，根据比例成绩在85到95之间的为良好，因为小张的数学成绩为92分，则他的等级是良好.故选B. 均值与方差在决策中的应用 【例14】（2021·新高考全国Ⅰ卷T18）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为 （2）由（1）知，． 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． 【变式】某投资公司在2020年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 【解】由题意知，项目一：到年底可能获利40%，也可能亏损10%， 且这两种情况发生的概率分别为和， 若按“项目一”投资，设获利万元， 的分布列为： 400 -100 （万元）； 而项目二：到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚， 且这三种情况发生的概率分别为，和， 若按“项目二”投资，设获利万元，则的分布列为： 500 -300 0 （万元）； 又， ， ，， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥， 综上所述，该投资公司投资项目一更合理. 频率分布直方图与概率 【例15】（2022·新高考全国Ⅱ卷T19）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【解】（1）平均年龄     （岁）． （2）设“一人患这种疾病的年龄在区间”，所以 ． （3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： , 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为． 【变式】某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 【解】（1）设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于分． 由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为， 所以． （2）B地区评分为的样本用户共有人， 其中评分不低于分的人数为5人． 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则X的数学期望. （3）． 根据频率分布直方图A地区评分的平均值为， B地区评分的平均值为， 所以A，B两地区评分的平均值； 易错01 对条件概率理解不透彻致错 【例1】小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以.故选：D 【变式】已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 . 【答案】 【解析】设事件A为“A准点到站”，时间B为“B准点到站” 依题意，, 而， 而，则， 又，解得， 易错02 求分布列时忽视了概率之和为1而致错 【例2】已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.3 m n 若，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【解析】由分布列的性质，可得，即， 因为，所以，即， 解得，，故选C． 【变式】已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【解析】由题意，解得， 所以． 所以． 故选：D 易错03 混淆二项分布与超几何分布而致错 【例3】某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【解析】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”， 由题意可知，，则， 根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为： . （2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为： ， 因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果， 故各参赛者的闯关成功事件相互独立， 记为名居民中闯关成功的人数，则， 所以数学期望， 方差：. 【变式】我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 【解析】（1）由题设，则，且，， 所以. （2）由题意，可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 则，. 易错04 对正态分布的性质理解不准确 【例4】小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 【答案】A 【解析】由题设，， ．故选：A. 【变式】（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【解析】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以．故选：B． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $