【背记】专题02 高二数学下期末复习二级结论（177条）（考点背记，知识清单）高二年级数学下学期人教A版

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01高二数学下期末复习二级结论（177条) (考点背记) 、数列(66条) .2 1.等差数列（15条)… …2 2.等比数列(10条) …3 3.递推数列求通项（16条) .3 4.数列求和技巧（11条) 4 5.数列单调性（4条)… 6 6.数列放缩(10条)… .6 二、导数(58条) .7 1.切线问题（6条) .7 2.构造函数模式（10条) .7 3.三次函数性质(6条) .8 4.单调性与极值最值(8条) 8 5.恒成立与参数范围(10条) .8 6.极值点偏移(6条)… 9 7.导数与不等式证明（12条)… .9 三、计数原理（21条)… …10 1.排列组合常用模型（12条)… …10 2.二项式定理与系数和(6条) .10 3.三项式展开的组合思想(3条) 11 四、随机变量及其分布(24条)… .11 1.期望与方差性质(5条)… …11 2.常见分布期望方差（6条)… ..12 3.正态分布常用（5条)… 12 4.条件概率与全概率（4条) .12 5.赛制与决策(4条) .12 五、成对数据的统计分析(8条) …13 1.相关与回归(5条)… 13 2.独立性检验(3条) 13 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一、数列(66条) 1.等差数列(15条) 1.S2m-1=(2n-1)am 解释：前奇数项和等于中间项乘以项数例：S,=7a4 2.Sn,S2n-SnmS3m-S2m成等差数列，公差n2d 解释：等长片段和仍成等差，公差是原公差的2倍 3.若Sp=Sg(p≠q),则Sp+g=0 解释：对称和为零例如S3=S5则Sg=0 4.{伊是等差数列，公差 解释：平均数列也是等差，可快速求通项 5.前n项和最值条件 若a1>0,d<0,由an≥0，a+1≤0得最大值位置；若a1<0,d>0,由an≤0，a+1≥0得最小 值位置 6.若ak=0,则S2k-1=0 解释：中间项为零时，前奇数项和为零 7.三数等差设a-d,a,a+d;四数等差设a-3d,a-d,a+d,a+3d 解释：对称设法减少未知数 8.两等差数列前n项和之比三=A+B→==4m-+B Tn Cn+D bn C(2n-1)+D 解释：通项比可通过前n项和比求，注意下标变换 9.Sntm=Sn+Sm+mnd 解释：分段和的关系 10-头-7d 解释：平均项的差与公差的关系 11.下标成等差的项仍成等差，公差为kd 解释：如a2,a5,ag,…下标差3，则这些项成等差，公差3d 12.若{an}等差，则{kan+c}等差，公差kd 13.若{an}等差，则{a+1-an}是常数列d 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.等差数列中，an= 2n-1 解释：由结论1反推 15.Skn kS+n2d 解释：前kn项和与前n项和的关系 2.等比数列（10条) 1.SuS2n-SmS3n-S2m成等比，公比q（q≠-1) 解释：等长片段和成等比若q=-1且n偶，片段和可能为0，不构成等比 2.若Sm=A·q”+B,则A+B=0 解释：由S。=0推得，可快速求公比和首项 3.正项等比数列取对数得等差：{Inan}等差，公差lnq 4.Snim =Sn+qSm 解释：分段和公式 5.=1+gq”(q≠1） 6.三数等比设号0aq:四数等比设导，号q,aq2 解释：对称设法，积为常数 7.下标成等差的项仍成等比，公比qm 解释：如a2,a5,ag,下标差3，公比为q 8.若m+n=p+q,则aman=apag 解释：等比数列的下标和性质 9.若{an}等比，则{a}等比，公比q2 10.若{a}等比，则{等比，公比1/g 3.递推数列求通项(16条) 1.累加法：a+1=a+fa=a1+∑1f. 2.累乘法：a+1=an·f(m)→an=a1ΠIf() 3.an1=p0:+qp≠1)÷构造a1+元=p(a+),元=，品 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.an+1=pa,+qn+T→待定系数：设an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B) 5.a+1=pa,+q”→两边除以q+1化等比 6.ant1=pan+qrn→设an=bnr”，化为bnt1=2bn+q 7.分式递推a1=a→取倒数得上=1.1+9 gan+r an+l p an p 8.分式递推a1=→不动点法：解x=9,得不动点a,B,则=g成等比 ran+s rx+s an-B 9.二阶线性递推a+2=pan+1+qan:特征方程x2=px+q,根a,B,则 ≠B:an=Aan-1+BBn-1 a=B:an=(A+Bn)am-1 10.己知Sn与an关系：用n≥2时a.=Sn-Sm-1消去Sn 11.己知Sn=pan+q→分别取n=1和n≥2可解 12.取对数型：an+1=pa(an>0)→Inan1=mlna+lnp 13.周期数列常见类型： at1=1-二周期3 an+2=a+1-an周期6 01=2周期4 14.一阶线性非齐次通解： n-1 an pm-1a+pm-1-k f(k) k=1 15.己知Sn=nan或类似：通常可得a,为常数列或等差 16.a+1=an+an+b(线性)→累加即得二次函数 4.数列求和技巧(11条) 1.错位相减速算：若cn=(an+b)q1(q≠1)，则Sn=(An+B)q”-B,其中A=二，B=g 2.裂项相消基本公式： 111 n(n+1)nn+1 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1/1 1 (2n-10(2n+1)）2n-12n+1 ini- 1 n1 1 (n+1)1n!(n+1)川 2n+111 n20m+1)27n+1)7 3.裂项相消指数型： 2n 11 (2m+1-1)(2”-1)2n-12n+1-1 an 1 1 (a1-b*)0a”-b两a0-b-a*1-bm(a≠b) a可2） 1 4.裂项相消高阶分式： 1 1/1 1 n(n+1)(m+2)2 (n+1)(n+1)m+2) 1 11 (m+1)vm+nWn+iV元Vn+i 11/11) m2-12n-1n+(n≥2） 5.分组求和：数列为等差+等比时分别求和 6.并项求和：通项含(-1)”，两两合并（如a2k-1+a2k为常数或简单式） 7.倒序相加：适用于ak+a+1-k=常数（如组合数求和) 8.绝对值求和：先找零点分段，再求和 9.周期数列求和：先求周期T和一个周期内和，再整数倍加余项 10.自然数幂和公式： 2k=nn+1) 2 k2=n0n+1)2n+1) 6 5/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.三角数列求和： sin (ko) sin in n 2 sin cos(ke)= sin co 2 sin 5.数列单调性(4条) 1.作差法：a+1-an>0递增，<0递减 2.作商法（正项）：>1递增，<1递减 3.函数法：将a=f(n)视为函数，用导数判断f(x)在[1，+o∞)上的单调性 4.递推法：若a1=f(an)且f单调递增，则单调性由a1与a2比较决定 6.数列放缩(10条) 1.京<n≥2) 3.(片)m≥2) 4.ln(n+1)-lnn<号<lnn-ln(m-1)(m≥2) 5.<n< 6.>2(Nk+1-V网，在<2(Vk-Vk-①(k≥2) 7.糖水不等式：<(a,b,m>0,a<b) 8.伯努利不等式：(1+x)”≥1+x(x>-1,n∈N) 9.ex≥1+x（在数列中常用于e1m≥1+1/n等) 10.ln(1+x)≤x(x>-1) 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、导数(58条) 1.切线问题(6条) 1.过曲线外一点(xo,yo)的切线：设切点(t,f(t),解yo一f(t)=f'(t)(x-t),切点个数即切线条 数 2.公切线：设两切点(x,f(x),(x2,9),则f0x)=g'(x)=)f x2一x1 3.切线放缩： ex≥x+1(取等x=0) ex≥ex(取等x=1) lnx≤x-1(取等x=1) ln(1+x)≤x(x>-1) hx21-a>0) 1 sinx≤x(x≥o) cosx≥1-7 4.切线法证明不等式：若曲线在切线一侧，则曲线上的点恒大于等于切线值 5.过一点可作三条切线（三次函数）：当点位于对称中心两侧且不在曲线上时 6.函数f()=在x=e处取最大值，常用于比较对数值 2.构造函数模式(10条) 1.f'()+fx)>0→构造h()=efx),则h()=e*(f'(x)+f(x)>0 2.f'(x)-f(x)>0→构造h(x)=e-xf(x) 3.f'(x)+af(x)>0→构造h(x)=erf(x) 4.xf'(x)+f(x)>0→构造h(x)=xf(x) 5.xf'()-f)>0→构造h()=f四(cx>0) 6.f'(x)sinx+f(x)cosx>0→构造h(x)=f(x)sinx 7.f'(x)cosx-f(x)sinx>0→构造h(x)=f(x)cosx 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.f'(x)>g(x)→构造h(x)=f(x)-g(x) 9.f“(0>0→fy是四函数（下凸），有f()≤因r@ 10.构造的本质：使h'(x)恰好包含已知不等式左边 3.三次函数性质(6条) 1.对称中心（拐点）：f)=a+bx2+cx+d的对称中心为（品，f（) 2.若对称中心为(m,n),则f(m+x)+f(m-x)=2n 3.极值点：f)=0的两根x,为：则名+名=器x=品 4.三个不同零点÷f(x1)·f(x2)<0 5.过对称中心的切线有且只有一条 6.极值点关于对称中心对称 4.单调性与极值最值(8条) 1.单调区间分界点为f'(x)=0或f(x)不存在的点 2.极值第一充分条件：左正右负为极大，左负右正为极小 3.极值第二充分条件：f(xo)=0,f"(xo)>0极小；f"(xo)<0极大；f"(x)=0无法判断 4.闭区间最值：比较极值和端点函数值 5.开区间或无穷区间最值：需考虑极限（如x→士∞或x→a) 6.凹凸性：f"(x)>0为凹（下凸），f"(x)<0为凸（上凸），拐点为f"x)=0且两侧异号 7.若f'(x)在区间内不变号，则f(x)单调 8.导数的零点个数与极值点个数的关系：极值点必是导数的零点，反之不一定 5.恒成立与参数范围（10条) 1.分离参数：a≥g(x)恒成立→a≥gmx;a≤g(x)→a≤gmin 2.端点效应（一阶）：若f(a=0且f(x)≥0在[a,b]恒成立，则f(a)≥0（必要条件） 3.端点效应（二阶）：若f(a)=0,f'(a)=0,则需f"(a)≥0，依此类推 4.隐零点处理：设f(x)=0但无法解出，利用x。满足的方程（如eo=.)代入f(x)化为代数 式，再结合x,范围放缩 8/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.存在性问题：存在x使f(x)≥a÷fmax≥a;存在x使f(x)≤a÷fmin≤a 6.任意与存在混合（常见)： Vx13x2,f(x1)≤g(x2)÷fmax≤gmax x1x2,f(x1)≤g(x2)÷fmax≤gmin 3x1x2,f(x1)≤g(x2)÷fmin≤gmin 7.利用切线求参数：若直线是曲线的切线，且不等式恒成立，则参数由切线决定 8.恒成立中的整数参数：先分离得a≥g(x),求g(x)的取值范围，再取整 9.必要性探路：取特殊值得到参数的必要范围，再证明充分性 10.分离函数：将不等式化为f(x)≥g(x),分别求最值 6.极值点偏移(6条) 1.对称化构造：己知f(x1)=f(x2),极值点xo,要证x1+x2>2x。,构造F(x)=f(x)-f(2x-x), 研究F(x)的符号 2.对数平均不等式：V而<<尝a,b>0,a≠创，用于极值点偏移 3.比值代换：设=t>1,将条件转化为关于t的不等式 4.差值代换：设x2-x1=t>0 5.常见极值点偏移模型：f()=xInx,f()=,f(x)=e*/x等 6.利用对数平均不等式可直接证明x1+x2>2等 7.导数与不等式证明（12条) 1.构造函数求最值：证f(x)≥g(x)→令h(x)=f(x)-g(x),证hmin≥0 2.利用切线放缩：直接使用ex≥x+1等 3.利用凹凸性：凹函数有f()≤@@ 4,琴生不等式：凹函数有≤f(色) 5.同构法：将不等式变形为f(g(x)≥fh(x),利用f的单调性转化为g(x)≥h(x) 6.指对跨阶处理：ex≥x+1与Inx≤x-1可互推 7.凹凸反转：证f(x)>0可化为f1(x)>f2(x),分别研究凹凸性 9/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.放缩法：将复杂函数放大或缩小为易求最值的函数 9.虚设零点：设f(x)=0不解出，利用关系消去超越项 10.分离函数法：化为f(x)≥g(x),分别求最值 11.双变量不等式化为单变量：常令t=x2/x1或t=x2-x1 12.主元法：将其中一个变量视为主元，另一个为参数 三、计数原理（21条) 1.排列组合常用模型（12条) 1.相邻问题（捆绑法）：(n-m+1)！·m!。 用途：处理必须站在一起的问题。 2.不相邻问题（插空法）：先排其余n-m个，产生n-m+1个空，插入m个→A-m·A”m*1。 用途：处理不能相邻的问题。 3.定序问题：n个元素中m个顺序固定→。 m! 用途：如所有男生按身高排列。 4。重复元素全排列：则 nn2. 用途：处理相同元素的排列。 5.平均分组（组无标签）：c堡mc k! 用途：将元素平均分成若干组（无组名)。 6.部分平均分组：先选平均组，除以相应组数阶乘，其余直接选。 7.隔板法（正整数解)：x1+…+xk=n→C二1。 用途：方程的正整数解个数。 8.隔板法（非负整数解）：Ck-1。 用途：方程的非负整数解个数。 9.圆排列：(n-1)。 用途：围成一圈的排列数。 10.错位排列：D1-0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44,递推Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)。 用途：全错排问题，如信封装错。 11.分配问题： 球不同，盒不同，允许空：k” 球相同，盒不同，不允许空：C 球相同，盒不同，允许空：C+- 2.二项式定理与系数和(6条) 1.通项：Tk41=C$an-kb。 用途：求指定项系数。 2.二项式系数最值：n偶时C2最大：n奇时C-)n=Cn最大。 10/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.二项式系数和：∑C=2”:奇数项二项式系数和=偶数项=2n-1。 4.各项系数和（赋值法)： 对于(1+x)”:令x=1,系数和=2” 对于(a+bx)”:令x=1,系数和=(a+b)” 对于(a+bx+cx2)”:令x=1,系数和=(a+b+c)” 5.奇数项与偶数项系数和： 对于(1+x)”:奇数项系数和=偶数项系数和=2-1 对于(a+bx)”: 奇数项系数和=(a+b)”+(a-b)” 2 偶数项系数和=a+b)”-(a-b)” 2 (注：奇数项指x,x2,x4,.的系数，偶数项指x2,x,,.的系数) 6.常用赋值技巧： 求a0+a1+…+an:令x=1 求a0-a1+a2-…:令x=-1 求a+a2+a4+:f0f- 2 求a1+a3+a5+:f)-f- 2 3.三项式展开的组合思想(3条) 1.多项式系数公式：(a+b+c)”展开式中aPb9c(p+q+r=n)的系数为！ p!q!9 用途：直接求三项式特定项系数。 2.组合解释：系数等于从n个位置中选p个放a,再从剩余n-p个中选q个放b,剩下 放c,即CC%-p° 用途：理解多项式系数的组合意义。 3.三项式系数和：令a=b=c=1,得3”。 用途：求展开式各项系数和。 三项式示例：(1+x+x2)5展开式中x3的系数 解：设从5个括号中选a个1、b个x、c个x2,则a+b+c=5,b+2c=3。 非负整数解：(c=0,b=3,a=2):(c=1,b=1,a=3)。 对应系数：品+品=10+20=30 四、随机变量及其分布（24条) 1.期望与方差性质（5条) 1.E(ax+b)=aE(X)+b,D(ax+b)=a2D(X). 2.E(X+Y)=E(X)+E()(无需独立)。 11/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.若X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y),D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 4.D(X)=E(X2)-[E(X)]2。 用途：快速计算方差。 5.对任意常数c,D(X)≤E[(X-c)],等号当c=E(X)。 2.常见分布期望方差(6条) 1.两点分布：E=卫，D=p(1-p)。 2.二项分布B(m,p):E=p,D=p(1-p)。 3.超几何分布HW,M,小：E=n兴D=n(1-)· 4.几何分布（首次成功次数）：P(CX=)=p(1-p)-1,B=D=号. 5.泊松分布P():E=,D=1,用于二项近似(n大p小)。 6.正态分布N(4,o2):E=4,D=σ2。 3.正态分布常用(5条) 1.标准化：Z=~N0,1),PX≤x)=中(）。 2.Φ(-a)=1-(a)。 3.P(u-a<X<u+a)=2中 (9-1。 4.30原则： P(u-0<X<u+0)≈0.6827 P(u-20<X<u+2o)≈0.9545 P(-30<X<u+3)≈0.9973 用途：估算数据落在某区间的概率。 5.二项分布的正态近似：当np≥5且n(1-p)≥5时，B(n,p)≈N(np,np(1-p)。 4.条件概率与全概率（4条) 1.P(B1A)=P4@ P(A) 2.乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)。 3.全概率公式：设A1,,An完备，则P(B)=∑P(A)P(B|A)。 4贝叶斯公式：P4)器器 用途：已知结果反推原因。 5.赛制与决策(4条) 1.B03(三局两胜)：甲胜率p,则甲获胜概率=p2+2p2(1-p)=p2(3-2p)。 用途：体育比赛概率计算。 2.B05(五局三胜)：甲获胜概率=。 12/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P+3pa-p0+6n-p-∑cP1-p i=0 3.淘汰赛（单败）：若每轮胜率恒定p,人数2，则夺冠概率=p。 4.最大期望收益决策：比较各方案的期望收益，选择最大者。 用途：概率统计中的决策问题。 五、成对数据的统计分析（8条) 1.相关与回归(5条) 1.相关系数r=-6-》,r川≤1，r>0正相关，T<0负相关，rl越接近1线性越强。 (x-26y-2 2.回归直线必过样本中心（亿，）。 3.残差e:=y-,满足∑e1=0,∑xe=0。 4。决定系数2=1-器在一元线性回归中R=, 5.方的快捷公式：b=-n。 Exp-n2 2.独立性检验(3条) 12x2列联表：=a四e5 2.临界值：X6.5(1)=3.841,X6.01(1)=6.635。 3.判断规则：x2≥3.841则认为有关联。 13/13 专题01 高二数学下期末复习二级结论（177条） （考点背记） 一、数列（66条） 2 1. 等差数列（15条） 2 2. 等比数列（10条） 3 3. 递推数列求通项（16条） 3 4. 数列求和技巧（11条） 4 5. 数列单调性（4条） 6 6. 数列放缩（10条） 6 二、导数（58条） 7 1. 切线问题（6条） 7 2. 构造函数模式（10条） 7 3. 三次函数性质（6条） 8 4. 单调性与极值最值（8条） 8 5. 恒成立与参数范围（10条） 8 6. 极值点偏移（6条） 9 7. 导数与不等式证明（12条） 9 三、计数原理（21条） 10 1. 排列组合常用模型（12条） 10 2. 二项式定理与系数和（6条） 10 3. 三项式展开的组合思想（3条） 11 四、随机变量及其分布（24条） 11 1. 期望与方差性质（5条） 11 2. 常见分布期望方差（6条） 12 3. 正态分布常用（5条） 12 4. 条件概率与全概率（4条） 12 5. 赛制与决策（4条） 12 五、成对数据的统计分析（8条） 13 1. 相关与回归（5条） 13 2. 独立性检验（3条） 13 一、数列（66条） 1. 等差数列（15条） 1. 解释：前奇数项和等于中间项乘以项数例： 1. 成等差数列，公差 解释：等长片段和仍成等差，公差是原公差的 倍 1. 若 ，则 解释：对称和为零例如 则 1. 是等差数列，公差 解释：平均数列也是等差，可快速求通项 1. 前n项和最值条件 · 若 ，由 得最大值位置；若 ，由 得最小值位置 1. 若 ，则 解释：中间项为零时，前奇数项和为零 1. 三数等差设 ；四数等差设 解释：对称设法减少未知数 1. 两等差数列前n项和之比 ⇒ 解释：通项比可通过前n项和比求，注意下标变换 1. 解释：分段和的关系 1. 解释：平均项的差与公差的关系 1. 下标成等差的项仍成等差，公差为 解释：如 下标差3，则这些项成等差，公差 1. 若 等差，则 等差，公差 1. 若 等差，则 是常数列 1. 等差数列中， 解释：由结论1反推 1. 解释：前kn项和与前n项和的关系 2. 等比数列（10条） 1. 成等比，公比 （） · 解释：等长片段和成等比若 且 偶，片段和可能为0，不构成等比 1. 若 ，则 解释：由 推得，可快速求公比和首项 1. 正项等比数列取对数得等差： 等差，公差 1. 解释：分段和公式 1. （） 1. 三数等比设 ；四数等比设 解释：对称设法，积为常数 1. 下标成等差的项仍成等比，公比 解释：如 ，下标差3，公比为 1. 若 ，则 解释：等比数列的下标和性质 1. 若 等比，则 等比，公比 1. 若 等比，则 等比，公比 3. 递推数列求通项（16条） 1. 累加法： 1. 累乘法： ⇒ 1. （） ⇒ 构造 ， 1. ⇒ 待定系数：设 1. ⇒ 两边除以 化等比 1. ⇒ 设 ，化为 1. 分式递推 ⇒ 取倒数得 1. 分式递推 ⇒ 不动点法：解 ，得不动点 ，则 成等比 1. 二阶线性递推 ：特征方程 ，根 ，则 ： ： 1. 已知 与 关系：用 时 消去 1. 已知 ⇒ 分别取 和 可解 1. 取对数型： ⇒ 1. 周期数列常见类型： 周期3 周期6 周期4 1. 一阶线性非齐次通解： 1. 已知 或类似：通常可得 为常数列或等差 1. （线性）⇒ 累加即得二次函数 4. 数列求和技巧（11条） 1. 错位相减速算：若 （），则 ，其中 1. 裂项相消基本公式： 1. 裂项相消指数型： 1. 裂项相消高阶分式： 1. 分组求和：数列为等差+等比时分别求和 1. 并项求和：通项含 ，两两合并（如 为常数或简单式） 1. 倒序相加：适用于 常数（如组合数求和） 1. 绝对值求和：先找零点分段，再求和 1. 周期数列求和：先求周期 和一个周期内和，再整数倍加余项 1. 自然数幂和公式： 1. 三角数列求和： - 5. 数列单调性（4条） 1. 作差法： 递增，<0 递减 1. 作商法（正项）： 递增，<1 递减 1. 函数法：将 视为函数，用导数判断 在 上的单调性 1. 递推法：若 且 单调递增，则单调性由 与 比较决定 6. 数列放缩（10条） 1. 1. 1. 1. 1. 1. ， 1. 糖水不等式： 1. 伯努利不等式： 1. （在数列中常用于 等） 1. 二、导数（58条） 1. 切线问题（6条） 1. 过曲线外一点 的切线：设切点 ，解 ，切点个数即切线条数 1. 公切线：设两切点 ，则 1. 切线放缩： （取等 ） （取等 ） （取等 ） 1. 切线法证明不等式：若曲线在切线一侧，则曲线上的点恒大于等于切线值 1. 过一点可作三条切线（三次函数）：当点位于对称中心两侧且不在曲线上时 1. 函数 在 处取最大值，常用于比较对数值 2. 构造函数模式（10条） 1. ⇒ 构造 ，则 1. ⇒ 构造 1. ⇒ 构造 1. ⇒ 构造 1. ⇒ 构造 1. ⇒ 构造 1. ⇒ 构造 1. ⇒ 构造 1. ⇒ 是凹函数（下凸），有 1. 构造的本质：使 恰好包含已知不等式左边 3. 三次函数性质（6条） 1. 对称中心（拐点）： 的对称中心为 1. 若对称中心为 ，则 1. 极值点： 的两根 ，则 1. 三个不同零点 ⇔ 1. 过对称中心的切线有且只有一条 1. 极值点关于对称中心对称 4. 单调性与极值最值（8条） 1. 单调区间分界点为 或 不存在的点 1. 极值第一充分条件：左正右负为极大，左负右正为极小 1. 极值第二充分条件： 极小； 极大； 无法判断 1. 闭区间最值：比较极值和端点函数值 1. 开区间或无穷区间最值：需考虑极限（如 或 ） 1. 凹凸性： 为凹（下凸）， 为凸（上凸），拐点为 且两侧异号 1. 若 在区间内不变号，则 单调 1. 导数的零点个数与极值点个数的关系：极值点必是导数的零点，反之不一定 5. 恒成立与参数范围（10条） 1. 分离参数： 恒成立 ⇒ ； ⇒ 1. 端点效应（一阶）：若 且 在 恒成立，则 （必要条件） 1. 端点效应（二阶）：若 ，则需 ，依此类推 1. 隐零点处理：设 但无法解出，利用 满足的方程（如 ）代入 化为代数式，再结合 范围放缩 1. 存在性问题：存在 使 ⇔ ；存在 使 ⇔ 1. 任意与存在混合（常见）： ⇔ ⇔ ⇔ 1. 利用切线求参数：若直线是曲线的切线，且不等式恒成立，则参数由切线决定 1. 恒成立中的整数参数：先分离得 ，求 的取值范围，再取整 1. 必要性探路：取特殊值得到参数的必要范围，再证明充分性 1. 分离函数：将不等式化为 ，分别求最值 6. 极值点偏移（6条） 1. 对称化构造：已知 ，极值点 ，要证 ，构造 ，研究 的符号 1. 对数平均不等式：，用于极值点偏移 1. 比值代换：设 ，将条件转化为关于 的不等式 1. 差值代换：设 1. 常见极值点偏移模型： 等 1. 利用对数平均不等式可直接证明 等 7. 导数与不等式证明（12条） 1. 构造函数求最值：证 ⇒ 令 ，证 1. 利用切线放缩：直接使用 等 1. 利用凹凸性：凹函数有 1. 琴生不等式：凹函数有 1. 同构法：将不等式变形为 ，利用 的单调性转化为 1. 指对跨阶处理： 与 可互推 1. 凹凸反转：证 可化为 ，分别研究凹凸性 1. 放缩法：将复杂函数放大或缩小为易求最值的函数 1. 虚设零点：设 不解出，利用关系消去超越项 1. 分离函数法：化为 ，分别求最值 1. 双变量不等式化为单变量：常令 或 1. 主元法：将其中一个变量视为主元，另一个为参数 三、计数原理（21条） 1. 排列组合常用模型（12条） 1. 相邻问题（捆绑法）：。 用途：处理必须站在一起的问题。 2. 不相邻问题（插空法）：先排其余 个，产生 个空，插入 个 ⇒ 。 用途：处理不能相邻的问题。 3. 定序问题： 个元素中 个顺序固定 ⇒ 。 用途：如所有男生按身高排列。 4. 重复元素全排列：。 用途：处理相同元素的排列。 5. 平均分组（组无标签）：。 用途：将元素平均分成若干组（无组名）。 6. 部分平均分组：先选平均组，除以相应组数阶乘，其余直接选。 7. 隔板法（正整数解）： ⇒ 。 用途：方程的正整数解个数。 8. 隔板法（非负整数解）：。 用途：方程的非负整数解个数。 9. 圆排列：。 用途：围成一圈的排列数。 10. 错位排列：，递推 。 用途：全错排问题，如信封装错。 11. 分配问题： 球不同，盒不同，允许空： 球相同，盒不同，不允许空： 球相同，盒不同，允许空： 2. 二项式定理与系数和（6条） 1. 通项：。 用途：求指定项系数。 2. 二项式系数最值： 偶时 最大； 奇时 最大。 3. 二项式系数和：；奇数项二项式系数和 = 偶数项 = 。 4. 各项系数和（赋值法）： 对于 ：令 ，系数和 = 对于 ：令 ，系数和 = 对于 ：令 ，系数和 = 5. 奇数项与偶数项系数和： 对于 ：奇数项系数和 = 偶数项系数和 = 对于 ： （注：奇数项指 的系数，偶数项指 的系数） 6. 常用赋值技巧： 求 ：令 求 ：令 求 ： 求 ： 3. 三项式展开的组合思想（3条） 1. 多项式系数公式： 展开式中 （）的系数为 。 用途：直接求三项式特定项系数。 1. 组合解释：系数 等于从 个位置中选 个放 ，再从剩余 个中选 个放 ，剩下放 ，即 。 用途：理解多项式系数的组合意义。 1. 三项式系数和：令 ，得 。 用途：求展开式各项系数和。 三项式示例： 展开式中 的系数 解：设从5个括号中选 个1、 个 、 个 ，则 。 非负整数解：；。 对应系数：。 四、随机变量及其分布（24条） 1. 期望与方差性质（5条） 1. ，。 1. （无需独立）。 1. 若 独立，则 ，。 1. 。 用途：快速计算方差。 1. 对任意常数 ，，等号当 。 2. 常见分布期望方差（6条） 1. 两点分布：。 1. 二项分布 ：。 1. 超几何分布 ：。 1. 几何分布（首次成功次数）：。 1. 泊松分布 ：，用于二项近似（大小）。 1. 正态分布 ：。 3. 正态分布常用（5条） 1. 标准化：，。 1. 。 1. 。 1. 3σ原则： 用途：估算数据落在某区间的概率。 1. 二项分布的正态近似：当 且 时，。 4. 条件概率与全概率（4条） 1. 。 1. 乘法公式：。 1. 全概率公式：设 完备，则 。 1. 贝叶斯公式：。 用途：已知结果反推原因。 5. 赛制与决策（4条） 1. BO3（三局两胜）：甲胜率 ，则甲获胜概率 = 。 用途：体育比赛概率计算。 1. BO5（五局三胜）：甲获胜概率 =。 1. 淘汰赛（单败）：若每轮胜率恒定 ，人数 ，则夺冠概率 = 。 1. 最大期望收益决策：比较各方案的期望收益，选择最大者。 用途：概率统计中的决策问题。 五、成对数据的统计分析（8条） 1. 相关与回归（5条） 1. 相关系数 ，，正相关，负相关，越接近1线性越强。 1. 回归直线必过样本中心 。 1. 残差 ，满足 ，。 1. 决定系数 ，在一元线性回归中 。 1. 的快捷公式：。 2. 独立性检验（3条） 1. 列联表：。 1. 临界值：，。 1. 判断规则： 则认为有关联。 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $