7.3　直线、平面平行的判定与性质课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线、平面平行的判定与性质”核心考点，依据高考评价体系梳理了线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，明确了判定定理应用、性质定理转化、命题真假判断三大考查方向，归纳了证明题、位置关系判断题等常考题型，体现高考备考的针对性与系统性。 课件亮点在于“知识清单+例题精讲+跟踪训练”的分层设计，如通过构造中位线、平行四边形突破线面平行证明（例2长方体中EF∥平面ADD₁A₁），结合高考模拟题（2026衡水、眉山模拟）培养空间观念和逻辑思维，学霸笔记总结易错点（如忽略线在面外），帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准复习，提升学生高考冲刺效率。

第三节　直线、平面平行的判定与性质 1 知识清单 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． 返回导航 2 (2)直线与平面平行的判定定理与性质定理 此平面内 a⊄α b⊂α a∥b 相交 a∥α a⊂β α∩β＝b 返回导航 3 剖析　(1)证明线面平行常用的方法是证明这条直线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内． (2)辅助线(面)是解(证)线面平行的关键，为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)． 返回导航 4 2．平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面． 返回导航 5 (2)平面与平面平行的判定定理与性质定理 相交直线 a⊂β b⊂β a∩b＝P a∥α b∥α 相交 交线 α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b 返回导航 6 剖析　(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行． 返回导航 7 【常用结论】 1．平行间的三种转化关系 2．平行问题中的唯一性 (1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条． (2)过平面外一点，与该平面平行的平面有且只有一个． 返回导航 8 3．(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (3)同一条直线与两个平行平面所成角相等． 返回导航 9 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　) (2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　) (3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　) (4)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.(　　) × × √ × 返回导航 10 2．(人教A版必修二P143T1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　) A．α内所有的直线都与a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内所有的直线都与a相交 D．直线a与平面α有公共点 答案：D 解析：因为直线a与平面α不平行，所以直线a在平面内，或者直线a与α相交，所以直线a与平面α至少有一个公共点． 返回导航 11 3．(人教A版必修二P143T1(2))如果直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线(　　) A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，且不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 答案：C 解析：根据直线与平面平行的性质定理可知该直线为点P和直线a所确定的平面与平面α的交线，故该直线在平面α内有且只有一条． 返回导航 12 4．(人教A版必修二P143T2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则α与β的位置关系是________． 答案：平行或相交 解析：若α∥β，可以保证存在直线a⊂α，直线b⊂β，c⊂β，且a∥b∥c，若α与β相交，交线为l，则也能保证存在直线a⊂α，直线b⊂β，c⊂β，且a∥b∥c. 返回导航 13 命题点一　与线、面平行相关命题的判定 例1 已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列结论正确的是(　　) A．若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β B．若l∥α，l∥β，则α∥β C．若l∥m，m⊂α，则l∥α D．若α∥β，β∥γ，则α∥γ 答案：D 返回导航 14 解析：对于A，若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α，β平行或相交，A错误；对于B，若l∥α，l∥β，则α，β平行或相交，B错误；对于C，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，C错误；对于D，若α∥β，β∥γ，则α∥γ，D正确．故选D. 返回导航 15 学霸笔记： (1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． 返回导航 16 跟踪训练　已知直线a和平面α，若a∥α，则下列说法正确的是(　　) A．若b⊂α，则b∥a B．若α∥β，则a∥β C．若b∥α，则b∥a D．若a∥b，b⊄α，则b∥α 答案：D 返回导航 17 解析：对于A，a∥α，b⊂α，则b，a平行或异面，A错误；对于B，a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，B错误；对于C，a∥α，b∥α，则b，a可能平行、相交、异面，C错误；对于D，a∥α，则平面α中必存在一条直线l∥a，而a∥b，则l∥b，b⊄α，l⊂α，故b∥α，D正确．故选D. 返回导航 18 命题点二　直线与平面平行的判定与性质 考向1　直线与平面平行的判定 例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，该长方体的高为4，E为线段AB的中点，F为线段CA1的中点． 求证：EF∥平面ADD1A1. 返回导航 19 证明：取A1D的中点N，连接NF，AN，因为F为线段CA1的中点，所以NF为△A1DC的中位线，故NF∥CD，且NF＝CD， 又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD且AB＝CD， 又E为线段AB的中点， 所以AE∥CD且AE＝CD， 所以NF∥AE且NF＝AE， 故四边形AEFN为平行四边形，所以AN∥EF， 又AN⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1. 返回导航 20 学霸笔记：(1)利用线面平行的判定定理．解题的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行及面面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行． (2)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 返回导航 21 跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P143T5)如图，在四面体D-ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证： (1)BD∥平面EFG； (2)AC∥平面EFG. 返回导航 22 证明：(1)∵F，G分别是BC，CD的中点， ∴FG是△BCD的中位线，∴FG∥BD， ∵BD⊄平面EFG，FG⊂平面EFG， ∴BD∥平面EFG. (2)∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC， ∵AC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG， ∴AC∥平面EFG. 返回导航 23 考向2　直线与平面平行的性质 例3如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PA＝，AD＝1.若四边形ABCD是以AD为上底的梯形，线段PC的中点M满足DM∥平面PAB，求BC的长． 返回导航 24 答案：取PB的中点E，连接AE，EM，因为E，M分别为PB，PC的中点，所以ME∥BC，ME＝BC，由于ABCD为梯形，且AD∥BC，所以ME∥AD，即ADME四点共面； 因为DM∥平面PAB，DM⊂平面ADME， 平面ADME∩平面PAB＝AE，所以AE∥DM； 又ME∥BC，所以四边形ADME是平行四边形， 有ME＝AD，所以AD＝BC，则BC＝2. 返回导航 25 学霸笔记：证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行，在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行． 判断线段比例或点所在位置或是求线段长度，通过线面平行结合题意构造线线平行，从而找到相似比． 返回导航 26 跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P138例3)如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′C′. (1)要经过平面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ (2)所画的线与平面AC是什么位置关系？ 返回导航 27 答案：(1)如图所示，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，D′C′于点E，F，连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线． 理由是由于BC∥平面A′C′， BC⊂平面BCC′B′， 平面BCC′B′∩平面A′C′＝B′C′， 所以BC∥B′C′.由于EF∥B′C′，所以EF∥BC， 所以B，C，F，E四点共面． (2)由(1)知，EF∥BC，而BC⊂平面AC，EF⊄平面AC， 所以EF∥平面AC.显然，BE，CF都与平面AC相交． 返回导航 28 命题点三　平面与平面平行的判定与性质 例4 如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF. (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点． 返回导航 29 证明：(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点， ∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G， ∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点， ∴A1F＝BG，又A1F∥BG， ∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G， ∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G， ∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF. ∴平面A1C1G∥平面BEF. 返回导航 30 (2)∵平面ABC∥平面， 平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1， 平面A1C1G与平面ABC有公共点G， 又平面A1C1G∩BC＝H，GH⊂平面ABC， ∴A1C1∥GH，得GH∥AC， ∵G为AB的中点，∴H为BC的中点． 返回导航 31 学霸笔记：(1)证明面面平行的三种常用方法： ①利用面面平行的判定定理； ②利用垂直于同一条直线的两个平面平行； ③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． (2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线． 返回导航 32 跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P145T13)如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F，求证：. 返回导航 33 证明：如图，连接AF交β于点M， 连接MB，CF，ME，AD. 因为β∥γ，β∩平面ACF＝BM， γ∩平面ACF＝CF， 所以BM∥CF，所以. 同理ME∥AD，且， 所以. 返回导航 34 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1．(2026·衡水模拟)已知直线a，b，平面α，且b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 解析：由b⊂α，a∥b，可得a∥α或a⊂α，所以“a∥b”不是“a∥α”的充分条件，由b⊂α，a∥α，可得a∥b或a与b是异面直线，所以“a∥b”不是“a∥α”的必要条件，所以“a∥b”是“a∥α”的既不充分也不必要条件．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 2．设α，β为两个不同的平面，则下列条件不能推出α∥β的是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有一个三角形的三条边均与β平行 C．α，β垂直于同一条直线 D．α，β平行于同一个平面 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 解析：若α内有无数条平行直线与β平行，则α，β可能平行或相交，故A符合题意；若α内有一个△ABC的三条边均与β平行，AB∥β，BC∥β，AC∥β，又AB∩BC＝B，AB，BC⊂α，由面面平行的判断定理可得α∥β，故B不符合题意；若α，β垂直于同一条直线，由线面垂直的性质可得α∥β，故C不符合题意；若α，β平行于同一个平面，由面面平行的性质可得α∥β，故D不符合题意．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 3．(2026·眉山模拟)已知两条直线a，b，若a∥平面α，b∥a，则b与平面α的位置关系是(　　) A．b⊂平面α B．b⊥平面α或b⊂平面α C．b∥平面α D．b∥平面α或b⊂平面α 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 解析：如图所示，因为a∥平面α，所以存在直线c⊂平面α，使得a∥c，因为b∥a，所以b∥c或b与c重合，此时b⊂平面α或b⊄平面α，当b⊄平面α时，因为c⊂平面α且b∥c，所以b∥平面α.综上，b∥平面α或b⊂平面α.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 4．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，直线l∥α，则(　　) A．a∥c，b∥c⇒a∥b B．a∥β，b∥β⇒a∥b C．a∥c，c∥α⇒a∥α D．a∥l⇒a∥α 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：a，b，c是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，直线l∥α，对于A，a∥c，b∥c⇒a∥b，由平行公理得A正确；对于B，a∥β，b∥β⇒a与b相交、平行或异面，故B错误；对于C，a∥c，c∥α⇒a∥α或a⊂α，故C错误；对于D，a∥l⇒a∥α或a⊂α，故D错误．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面(非平面ABB1A1)与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC， 而平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，则DE∥A1B1，在平行四边形ABB1A1中，AB∥A1B1， 所以DE∥AB.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 6．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，D′C′的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 解析：连接AC交BD于点E，连接MN，EN，A′C′，而M，N分别是A′D′，D′C′的中点，所以MN∥A′C′∥AC，即MN∥AE，且2MN＝A′C′＝AC＝2AE，即MN＝AE，则AENM为平行四边形，故AM∥EN，由AM⊄平面BND，EN⊂平面BND，则AM∥平面BND.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，H，K分别为AC1，CB1，A1B，B1C1的中点，G为△ABC的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是(　　) A．平面EFB1 B．平面EFH C．平面EFK D．平面EFG 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 解析：如图①，平面EFB1即平面A1CB1，只有1条棱AB与其平行，故A错误；如图②，对于平面EFH，有6条棱与其平行，它们分别为AB，BC，CA，A1B1，B1C1，C1A1，故B错误； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 如图③，对于平面EFK，有5条棱与其平行，它们分别为AB，A1B1，AA1，BB1，CC1，故C错误；如图④，平面EFG可由平面EFK绕直线EF旋转得到，有2条棱AB，A1B1与其平行，其余各棱均与其相交，故D正确．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 8．(2026·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AA1，C1D1上的动点(可与端点重合)，若PQ∥平面AB1C，则线段PQ的长度为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 解析：如图在ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∥AC，又AC⊂平面AB1C，A1C1⊄平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，因为点P，Q分别为棱AA1，C1D1上的动点(可与端点重合)，PQ∥平面AB1C，所以PQ即为A1C1，因此|PQ|＝.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 9．已知直线l，m，平面α，β，则下列说法错误的是(　　) A．m∥l，l∥α，则m∥α B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，则α∥β C．l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M，则α∥β 答案：ABC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 解析：对于A，m可能在α内，也可能与α平行，故A错误；对于B，α与β也可能相交，故B错误；对于C，α与β也可能相交，故C错误；对于D，依据面面平行的判定定理可知α∥β，故D正确．故选ABC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 10． (2026·内江模拟)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，O是AC的中点，M是线段PB上的点，OM∥平面PDA，则下列说法正确的是(　　) A．PM∶PB＝1∶2 B．OM∥平面PCD C．OM∥平面PBA D．OM∥平面PAC 答案：AB 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 解析：对于A，∵OM∥平面PDA，平面PDA∩平面PBD＝PD，OM⊂平面PBD，∴OM∥PD，∵四边形ABCD为矩形，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∴M为PB的中点，即PM∶PB＝1∶2，A正确；对于B，∵OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，OM∥PD，∴OM∥平面PCD，B正确；对于C，假设OM∥平面PBA，∵OM∥PD，则PD∥平面PBA或PD⊂平面PBA，∵P∈平面PBA，D∉平面PBA，∴PD⊄平面PBA且PD与平面PBA不平行，故假设错误，即OM不平行于平面PBA，C错误；对于D，∵O是AC的中点，AC⊂平面PAC，则点O∈平面PAC，故OM∥平面PAC不成立，故D错误．故选AB. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 三、填空题(每小题5分，共10分) 11．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过直线AC1的平面交直线BB1于点E，交直线DD1于点F，则四边形AEC1F的形状为________． 答案：平行四边形 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面AEC1F∩平面ABB1A1＝AE，平面AEC1F∩平面CDD1C1＝C1F，则AE∥C1F，同理，由平面ADD1A1∥平面CBB1C1可得AF∥C1E，所以四边形AEC1F为平行四边形． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 12．已知α∥β，P是α，β外一点，过点P的两条直线PA，PB分别交α于点A，B，交β于点C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为 _________． 答案：20或4 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 解析：由已知α∥β，α∩平面PAB＝AB，β∩平面PAB＝CD，所以AB∥CD，当平面α，β在点P同侧时，由PA<AC可知点P在靠近平面α一侧，如图所示， 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 可知△PAB∽△PCD，且PA＝6，PC＝PA＋AC＝15，AB＝8，则，即CD＝20；当平面α，β在点P异侧时， 如图所示，可知△PAB∽△PCD，且PA＝6，PC＝AC－PA＝3，AB＝8，则，即CD＝4.综上所述，CD＝20或CD＝4. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 四、解答题(共28分) 13． (13分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是△ABC的重心，M，E，F分别是线段SC，SD，BC上一点，且SM＝2MC，SE＝2ED，OF∥AB. (1)证明：MF与OE共面； (2)证明：CE∥平面SAF. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 证明：(1)在四棱锥S-ABCD中，由四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CD，而OF∥AB，则OF∥CD，由M，E分别是线段SC，SD上一点，且SM＝2MC，SE＝2ED，得＝2，因此ME∥CD∥OF，即ME，OF共面，所以MF与OE共面． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 (2)连接CO并延长交AB于点H，由O是△ABC的重心，且OF∥AB，得＝2，即CF＝AD，在SA上取点N，使得SN＝2NA，连接EN，FN，由＝2，得NE∥AD，且，又AD∥FC，因此NE∥FC，且NE＝AD＝CF，四边形CENF是平行四边形，则CE∥FN，而FN⊂平面SAF，CE⊄平面SAF， 所以CE∥平面SAF. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 14． (15分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BB1，A1B1的中点． (1)证明：C1G∥平面CEF. (2)在棱AA1上是否存在点H， 使得平面C1GH∥平面CEF？ 若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 64 答案：(1)证明：如图所示，连接EG，因为E，G分别是棱AB，A1B1的中点，所以EG∥BB1，EG＝BB1，由长方体的性质，可知BB1∥CC1，BB1＝CC1，则EG∥CC1且EG＝CC1，所以四边形CEGC1是平行四边形，所以CE∥C1G，又因为CE⊂平面CEF，且C1G⊄平面CEF，所以C1G∥平面CEF. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 65 (2)取棱AA1的中点H，连接GH，C1H，平面C1GH∥平面CEF，此时. 理由如下： 连接AB1，因为E，F分别为棱AB，BB1的中点，所以EF∥AB1， 因为G，H分别为棱A1B1，A1A的中点，所以GH∥AB1，所以GH∥EF，因为EF⊂平面CEF且GH⊄平面CEF，所以GH∥平面CEF， 由(1)可知C1G∥平面CEF，且C1G⊂平面C1GH，GH⊂平面C1GH，C1G∩GH＝G，所以平面C1GH∥平面CEF，故在棱AA1上存在点H，使得平面C1GH∥平面CEF，此时. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 66 优生选做题 15． (5分)(2026·张家口模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝6，AA1＝3，点P，Q分别为BC，C1D1的中点，点M为长方形ADD1A1内一动点(含边界)，若直线QM∥平面APC1，则点M的轨迹长度为(　　) A． B．2 C．2 D．3 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 67 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取A1D1，B1C1的中点G，H，连接AG，GH，BH，由点P为BC的中点，得C1H∥BP，C1H＝BP，则四边形BPC1H是平行四边形，所以BH∥C1P，又GH∥A1B1∥AB，GH＝A1B1＝AB，则四边形ABHG是平行四边形，所以AG∥BH∥C1P，取GD1的中点E，在AD上取点F，使得AF＝GE，连接EF，QE，QF，而AF∥GE，则四边形AGEF为平行四边形，EF∥AG，而AG⊂平面APC1，EF⊄平面APC1，所以EF∥平面APC1，由Q为C1D1的中点，E为GD1的中点，得QE∥C1G，而C1G⊂平面APC1，QE⊄平面APC1，则QE∥平面APC1，又EF∩QE＝E，EF，QE⊂平面QEF，因此平面QEF∥平面APC1，又由直线QM∥平面APC1，点M∈平面ADD1A1，则点M在平面QEF与平面ADD1A1的交线EF上，从而点M的轨迹就是线段EF，而EF＝AG＝，所以点M的轨迹长度为.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 68 16． (5分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过点B的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为________． 答案： 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 69 解析：取C1D1，B1C1的中点分别为P，Q，易知MN∥B1D1∥PQ，MN⊄平面BDPQ，PQ⊂平面BDPQ，所以MN∥平面BDPQ，因为AD∥NP，AD＝NP，所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥PD，AN⊄平面BDPQ，PD⊂平面BDPQ，所以AN∥平面BDPQ，又因为MN∩AN＝N，MN，AN⊂平面AMN，所以平面AMN∥平面BDPQ，所以平面α截该正方体所得截面的面积为四边形PQBD的面积，PQ∥B1D1∥BD，所以四边形PQBD为梯形，PQ＝，PD＝ ，所以梯形的高为 ，所以梯形PQBD的面积为.所以平面α截该正方体所得截面的面积为. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 70 $