第4节　直线、平面平行的判定与性质课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线、平面平行的判定与性质”核心考点，依据课标要求系统梳理线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，通过分析近五年高考真题明确“线面平行证明”“面面平行性质应用”等高频考点分布，归纳判定证明、性质应用、综合探索三大常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“定理三语言转化+真题一题多解+提能点突破”策略，如以2026江苏通州模拟题为例，通过构造中位线、延长线相交两种方法证明线面平行，培养学生逻辑推理和空间观念素养。总结平行关系转化规律，针对探索性问题提供“假设-推导-验证”解题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可依托此课件实现精准复习，提升备考效率。

第4节　直线、平面平行的判定与性质 课标要求 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理和性质定理的含义. 2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理. 3.能用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理证明一些空间线面平行、面面平行的问题. 目录/ CONTENTS 考点一 直线与平面平行 01 考点二 平面与平面平行 02 提能点一 平行关系的综合应用 03 提能点二 平行关系的探索性问题 04 课时跟踪训练 05 01 PART 考点一 直线与平面平行 目 录 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 （简记为“线线平行⇒线面平行”） 因为l∥a，a⊂α， l⊄α，所以l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 （简记为“线面平行⇒线线平行”） 因为l∥α，l⊂β， α∩β＝b，所以l∥b 提醒：（1）一内一外一平行，三者缺一不可；（2）一条直线平行于一个 平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但反之不成立. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度1　直线与平面平行的判定与证明 〔一题多解〕（2026·江苏通州模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面 ABCD是平行四边形，E，F分别为AD，PC的中点.求证：EF∥平面 PAB. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 证明：法一　如图，取PB的中点H，连接FH，HA， 因为F为PC的中点，所以FH∥BC，且FH＝ BC. 又四边形ABCD为平行四边形， 所以BC∥AD且BC＝AD，从而FH∥AD，且FH＝ AD. 又E为AD的中点，所以FH∥EA且FH＝EA，所以四边形AEFH为平行四边形，所以EF∥AH. 又EF⊄平面PAB，HA⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 法二　如图，连接CE并延长交BA的延长线于点H，连接PH. 因为E为平行四边形ABCD的边AD的中点， 所以△CDE≌△HAE， 所以CE＝EH，又F为PC的中点， 所以EF∥PH. 又EF⊄平面PAB，PH⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度2　直线与平面平行的性质应用 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，E为PB的中点，F是PC上 的点，且EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 因为P∈平面PBC，P∈平面PAD， 所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM， 又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM. 因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC，所以EF∥PM，从而得EF∥BC. 因为E为PB的中点，所以F为PC的中点. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 1.判断或证明线面平行的常用方法 （1）利用线面平行的定义（无公共点）； （2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）； （3）利用面面平行的性质（α∥β，a⊂α⇒a∥β）； （4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）. 2.直线与平面平行性质定理的应用 （1）应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知 平面相交，所得交线与已知直线平行； （2）利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图 的画法中，常用来确定交线的位置. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 在四棱锥P-ABCD中，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是 AC的中点，∠CAD＝30°，AB＝4，点N在线段PB上，且 ＝ . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）求证：MN∥平面PDC； 证明：在正三角形ABC中，BM＝2 . 在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，所以AD＝CD，又∠CAD＝30°，所以DM＝ ，所以BM∶MD＝3∶1， 所以BN∶NP＝BM∶MD，所以MN∥PD. 又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若平面PAB∩平面PCD＝l，试问直线l是否与直线CD平行，请说 明理由. 解：在平面ABCD内，由（1）知∠BAC＝60°，∠ACD＝30°， 即∠BAC≠∠ACD，所以AB与CD不平行， 假设直线l∥CD，因为l⊂平面PAB，CD⊄平面PAB， 所以CD∥平面PAB， 又CD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以CD∥AB， 这与CD与AB不平行矛盾， 所以直线l与直线CD不平行. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 平面与平面平行 目 录 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 （简记为“线面平行⇒面面平 行”） 因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α， b⊂α，所以α∥β 性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 因为α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b，所以a∥b 高中总复习·数学（创新版） 目 录 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别在AB，AC， A1B1，A1C1上. （1）若E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： ①B，C，H，G四点共面； ②平面EFA1∥平面BCHG. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 证明：①因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点， 所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC， 所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面. ②因为G，E分别为A1B1，AB的中点，E，F分别是AB，AC的中点， 所以A1G∥EB，且A1G＝EB， 所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 同理A1F∥平面BCHG， 因为A1E∩A1F＝A，A1E⊂平面EFA1，A1F⊂平面EFA1，所以平面EFA1 ∥平面BCHG. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若平面EFA1∥平面BCHG，求证：EF∥GH. 证明：因为平面EFA1∥平面BCHG， 平面EFA1∩平面ABC＝EF， 平面BCHG∩平面ABC＝BC， 所以EF∥BC. 同理GH∥BC. 所以EF∥GH. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 1.判断证明面面平行的常用方法 （1）平面与平面平行的定义（两平面没有公共点）； （2）利用面面平行的判定定理； （3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）； （4）利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这 两个平面平行（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2.面面平行条件的应用 （1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行； （2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面 内的两条直线是相交直线. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形. （1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1； 高中总复习·数学（创新版） 目 录 证明：由题设知BB1􀰿DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以 BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1􀰿B1C1􀰿BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以 A1B∥D1C. 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1. 又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面 CD1B1. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l. 证明：由（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝ 直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD， 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以 B1D1∥BD，所以B1D1∥l. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 提能点一 平行关系的综合应用 目 录 如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD； 高中总复习·数学（创新版） 目 录 证明：因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD􀰿B1C1， 所以四边形AB1C1D是平行四边形， 所以AB1∥C1D. 又C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD， 所以AB1∥平面C1BD. 同理B1D1∥平面C1BD. 又AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1， 所以平面AB1D1∥平面C1BD. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证 明：A1E＝EF＝FC. 解：如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1， 因为AO1⊂平面AB1D1， 所以AO1与A1C的交点就是A1C与平面AB1D1的交点E. 同理，连接AC交BD于点O，连接C1O， 则C1O与A1C的交点就是A1C与平面C1BD的交点F. 下面证明A1E＝EF＝FC. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平 面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF. 同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝ FC. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 　　平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是 孤立的，而是相互联系的，可以相互转化.所以要解决平行关系的综合问 题，必须要灵活运用三种平行关系的相互转化. 由于三者之间相互联系，且可以相互转化，因此立体几何问题的解决往 往可以一题多解（证）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练3 如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： （1）BE∥平面DMF； 证明：如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O， 因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点. 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）平面BDE∥平面MNG. 证明：因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以 DE∥NG，又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点，N为AD的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面BDE∥平面MNG. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 提能点二 平行关系的探索性问题 目 录 如图，在四棱锥P-ABCD中，M是线段AB上的点，N是线段PC上的 点.若四边形ABCD是平行四边形，问当M，N满足什么条件时，有MN∥ 平面PAD，请证明你的结论. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解：当AM∶AB＝PN∶PC时，有MN∥平面PAD. 下面给出证明： 过N作NG∥CD交PD于点G，连接AG（图略）. ∵AB∥CD，∴GN∥AM， 又GN∶CD＝PN∶PC，AM∶AB＝PN∶PC， ∴GN∶CD＝AM∶AB. 又AB＝CD，∴GN＝AM. ∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG. 又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 处理平行关系探索性问题的一般方法 先假设满足题设的点（直线、平面）存在，从这个结果出发，把直线 （平面）与平面平行当成已知条件，根据线面（面面）平行的性质定 理，往下推导.在推导过程中，如果出现矛盾，那么结论不成立，即所求 点（直线、平面）不存在；否则，就可以确定点（直线、平面）的位 置，结论成立. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练4 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝ AD，E是 PD的中点. （1）求证：BC∥AD； 解：证明：因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD ＝AD，所以BC∥AD. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）线段AD上是否存在点N，使平面CEN∥平面PAB？若不存在请说明 理由；若存在给出证明. 解：存在，且当点N是AD的中点时，平面CEN∥平面PAB. 下面给出证明：因为E，N分别是PD，AD的中点，所以 EN∥PA，又EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EN∥平 面PAB. 由（1）知，BC∥AN，又N是AD的中点，BC＝ AD，所以BC＝AN，所以四边形ABCN是平行四边形，从而CN∥BA， 又CN⊄平面PAB，BA⊂平面PAB，所以CN∥平面PAB. 又因为CN∩EN＝N，所以平面CEN∥平面PAB. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 05 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：93分）　 [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝ CF∶FB＝1∶2，则直线AC和平面DEF的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 在平面内 D. 不能确定 解析：如图，由 ＝ 得AC∥EF. 又因为EF⊂平面 DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：若m⊂α，m∥β，而α，β可能相交或平行，充分性不成立；若α∥β，m⊂α，则m∥β，必要性成立，故“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的有 （　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　对于①：如图1，取BC中点O，连接OQ，则有OQ∥AB，又OQ∩平面MNQ＝Q，所以AB与平面MNQ相交，故①错误；对于②：如图2，由AB∥CD，MQ∥DC，所以MQ∥AB，又MQ⊂平面MNQ，AB不在平面MNQ上，所以AB∥平面MNQ，故②正确；对于③：如图3，由AB∥DC，MQ∥DC⇒AB∥MQ，又MQ⊂平面MNQ，AB不在平面MNQ上，所以AB∥平面MNQ，故③正确；对于④：如图4，由AB∥DC，NQ∥DC⇒ NQ∥AB，又NQ⊂平面MNQ，AB不在平面MNQ上，所以AB∥平面NQ，故④正确.故选C. 图1　　　　　 图2 图3 图4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 如图，P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA， PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3， 则S△A'B'C'∶S△ABC＝（　　） A. 2∶3 B. 2∶5 C. 4∶9 D. 4∶25 √ 解析：　∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB， B'C'∥BC，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. （2026·山东济南期中）如图，在四棱锥P-ABCE中，四边形ABCE是 梯形，AB∥CE，且AB＝3CE，点F在棱PA上，且EF∥平面PBC，则 ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　过E作EG∥BC交AB于G，连接FG，如图所示. 因为EG∥BC，BC⊂平面PBC，EG⊄平面PBC，根据线 面平行的判定定理可得EG∥平面PBC. 又因为EF∥平面 PBC，EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFG，根据平面与 平面平行的判定定理，可得平面EFG∥平面PBC. 又平面PAB∩平面EFG＝FG，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以FG∥PB. 根据相似三角形性质可得， ＝ .因为EG∥BC，CE∥AB，所以四边形BCEG为平行四边 形，所以CE＝BG. 又AB＝3CE，所以AG＝2BG，所以 ＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 〔多选〕已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面， 则下列结论错误的是（　　） A. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n B. 若m∥α，n∥α，则m∥n C. 若α∥γ，β∥γ，则α∥β D. 若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：对于A中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，所以A不正确； 对于B中，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以B 不正确；对于C中，若α∥γ，β∥γ，根据平行于同一平面的两平面平行，可 得α∥β，所以C正确；对于D中，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β平行或相交，所以D错误.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. 〔多选〕如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一 些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不 同，有下面几个结论，其中正确的是（　　） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 水面EFGH所在四边形的面 积为定值 C. 随着容器倾斜程度的不同， A1C1始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图3所示时，AE·AH为定值 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行），结合题图易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图3所示时，因为水的体积 是不变的，所以棱柱AEH-BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高 AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，如图所示，点E是棱PD上 一点，PE＝3ED，若 ＝λ 且满足BF∥平面ACE，则λ＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，在线段PE上取一点G使得GE＝ED. 连接BG，GF，则BG∥OE. 又因为OE⊂平面AEC，BG⊄平面AEC，所以BG∥平面AEC. 因为BF∥平面ACE且满足BG∩BF＝B，故平面BGF∥平面AEC. 因为平面PCD∩平面BGF＝GF，平面PCD∩平面AEC＝EC，则GF∥EC. 所以 ＝ ＝ ，即λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E， F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G， 且PG＝λGD，则λ＝ ；若ED与AF相交于点H，则GH＝ ⁠. 1 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，且AB＝CD. 又 E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH， ∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH. 因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.因为PA＝AB＝PB＝2，所以PE＝ ，GH＝ PE＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （15分）如图所示，多面体A1B1D1DCBA是由长方体ABCD-A1B1C1D1 沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E 为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F. （1）求该多面体A1B1D1DCBA的体积； 解：长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V1＝4×3×2＝24， 被截去的三棱锥的体积V2＝ × ×2＝4， 所以多面体A1B1D1DCBA的体积为24－4＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）求证：B1C∥平面A1DE； 解：证明：在长方体中，A1B1∥CD，A1B1＝CD， 所以四边形A1B1CD为平行四边形. 所以B1C∥A1D， 又B1C⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE， 所以B1C∥平面A1DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （3）判断直线EF与直线B1C的位置关系，并对你的结论加以证明. 解：直线EF∥直线B1C， 证明：由（2）得B1C∥平面A1DE， 又B1C⊂平面D1B1C，平面D1B1C∩平面A1DE＝EF， 所以EF∥B1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. 如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中点， 点N在线段AB上，AB＝4BN. 若MN∥平面ADD'A'，则此棱台上下底面 边长的比值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　设E为CD的中点，G为EC的中点，连接MG，NG，C'E，则 NG∥AD，则平面MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分别交平面MNG和平面ADD'A'于直线MG，DD'，则MG∥DD'.因为E为CD的中点，G为EC的中点，M为CC'的中点，所以DD'∥C'E∥MG. 所以四边形DEC'D'为平行四边形，棱台上下底面边长的比值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 〔多选〕如图所示是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正 方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点.在此几何体中， 给出下列结论，正确的是（　　） A. 平面EFGH∥平面ABCD B. 直线PA∥平面BDG C. 直线EF∥平面PBC D. 直线EF∥平面BDG √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：作出立体图形如图所示.连接E，F，G，H四点构 成平面EFGH. 对于A，因为E，F分别是PA，PD的中点， 所以EF∥AD. 又EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所 以EF∥平面ABCD. 同理，EH∥平面ABCD. 又EF∩EH ＝E，EF⊂平面EFGH，EH⊂平面EFGH，所以平面 EFGH∥平面ABCD，故A项正确；对于B，连接AC，BD，DG，BG，设AC的中点为M，则M也是BD的中点，连接MG，则MG∥PA，又MG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，所以PA∥平面BDG，故B项正确；对于C，由A中的分析知EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故C项正确；对于D，根据C中的分析可知EF∥BC，再结合图形可得BC∩BD＝B，则直线EF与平面BDG不平行，故D项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M，N分别是 线段DA1，B1D1上的动点，若MN∥平面CC1D1D，则线段MN长的最小值 为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：过点M，N分别作MG∥A1D1交DD1于点G，NP∥A1D1交C1D1于点P，连接PG，要想MN∥平面CC1D1D，则四边形MGPN为平行四边形，故NP＝MG，设D1G＝m∈（0，1），则PC1＝m， 故PD1＝1－m，由勾股定理得MN＝PG＝ ＝ ，其中m2＋（1－m）2＝2m2－2m ＋1＝2（m－ ）2＋ ≥ ，当且仅当m＝ 时，等号成 立，故MN≥ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （15分）（2025·河南二十名校联考）如图，梯形ABCD是圆台O1O2 的轴截面，E，F分别在底面圆O1，O2的圆周上，EF为圆台的母线， ∠DO1E＝60°，若CD＝4，AB＝8，G，H分 别为O2B，BF的中点，且异面直线AF与CH所 成角的余弦值为 . （1）证明：平面CGH∥平面O1O2FE； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解：证明：由题意得O1C＝O2G，O1C∥O2G， 所以四边形O1O2GC为平行四边形，所以O1O2∥CG， 而O1O2⊂平面O1O2FE，CG⊄平面O1O2FE， 所以CG∥平面O1O2FE. 因为G，H分别为O2B，BF的中点， 所以HG为△BO2F的中位线，所以HG∥O2F. 而O2F⊂平面O1O2FE，HG⊄平面O1O2FE， 所以HG∥平面O1O2FE，又CG，HG⊂平面CGH，且CG∩HG＝G， 所以平面CGH∥平面O1O2FE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）求圆台O1O2的高. 解：设圆台的高为h（h＞0），连接O2H和CO2， 因为点O2和H分别为AB和FB的中点， 所以O2H为△ABF的中位线，所以O2H∥AF， 则∠CHO2（或其补角）为异面直线AF与CH所成的角， 因为GH＝ O2F＝2，则O2G＝GH， 由（1）知O1O2∥CG，则CG⊥平面ABF，因为O2G， HG⊂平面ABF，所以CG⊥O2G，CG⊥HG， 由勾股定理可得CH＝CO2＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 由∠DO1E＝60°，EF为圆台的母线得∠AO2F＝60°，又O2A＝O2F，则△AO2F为等边三角形， 则AF＝4，故O2H＝ AF＝2， 在△CO2H中，由余弦定理的推论得 cos ∠CHO2＝ ＝ ＝ ， 解得h＝6（舍负）. 故圆台O1O2的高为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $