专题02 勾股定理（期末真题汇编，广东专用）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 汇集广东各地市期末真题，系统覆盖勾股定理四大核心考点，注重情境化问题设计与跨学科实践应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|15题|勾股定理验证、逆定理判断、坐标应用|结合《周髀算经》勾股数、古埃及结绳法等文化素材| |填空题|3题|折叠问题、最短路径|融入数轴表示无理数等数形结合思想| |解答题|22题|实际应用（梯子滑动、航海距离）、几何综合（折叠证明、跨学科供水设计）|设置测量旗杆、圆柱蚂蚁爬行等真实情境，体现数学建模与创新应用|

命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题02 勾股定理 ☆高频烤点概览 考点01勾股定理 考点02勾股定理的逆定理 考点03勾股定理的实际应用 考点04勾股定理与几何综合 目目 考点01 勾股定理 1.(21-22八年级上·广东佛山期末)下面图形能够验证勾股定理的有()个 b 45 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.(24-25八年级下·广东期末)下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是 C B D.c 3.(24-25八年级下广东汕头期末)如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形A,B,C,若正方形B, C的面积分别为5,11，则正方形A的面积是() B A.6 B.12 C.16 D.22 4.(24-25八年级下·广东惠州期末)如图，∠ABC=90°，两半圆的面积分别为132和108，则半圆m的 1/22 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 面积为() 132 108 m A.140 B.2√35 C.2√6 D.24 5.(24-25八年级下·广东期末)如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形， 面积分别记为S,S2,S·若S,+S2-S,=10.则图中阴影部分的面积为() A.6 B.5 c D. 6.(25-26八年级上·广东清远期末)如果一个直角三角形的两直角边长为3和4，那么它的斜边长为() A.3 B.4 C.5 D.7 7.（24-25八年级下·广东江门期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数 学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是() A.4,5,6B.5,12,13 C.6,8,11 D.5,12,23 8.(25-26八年级上·广东河源期末)下列各组数据中，是勾股数的是() A.0.3,0.4,0.5B.1,2,√5 C.4,5,7 D.6,8,10 9.(24-25八年级上·广东河源期末)若5，a,12是一组勾股数，则a的值为() A.13 B.119 C.√119或13 D.11 10.(23-24八年级上·广东河源·阶段检测)在平面直角坐标系中，对点(2，-1)叙述错误的是() A.在x轴下方B.在第四象限 C.距离y轴1个单位长度D.到原点的距离为√5 11.(24-25八年级上广东佛山期末)在平面直角坐标系x0y中，等边三角形0AB的顶点A的坐标为(4,0)， 顶点B在第四象限，则点B的坐标为() A.(2,-25B.(2,-V5 C.(2,4) D.（5,-2 2/22 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.（24-25八年级下·广东广州期末)如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为() 0 A.5 B.-√5 C.-1+V5 D.-1-5 13.(24-25八年级下·广东汕头期末)如图，在数轴上找出表示数字2的点D,过点D作CD垂直于数轴， 且CD=3,以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴 上的() 十01234 A.2和3之间B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 14.72.（24-25八年级上·河北张家口·期末)如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0,3，过点A作 AB⊥数轴，AB=1个单位长度，以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C,则点C表示 的数是 -4-3-2-101234 15.(25-26八年级上·广东河源期末)如图，ABC中，∠ABC=90°，BC=1,点A在数轴上表示为数为1， 点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D,则点D表示的数为() B -1D0 2 A.2 B.-√2 C.2-1 D.1-√2 16.(23-24七年级下·广东·期末)如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 ABC全等的是() 3/22 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 17.(24-25八年级上广东梅州期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6,AC=8,现将ABC沿 BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD= 18.(23-24八年级上·广东·期末)在长方形ABCD中，AB=8,BC=10,E是CD边上一点，连接BE, 把BEC沿BE翻折，点C恰好落在AD边上的F处，延长EF,与∠ABF的平分线交于点M,BM交AD于 点N,则NF的长度为(). 10 A.2W2 B. C.4 D.5 19.(24-25八年级上·广东阶段检测)如图所示，在长方形ABCD中，AD=6,AB=10,若将长方形ABCD 沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为() C. 3 D.10 20. (23-24八年级上·广东·期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点D、E分别是边AB、AC 4/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 CE 上的点，把△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC上的点F处，若点F为BC的中点，则 的值是（) AC E D B A B.② 2 D 21.(25-26八年级上广东期末)如图，等腰ABC底边BC长为4cm,面积12cm2,腰AB的垂直平分线 EF交AC于点F,若D为BC边上中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为 cm 22.(22-23八年级下·广东期末)如图，在平面直角坐标系中，Rt△0AB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点 B的坐标为3,3)，点C的坐标为 0 ,点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为 2 23.(23-24八年级上·广东河源期末)如图，E为AC上一点，AC⊥BC,AC⊥AD,AB=DE,AB, DE交于点F,且AB⊥DE. D 5/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)判断线段BC,DA,CE的数量关系，并说明理由： (2)连接BD, BE,若设BC=a, AC=b,AB=c,利用此图证明勾股定理. 目目 考点02 勾股定理的逆定理 1.(25-26八年级上广东佛山期末)如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个 工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一 个直角三角形.其中蕴含的数学原理是() A.两角互余的三角形是直角三角形 B.有一个角是直角的三角形是直角三角形 C.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D.如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 2.(24-25八年级上广东梅州期末)下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是() A.6,8,10 B.7,24,25 C.2,5,4 D.9,12,15 3.(25-26八年级上广东佛山期末)以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是() A.2,3,4 B.5,√4,5C.4,4,8 D.5,12,13 4.(25-26八年级上广东佛山期末)边长为a,a+1,5的三角形是直角三角形，则a= 5.(22-23八年级下，广东广州期末)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题： “问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一 块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则该沙田的面积为()平方里. A.30 B.50 C.60 D.65 6.(23-24八年级下·广东广州期末)如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口， 各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A, B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿 方向航行。 6/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 N E 7.（25-26八年级上广东河源·期末)如图，网格中的每个小正方形边长均为1，ABC的三个顶点均在格 点上 (I)直接写出AB= BC= AC= (2)判断ABC的形状，并说明理由. 8.(2425八年级下广东广州期末)如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形 的边长都为1. r- D U (I)求四边形ABCD的周长； (2)求∠BAD的度数. 9.(23-24八年级上广东揭阳期末)如图，一张三角形纸片ABC,己知，AB=10,AC=8,BC=6, 将该纸片折叠，若折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D,与边AB交于点E. E D C B (I)求△ABC的面积. (2)求折痕DE的长. 7/22 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(22-23八年级下广东广州期末)如图，在ABC中，AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,延 长AD至点E,使DE=AD,连接CE. (①)求证：CE=AB; (2)求CD的长. 11.(25-26八年级上·广东茂名·期末)如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地 ABCD,测得∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m,则这块菜地的面积是多少？ D 12.(25-26八年级上·广东佛山期末)综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，A,B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A,B间的距 离.综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A,B间的距离 测量工具 皮尺 如图所示，图中各点均在同一水平地面内，第一步：沿 线段AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C,使 BC=9m;第二步：在AC的一侧选点D,使点D能直 接到达A,B,C三点，测得BD=12m,CD=15m, 测量方案及测量数据 AD=20m 问题解决： (I)试判断△BCD的形状，并说明理由； (②)求池塘两端A,B之间的距离. 8/22 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 13.(24-25八年级下·广东惠州期末)跨学科融合一项目式学习 供水路线设计 在惠州东江流域，有一个依山傍水的传统村落 青溪村（图中点C处）.过去，村民们一 背 直依赖河边原有的两个取水点A、B获取生活 景 用水，且AB=AC.但由于东江流域季节性洪 A B 水冲刷，从村庄C到取水点A的道路被严重损 毁，已无法通行。 测 为保障村民日常用水，青溪村与地理科研团队合作开展“智慧供水”项目，决定在河 念 边新建取水点H(A、B、H在一条直线上)，并修建一条新路CH,经地理勘测 数 团队测量，CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米. 据 任 最佳路线评估地理团队在进行供水路线规划 (1)请你结合数学知识，通过计 务 时，需要确定CH是否为从村庄C到河边的最 算加以说明：CH是否为从村庄C 近路。 到河边的最近路？ 任 工程成本分析在项目成本核算阶段，施工团队 (2)请运用数学方法，结合地理 务 需要了解新路比原路少多少千米，从而估算节 实际测量数据，求出新路CH相比 省的材料与人力成本. 原路CA缩短多少千米？ 14.(24-25八年级上广东佛山期末)如图，A,B两村庄相距3千米，C为供气站，AC=2.4千米， BC=1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村； 方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H,先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设. B 9/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)试判断ABC的形状，并说明理由： (②)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 15.(23-24八年级上广东佛山期末)如图分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得 了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB=6Ocm,点B、F在线段AC 上，点C在DE上，支杆DF=30cm.若EC=24cm时，B,D相距48cm,试判定BD与DE的位置关系， 并说明理由 B 目目 考点03 勾股定理的实际应用 1.（22-23八年级下·广东广州期末)如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C0.7米 处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？() A A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8 2.(23-24八年级下，广东广州期末)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节.风 云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所.某校八年级(1)班的小明和小 亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米. 则如图，风筝的垂直高度CE是() 10/22 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 4, A.20米 B.21.6米 C.25米 D.26.6米 3.(24-25八年级上·广东佛山期末)市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏 出杯子3cm以上.如图是某款自带勺子的杯子的简化图，杯身是一个圆柱形杯子的内径是9cm,杯子内侧 高度为12cm,则勺子的长度至少为()厘米. A.15cm B.5cm C.12cm D.18cm 4.(25-26八年级上·广东·期末)图1为八(10)班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状. 它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台.上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管 口到杯底的距离为22.4cm,己知配套吸管的长度为27.6cm，,且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露 长度的最小值为5cm(不计吸管粗细)，则杯子的下底面直径为() 图1 图2 A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm 5.(25-26八年级上广东佛山期末)如图所示，有一个水池，在水池正中央有一根芦苇，它离岸边的距离 AC=5尺，高出水面1尺(AB=1尺)·如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.由 此可知水池的深度OA的长为()· 11/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B 0 A.9尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺 6.（22-23八年级下·广东东莞期末)如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米C处 折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4米，则树原高为米. B 7.(24-25八年级下·广东汕头期末)如图，一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿 正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为()海里/小时 45 0 A A.405+40 B.20√5+20 C.40 D.20 8.(22-23八年级上·广东广州期末)如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏 东40°方向直线航行60 nmile到达C岛.测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向，若A,B两港口之 间的距离为65 nmile,则C岛到港口B的距离是 nmile. 北 509 北40 9.(25-26八年级上·广东茂名·期末)如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm,底面周长 为12cm，在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的容器外壁，且 12/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 距离容器顶部1cm的点B处，则妈蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是() A.10cm B.8cm C.12cm D.13cm 10.(24-25八年级下·广东韶关期末)如图，在桌面上放置一个棱长为3cm的正方体，点B为一条棱上的 点，且BC=lcm,蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是() B A.√10cm B.√37cm C.7cm D.2v10cm 11.(23-24八年级上·广东·期末)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看 作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为8m的半圆，其边缘AB=CD=20m, 点E在CD上，CE=5m,一名滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为()m(边缘部分的 厚度可以忽略不计，π取3) 20 A A.17 B.341 C.4V34 D.3v89 12.(23-24八年级上广东河源期末)如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长5m,高3m的台阶 上铺设红地毯，已知台阶的宽为3m,则共需购买红地毯() 13/22 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.21m2 B.45m2 C.24m2 D.12m2 13.(24-25八年级下·广东·期末)在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪 聪想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为30°（即LACB=30°），接着往前走10 米到达点D,观察旗杆顶端的仰角为60°（即∠ADB=60°）· D B ()请你帮助聪聪判断△ACD的形状，并说明理由； (②)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度AB.(人的身高忽略不计，结果保留根号) 14.(25-26八年级上·广东·期末)综合与实践 【实践任务】测量旗杆高度 【工具素材】卷尺，升旗的绳子. 【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长 度记为叠合长度， 【实施方案1】 步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为17m; 步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离BC为8m. （1)根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为m. 旗杆a 旗杆b 旗杆c 旗杆c E B B 图1 图2 图3 图4 【实施方案2】 步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长1m; 步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距5. (2)结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度 14/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【实施方案3】 步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C), 另一端拉直至地面的点B处，并测得BC长度为5m; 步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进4m至点D,发现此时绳子另一端上升2m至点E.（备注：点D、 B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态) (3)结合方案3中的数据，求旗杆c的高度. 15.（24-25八年级下广东期末)《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺.问：折者高几 何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部 4尺远.问：竹子折断处离地面有几尺？(1丈=10尺) B 16.(22-23八年级下·广东汕头期末)某条道路限速80km/h,如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶， 某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s,小汽车到达B处，此时测得小 汽车与车速检测仪间的距离为50m. 小汽车 小汽车 BQ-----------OC 检测仪 (I)求BC的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 17.(23-24八年级下·广东·期末)如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台 风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，己知城市A到BC的距离AD=90km,那么台风中心经过多长时 间从B点移到D点？ 15/22 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(23-24八年级上·广东·期末)如图，A,B,C是我国南部的三个岛屿，己知岛屿C在岛屿A的东北方向， 岛屿B在岛屿A的正东方向，A,C两岛的距离为20√2km,A,B两岛的距离为68km, 北 东 A B (1)求出B,C两岛的距离； (2)在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km(即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受 到台风影响)，台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会 受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 19.(24-25八年级下.广东广州期末)实验探究： 实验 情景 示意 B 图 mrammmagtaa mana 图1 图2 实验 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A,一端固定在滑块B上，另一端固定在 使用 物体C上；（A、B、C可以视作三个点) 装置 ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度， 初始 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为8dm,且 状态 AB+BC =16dm 实验 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略. 条件 (1)求绳子的总长度： 任务 (2)图2若物体C升高7dm,求滑块B向左滑动的距离. 20.(25-26八年级上·广东茂名·期末)综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间.己已 知云梯最多伸长到25m,消防车高4m,救援时云梯伸到最长 16/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 28m 24m B 4m 911177N 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，B处两个求救点救援， 【现场勘察】勘察A,B离地面O的高度分别为A'0=24m,B'0=28m. 【解决问题】 ()消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在！处，求消防车云梯底部A处距离着火楼距离是多 少？ (②)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离AB为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达B处，完成救援 任务？ 目目 考点04 勾股定理与几何综合 1. (25-26八年级上·广东梅州期末)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也 是正方形.已知直角三角形的两直角边长分别为Q,b,斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同的方 式表示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2=c2 b 图1 图2 图3 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程 (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若a=4,b=6,则空白部分的面积为_· (3)如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处.若AD=5,AB=3,求EF的长. 2.(24-25八年级上·广东期末)【自主探究】(1)用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式 (2)图2是由两个边长分别为a,b,c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的 方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由： 【迁移应用】根据(1)、(2)中的结论，解决以下问题： (3)如图3，五边形ABCDE中，AC⊥BD,垂足为N,AC=BD=2,CN=a,BN=b,△BCN周长为2，四边 17/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积. a 6 6 b a b b B 图1 图2 图3 3.(23-24八年级下·广东·期末)(1)如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与 B、C重合)，以AD为边作等边△ADE,连接CE.易求∠DCE=°； (2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB,点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以 AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE,类比题(1)，请 你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由： (3)如图3，在(2)的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90 。(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE.CE=10,BC=6,求AE的长. A D B D C D 图1 图2 图3 4.(21-22八年级下·广东韶关期末)新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形， E G (I)尺规作图：以已知线段EG为对角线作一个垂美四边形EFGH,使其对角线交于点O;(不写作法，保 留作图痕迹) (②)已知四边形ABCD是垂美四边形，且AC=3√6，BD=4√2，则它的面积为； (3)如图，四边形ABCD是垂美四边形，AB=c,BC=d,CD=a,DA=b,探究a、b、c、d的数量关系； 18/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 y C (4)如图，己知D、E分别是ABC中边BC、AC的中点，AD⊥BE,AC=3,BC=4,请运用上题的结论，求 AB的长. B D A C E 5.(22-23八年级下·广东江门期末)【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家， 也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法.如图 A a D D E a-b d B C B 图1 图2 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a,b,C.显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE.请 用a,b,C分别表示出梯形ABCD,四边形AECD,△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系， 可得到勾股定理：S梯形ABcD= S.EBC ，S医边形AEcD= ,则它们满足的关系式 为 经化简，可得到勾股定理. 【知识运用】 19/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 如图2，河道上A,B两点（看作直线上的两点）相距160米，C,D为两个菜园（看作两个点）， AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B,AD=70米，BC=50米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点 P，使得抽水点P到两个菜园C,D的距离和最短，则该最短距离为 米。 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式√x2+9+√12-x)2+36的最小值(0<x<12). 6.(25-26八年级上广东期末)【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点A(x,)、B(2,y)之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习. 首先，坪坪在坐标系中任意点出了A点(x,)和B点(x2,y2).山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要 一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ B M 坪坪灵机一动：过点A向y轴作垂线AN、过点B向x轴作垂线BM,垂足分别为N(0,y,)和M(x2,O),直线 AN和BM相交于点Q,这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：BQ=ya-yo=y2-,AQ=xA-x=x-x2,坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度 是… (1)已知A(-1,2),B(2,-2),根据坪坪和山山的思考过程，AB= (②)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道 思考题：求解16+(12-x)2+V2+4的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个 距离的和 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：A、E两点在直线 同侧，分别过点AE作AB⊥BD,ED⊥BD,C为线段BD上一动点，连接AC、EC.已知 20/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 AB=4,DE=2,BD=12,设CD=x.这个问题转化为了如何求AC+CE的值最小. 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题， 3)求出代数式Vx+1)2+9+1+(4-x)2的最小值. 7.(23-24八年级上广东佛山期末)综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1如图1，圆柱形纸盒的高AC为12厘米，底面直径BC为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只 蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物 (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12+6=18厘米.将圆 柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”)，此时最短 路程是 厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 (用“一”或“二”填空) 测量路径 调节圆柱高 的细线 度的橡皮筋 圆柱底面 底面圆直径为6cm 高为10cm的圆柱 直径 图1 图2 图3 素材2如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借 助细线来反映爬行的路线)、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，(1)中两种路线 路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高 沿路线一路 沿路线二路 比较x与y的大 度 程x 程y 小 11 10.3 x>y 10 9.85 x>y 21/22 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 3 9.49 6 (2)填空：表格中a的值是 ；表格中b表示的大小关系是 (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r,圆柱的高为h在r不变的情况下，当圆柱半径为r 与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，妈蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 22/22 专题02 勾股定理 高频考点概览 考点01勾股定理 考点02勾股定理的逆定理 考点03勾股定理的实际应用 考点04勾股定理与几何综合 考点01 勾股定理 1．（21-22八年级上·广东佛山·期末）下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】分别计算图形的面积进行证明即可． 【详解】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； 故选：A． 【点睛】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键． 2．（24-25八年级下·广东·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为5，11，则正方形A的面积是（   ） A．6 B．12 C．16 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由正方形的面积得，，再由勾股定理得，即可得出结论，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵正方形，的面积分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的面积． 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，，两半圆的面积分别为132和108，则半圆m的面积为（　　） A．140 B． C． D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理以及圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出，再分别计算出两半圆的面积分别、，然后由半圆m的面积，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两半圆的面积分别为132和108， ∴， ， ∴半圆m的面积 ， 故选：D． 5．（24-25八年级下·广东·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选C． 6．（25-26八年级上·广东清远·期末）如果一个直角三角形的两直角边长为3和4，那么它的斜边长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理，直角三角形的斜边的长的平方等于两直角边的长的平方和． 【详解】解：∵两直角边长为3和4， ∴斜边长为， 故选：C． 7．（24-25八年级下·广东江门·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．4，5，6 B．5，12，13 C．6，8，11 D．5，12，23 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，即三个正整数满足，逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A：4，5，6 最大数为6，验证：，，和为，而，不满足勾股定理． 选项B：5，12，13 最大数为13，验证：，，和为，而，满足勾股定理． 5、12、13均为正整数，符合勾股数定义． 选项C：6，8，11 最大数为11，验证：，，和为，而，不满足勾股定理． 选项D：5，12，23 最大数为23，验证：，，和为，而，不满足勾股定理． 综上，只有选项B符合条件， 故选B． 8．（25-26八年级上·广东河源·期末）下列各组数据中，是勾股数的是（   ） A．，， B．1，2， C．4，5，7 D．6，8，10 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数． 根据勾股数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，，都不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 9．（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数，解题的关键是明确勾股数是整数．根据勾股数的定义，需满足（其中c为斜边），且均为正整数。题目中给出为勾股数，需分情况讨论a的位置（直角边或斜边）． 【详解】解：分类讨论： ， 是直角边． 若a为直角边，则解得， 勾股数需为整数，故不符合题意，舍去； 若a为斜边，则，解得； 故答案为：A． 10．（23-24八年级上·广东河源·阶段检测）在平面直角坐标系中，对点叙述错误的是（   ） A．在x轴下方 B．在第四象限 C．距离y轴1个单位长度 D．到原点的距离为 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征及距离公式，逐一分析各选项的正误．本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：A. 点的纵坐标为，负数位于x轴下方，故A正确； B. 点的横坐标为正，纵坐标为负，位于第四象限内点，故B正确； C. 点到y轴的距离为横坐标的绝对值，即，而非1个单位，故C错误； D. 到原点的距离为，故D正确． 故选：C． 11.（24-25八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，顶点在第四象限，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，图形与坐标的特点，掌握图形与坐标的特点，等边三角形的性质是解题的关键． 根据题意，作图如下，过点作于点，由等边三角形的性质得到，，则，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下，过点作于点， ∵是等边三角形，，顶点在第四象限， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 12．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理可求出点A处所表示的数到0的距离为，进而可得答案． 【详解】解：由图可得，点A处所表示的数到0的距离为， ∴图中标注在点A处所表示的数为． 故选：B． 13．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作垂直于数轴，且，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴上的（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，无理数的估算，根据勾股定理求出的长，在利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：由题意和勾股定理，得：， ∵以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点， ∴该点表示的数为：， ∵， ∴， 故选B． 14．72．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴， ∴， ∵数轴上点O、A所表示的数分别是0，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 15.（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数与数轴，勾股定理． 根据勾股定理求出的长，进而作答即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为． ∴点D表示的数为． 故选：D． 16．（23-24七年级下·广东·期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与全等的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，先判定是直角三角形，再进一步判断即可； 【详解】解：根据题意可得：，， A．两条直角边分别为，图中的三角形（阴影部分）与不全等． B．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等． C．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等． D．两条直角边分别为，图中的三角形（阴影部分）与全等． 故答案为：D． 17．（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则______． 【答案】 【分析】在中，根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，利用邻补角互补可得，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理可得： ， 由折叠的性质可得：，，， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解一元一次方程，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握勾股定理与折叠问题是解题的关键． 18．（23-24八年级上·广东·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 19．（24-25八年级上·广东·阶段检测）如图所示，在长方形ABCD中，AD＝6，AB＝10，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为（    ）    A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到DF=10，根据勾股定理求出AF，得到BF，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠是性质可知，DF=DC=AB=10， 在Rt△ADF中，AF==8， ∴BF=AB-AF=2， 设CE=x，则BE=6-x， 由折叠是性质可知，EF=CE=x， 在Rt△BEF中，EF2=BF2+BE2，即x2=22+（6-x）2， 解得，x=， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 20．（23-24八年级上·广东·期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC上的点，把△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC上的点F处，若点F为BC的中点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点F作FG⊥BD于点G，设FG=BG=1，BF=，设CE=a，则AE=EF=AC-CE=2-a，根据勾股定理求出a的值，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点F作FG⊥BD于点G， Rt△ABC中，∠C=90°， ∵AC=BC， ∴∠B=45°， ∵FG⊥BD， ∴∠FGB=90°， ∴∠BFG=45°， ∴FG=BG， 设FG=BG=1， ∴BF=， ∵点F为BC的中点， ∴CF=BF=， ∴AC=BC=2， 设CE=a，则AE=EF=AC-CE=2-a， 在Rt△CEF中，根据勾股定理，得 EF2=CE2+CF2， ∴（2-a）2=a2+（）2， 解得a=， ∴CE=a=， 则． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 21.（25-26八年级上·广东·期末）如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】8 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得：（）， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短（）， 故答案为：8． 22.（22-23八年级下·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查对称求最值，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作关于的对称点，连接交于，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：作关于的对称点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 则为等腰直角三角形， ∵关于的对称点为， ∴也为等腰直角三角形， ∴，， 点在轴上， 且， 连接交于，连接，则此时的值最小， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是． 故答案为：． 23．（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)．理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明， （1）根据证明，可得答案； （2）根据，可得答案． 【详解】（1）解：． 理由如下： 如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ． ，． 又， ； （2）证明：， ， ， ． 考点02 勾股定理的逆定理 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两角互余的三角形是直角三角形 B．有一个角是直角的三角形是直角三角形 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为，根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：设相邻两个结的距离为m，则此三角形三边的长分别为 ， ∵， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故选：D. 2.（24-25八年级上·广东梅州·期末）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．6，8，10 B．7，24，25 C．2，5，4 D．9，12，15 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于选项A：∵最长边为10，， ∴，能作为直角三角形三边长． 对于选项B：∵最长边为25，， ∴，能作为直角三角形三边长． 对于选项C：∵最长边为5，， ∴，不能作为直角三角形三边长． 对于选项D：∵最长边为15，， ∴，能作为直角三角形三边长． 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，8 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理． 根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形．分别验证各选项即可． 【详解】解：A、，，，不能组成直角三角形； B、，，，不能组成直角三角形； C、，，，不能组成直角三角形； D、，，，能组成直角三角形； 故选：D． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）边长为a，，5的三角形是直角三角形，则________． 【答案】3或12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，分三种情况讨论哪条边为斜边，解方程即可得解． 【详解】解：当斜边为5时，则 解得或（舍去）， 此时边长为3，4，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得， 此时边长为12，13，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得（舍去）． 故或． 故答案为：3或12． 5．（22-23八年级下·广东广州·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）平方里． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是且，那么这个三角形是直角三角形即可解答． 【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形，直角边为里，斜边为里， ∴这块沙田的面积为（平方里）， 故选． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是且，那么这个三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 6．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿__________方向航行． 【答案】南偏西 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故答案为：南偏西． 7．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出________，________，________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5；10； (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理即可． （1）根据网格的长度结合勾股定理求解长度即可； （2）结合三条边的长度由勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，，； 故答案为：5，10，； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）知，，，， 则， 是直角三角形． 8．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的周长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了网络图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）利用利用勾股定理求出的长，相加即得； （2）连接，根据勾股定理与勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形，进而可得出结论． 【详解】（1）解：，，，； 四边形的周长为 ． （2）解：连接， ，，， ． ． ， ． 9．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 10．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，边上的中线，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，三角形中线的定义等知识，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先推出，确定是直角三角形，且，再根据勾股定理得即可． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长为． 11．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， ∵，， ，， ， 是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 这块菜地的面积为， 12．（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）根据勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 在中，，，， ∴， ∴． ∴是直角三角形． （2）∵是直角三角形，在同一直线上， ∴， ∴． 即池塘两端，之间的距离为． 13.（24-25八年级下·广东惠州·期末）跨学科融合——项目式学习 供水路线设计 背景 在惠州东江流域，有一个依山傍水的传统村落——青溪村（图中点处）．过去，村民们一直依赖河边原有的两个取水点、获取生活用水，且．但由于东江流域季节性洪水冲刷，从村庄到取水点的道路被严重损毁，已无法通行． 测量数据 为保障村民日常用水，青溪村与地理科研团队合作开展“智慧供水”项目，决定在河边新建取水点（、、在一条直线上），并修建一条新路．经地理勘测团队测量，千米，千米，千米． 任务一 最佳路线评估地理团队在进行供水路线规划时，需要确定是否为从村庄到河边的最近路． （）请你结合数学知识，通过计算加以说明：是否为从村庄到河边的最近路？ 任务二 工程成本分析在项目成本核算阶段，施工团队需要了解新路比原路少多少千米，从而估算节省的材料与人力成本． （）请运用数学方法，结合地理实际测量数据，求出新路相比原路缩短多少千米？ 【答案】（）是从村庄到河边的最近路，理由见解析；（）千米 【分析】（）利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，， 再根据垂线段最短即可说明； （）设千米，则千米，在中，利用勾股定理求出的值即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：（）是从村庄到河边的最近路，理由如下： 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵垂线段最短， ∴是从村庄到河边的最近路； （）设千米，则千米， ∴千米， 在中，由勾股定理得：， . ∴， 解得， ∴千米， ∴千米， 答：新路相比原路缩短千米． 14.（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ， ， ， 是直角三角形； （2）解：的面积， ， ， ， 方案一所修的管道较短． 15.（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆．若时，，相距，试判定与的位置关系，并说明理由．     【答案】，详见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；根据题意求得的长，勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可求解． 【详解】解：， 理由：连接，如图， ∵，， ∴ ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 考点03 勾股定理的实际应用 1．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（    ）    A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】D 【分析】首先在直角三角形中计算出长，再由题意可得长，再次在直角三角形中计算出长，从而可得的长度． 【详解】解：∵米，米， ∴（米）， ∵梯子的顶部下滑0.4米， ∴米， ∴米， ∴米． ∴梯子的底部向外滑出（米）． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．抓住“梯子长度不变”是解题关键． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴（米）， 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子以上．如图是某款自带勺子的杯子的简化图，杯身是一个圆柱形杯子的内径是，杯子内侧高度为，则勺子的长度至少为（    ）厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．当勺子的底端在点时，勺子的长度最长．然后根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，当勺子的底端在点时，勺子的长度最长， 在中，，， ∴， 所以勺子的长度至少为． 故选：D． 4．（25-26八年级上·广东·期末）图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状．它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台．上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为．已知配套吸管的长度为，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为（不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三角形三边关系的应用，如图所示，表示杯子的下底面直径，表示吸管，点C表示上碗口的圆心，点D表示杯子的下底面圆心，当A、C、E三点共线时，有最小值，即此时，求出此时的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，表示杯子的下底面直径，表示吸管，点C表示上碗口的圆心，点D表示杯子的下底面圆心， 由题意得，， ∵， ∴当A、C、E三点共线时，有最小值，即此时， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴杯子的下底面直径为， 故选：C． 5.（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图所示，有一个水池，在水池正中央有一根芦苇，它离岸边的距离尺，高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．由此可知水池的深度的长为（   ）． A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解． 找到题中的直角三角形，设深度的长为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设深度的长为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 故选：C 6．（22-23八年级下·广东东莞·期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树原高为 _____米． 【答案】8 【分析】树高等于，在直角中，用勾股定理求出即可． 【详解】解：根据题意得：米，米，， 由勾股定理得， 米， 所以米． 故答案为8． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形． 7．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键． 过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点D， ∴， ∵海里， ∴在中，海里， （海里）， ∵，， ∴， ∵， ∴海里， ∴海里， 则该船行驶的速度为：（海里/小时）． 故选：B 8．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是___________nmile． 【答案】25 【分析】先根据题意可知是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】根据题意可知， ∴． 在中，，， ∴（nmile）． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了应用勾股定理解决实际问题，勾股定理是求距离的常用方法． 9.（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理最短路径问题、轴对称的性质，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，将圆柱的侧面展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出结果． 【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面展开， 则有，，， 作点关于的对称点，作交的延长线于点， 则，， ， ． 故选：A． 10．（24-25八年级下·广东韶关·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解题的关键． 正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【详解】解：根据题意如图， ∵正方体棱长为， ∴， 在中中， ∴它运动的最短路程． 故选：B． 11．（23-24八年级上·广东·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了学生对问题简单处理的能力；直接求是求不出的，所以要将半圆展开，利用已学的知识来解决这个问题．滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，、、三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出的距离． 【详解】将半圆面展开可得： 米，米， 在中，米， 即滑行的最短距离为米， 故选∶B． 12．（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．首先利用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理，可得另一直角边长为， 则需购买红地毯的长为， 又因为红地毯的宽，即台阶的宽为， 所以共需购买红地毯． 故选：A． 13．（24-25八年级下·广东·期末）在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为（即），接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为（即）． (1)请你帮助聪聪判断的形状，并说明理由； (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【答案】(1)等腰三角形；理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理. （1）由题意可得，因此，根据等角对等边即可得出答案； （2）根据含角的直角三角形的性质，可得， 在中，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）由（1）可知， ∴， ∴， 在中，米． 14.（25-26八年级上·广东·期末）综合与实践 【实践任务】测量旗杆高度． 【工具素材】卷尺，升旗的绳子． 【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度． 【实施方案1】 步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为； 步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离为． （1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为______． 【实施方案2】 步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长； 步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距． （2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度． 【实施方案3】 步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C）， 另一端拉直至地面的点B处，并测得长度为； 步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进至点D，发现此时绳子另一端上升至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态） （3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度． 【答案】（1）15；（2）旗杆b的高度为12米；（3）旗杆c的高度为12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理即可解答； （2）设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为米，根据勾股定理列方程即可解答； （3）设米，米，根据题意列出方程组即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得旗杆a的高度为米， 故答案为：； （2）解：设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为米， 依题意可得：， 解得：． 答：旗杆b的高度为12米． （3）解：设米，米， 则可得： ， 解得：． 答：旗杆c的高度为12米． 15．（24-25八年级下·广东·期末）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 【答案】竹子折断处离地面有4.2尺． 【分析】本题考查勾股定理的应用，设竹子折断处离地面有尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面有尺， 由题意得：，，，， ∴， 则：， 解得：． 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 16.（22-23八年级下·广东汕头·期末）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．    (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)没有超速． 【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】（1）解：在中，，； 据勾股定理可得： = （2）解：小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车行驶没有超速． 答：这辆小汽车没有超速． 【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 17.（23-24八年级下·广东·期末）如图，某沿海城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？ 【答案】台风中心经过小时从点移到点． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 【详解】在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 时，， 答：台风中心经过小时从点移到点． 18.（23-24八年级上·广东·期末）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为，A，B两岛的距离为． (1)求出B，C两岛的距离； (2)在岛屿B产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心B为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点D，在中，利用勾股定理可求出，，再在中，利用勾股定理即可求出，从而解决问题； （2）由，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间． 【详解】（1）解：过点C作于点D， 由题意可得：， ， ， 在中， ， 由勾股定理得：， ， 解得： 在中， ， 由勾股定理得：， 答：B，C两岛的距离为； （2）解：会受影响， 以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风影响岛屿C持续时间为． 19.（24-25八年级下·广东广州·期末）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子长；（2）滑块B向左滑动的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在中，利用 求解，最后算出绳子长度即可； （2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可． 【详解】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 绳子长度（）． 答：绳子总长度为18分米． （2）如图2，由题意可知，， 若物体C升高，则此时（）， 在中，由勾股定理得，（）， （）． 答：滑块B向左滑动的距离为． 20.（25-26八年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 (1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ (2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 【答案】(1)消防车距离着火楼距离是15米 (2)消防车靠近的为8米才能完成处救援任务 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）延长交于点，则，．在中根据勾股定理求出即可； （2）在中根据勾股定理求出，在根据即可解答． 【详解】（1）解：延长交于点，则，． ∵， ∴在中，， 即此时消防车距离着火楼距离是15米． （2）解：∵，， ∴在中，， ∴， 即消防车靠近的为8米时才能完成处救援任务． 考点04 勾股定理与几何综合 1．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处． ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 2．（24-25八年级上·广东·期末）【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）2 【分析】本题考查了整式的运算，与几何图形有关的乘法公式；解题的关键是利用等积法得到相关公式并正确运用． （1）运用两个小正方形的面积之和等于大正方形面积减去两个长方形面积即可； （2）根据梯形的面积等于或，建立等式整理即可； （3）根据题意表示出，在中，由勾股定理得，化简整理即可求出． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积：， ， ， ． （3）周长为2， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 长方形的面积为：． 3.（23-24八年级下·广东·期末）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长． 【答案】（1）120°；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）利用等式的性质判断出∠BAD=∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE，即可得出答案； （2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，进而得出BD=CE，∠BCE=90°，即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出结论． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE=60°， ∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°， 故答案为：120； （2）DE2=CD2+BD2；理由如下： 在Rt△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 根据勾股定理得，DE2=CD2+CE2=CD2+BD2； （3）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE， ∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠ECD＝90° ∵BC＝6，CE＝10， ∴BD＝CE＝10， ∴CD＝BD﹣BC=10﹣6＝4， ∴Rt△DCE中，DE＝ ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝ 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键． 4.（21-22八年级下·广东韶关·期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)尺规作图：以已知线段为对角线作一个垂美四边形，使其对角线交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知四边形是垂美四边形，且，则它的面积为________； (3)如图，四边形是垂美四边形，，探究a、b、c、d的数量关系； (4)如图，已知D、E分别是中边的中点，，请运用上题的结论，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）分别以点E、点G为圆心画弧，交于EG上方于点F，交EG下方于点G，连接EF、EH、GF、GH，四边形EFGH即为所求； （2）将四边形ABCD分为上下两个三角形，分别求出两个三角形的面积再相加即可； （3）将四边形ABCD分为四个小的直角三角形，再根据勾股定理分别用OA、OB、OC、OD表示出、、、即可知道a、b、c、d之间的数量关系； （4）连接DE，根据题意可得四边形AEDB是垂美四边形，结合（3）的结论即可求出AB长度． 【详解】（1）解：如图1： （2）解：如图2， Rt△ACD中，， Rt△ABC中，，． （3）∵， ∴中，； 中，， 中，， 中，， ∴， ； ∴； （4）解：连接，如图3， ∵D、E分别是中边的中点， ∴； ∵， ∴四边形是垂美四边形； ∴； 即， 得． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练地掌握勾股定理，读懂题目的新定义，巧妙地运用等量代换得出结论是解题的关键． 5.（22-23八年级下·广东江门·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值． 【答案】（小试牛刀），，， ；（知识运用）200；（知识迁移）15 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【详解】解：（小试牛刀）； ； ， 满足的关系式为：． （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得：， ，则的最小值，即为的最小值， 由三角形三边关系可得：，当三点共线时， ∴的最小值为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴米， 故答案为：； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点， 设，则， ∴， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴代数式的最小值为15． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 6.（25-26八年级上·广东·期末）【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，利用点的坐标的特征和勾股定理解答即可； （2）构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可； （3）在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，如图， 则，， ∴． 故答案为：5； （2）解：构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴当取得最小值时，的最小值的最小值． 作点E关于直线的对称点，连接，交于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， 则，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，如图， 则，，，， ∴，， ∴代数式的最小值的最小值， 作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， ∴ 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，关于x轴对称的点的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 7.（23-24八年级上·广东佛山·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短?（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物. （1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米.将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b （2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； （3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等? 【答案】（1）作图见解析，，二 （2），  （3） 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键． （1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）图2中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， 故答案为：，二； （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是， 故答案为：，； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $