湖北武汉市华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷

**基本信息** 高一数学期末模拟卷聚焦必修二，以果切消费、正八面体等情境融合几何、统计、概率，梯度设计基础题与创新题，如“迷你向量”新定义，考查数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|圆台侧面积、中位数方差计算|基础巩固，强调公式应用| |多选|3/18|复数模与运算、事件独立性|概念辨析，培养批判性思维| |填空|3/15|投影向量、解三角形面积最值|知识综合，突出空间观念| |解答|5/77|果切统计分析、立体几何证明与二面角计算|情境应用，考查逻辑推理与数据意识|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （测试范围：必修第二册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为（　B　） A．2π B．6π C．9π D．11π 【解析】由题意圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，可得圆台的侧面积S＝π（r+R）l＝π（1+2）×2＝6π． 2．已知数据x1，x2，…，x10的中位数为2，方差为3，那么数据2x1+3，2x2+3，…，2x10+3的中位数和方差分别为（　C　） A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12 【解析】∵数据x1，x2，…，x10的中位数为2，方差为3，∴数据2x1+3，2x2+3，…，2x10+3的中位数为2×2+3＝7，方差为22×3＝12，∴数据2x1+3，2x2+3，…，2x10+3的中位数和方差分别为7，12． 3．某品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间[5，25]（单位：百万元）内，将其分成5组：[5，9），[9，13），[13，17），[17，21），[21，25]，并整理得到如图的频率分布直方图，下列说法正确的是（　D　） A．频率分布直方图中a的值为0.06 B．估计全部销售员工销售额的中位数为15 C．估计全部销售员工中销售额在区间[9，13）内有6人 D．估计全部销售员工销售额的第76百分位数为17 【解析】 由频率分布直方图可得（0.02+a+0.09+0.03+0.03）×4＝1，解得a＝0.08，故A错误；设中位数为x，则（0.02+0.08）×4+（x﹣13）×0.09＝0.5，解得x≈14，故B错误；估计其全部销售员工中销售额在区间[9，13）内的人数为：0.08×4×200＝64（人），故C错误；因为（0.02+0.08+0.09）×4＝0.76，故17为第76百分位数，故D正确． 4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′＝1，O′A′⊥A′B′，则AB＝（　A　） A．3 B． C． D． 【解析】 由题意可知，△O′A′B′是腰长为1的等腰直角三角形，∴斜边，将直观图还原后如图所示，则OA＝1，，故． 5．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（　B　） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【解析】 由题意两人中至少一人命中的概率为0.5×0.4+0.5×（1﹣0.4）+（1﹣0.5）×0.4＝0.7． 6．设a，b表示两条不重合的直线，α，β表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　D　） A．若a，b是两条平行直线，且a∥α，则b∥α B．若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C．若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，则b⊥β D．若a，b是两条异面直线，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β 【解析】 若a，b是两条平行直线，且a∥α，则b∥α或b⊂α，所以A错误；若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线可以是异面直线，也可以是相交直线，所以B错误；若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，但b⊂β时，不能得到b⊥β，所以C错误；若a，b是两条异面直线，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β，所以D正确． 7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD，AA1＝1，则AD1与A1C1所成角的余弦值为（　A　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，连接AC，CD1．在长方体中，因为A1C1∥AC，所以AD1与A1C1所成角等于AD1与AC所成的角；在△ACD1中，，由余弦定理得． 8．已知平面内三个不同的单位向量，，，满足，，，则可能的取值为（　C　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】 如图所示，设A（1，0），C（0，1），因为，，，，所以可取，，，由题意B点在第四象限，故设B（cosθ，sinθ），，则，所以，因为，所以，所以，所以，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，则（　ABD　） A．|z|＝1 B． C．z2+z+1＝0 D．z3+1＝0 【解析】 因为，所以，故A正确；，故B正确；，．，故C错误；z3+1＝﹣1+1＝0，故D正确． 10．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（　BD　） A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 【解析】 如图所示，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体， 观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，对于A：事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为1，2，3，4，事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为2，3，5，7，显然得到点数为2，3时，事件B与事件C同时发生，∴事件B与C不互斥，故A错误；对于B：事件A为“得到的点数为奇数”，事件B为“得到的点数不大于4”，故得到点数为1，2，3，4，5，7，表示事件A+B发生，即，故B正确；对于C：由事件A为“得到的点数为奇数”，则，事件C为“得到的点数为质数”，则，而得到点数为3，5，7，表示事件AC发生，即，此时P（AC）≠P（A）P（C），∴事件A与事件C不相互独立，故C错误；对于D：而得到点数为1，3，表示事件AB发生，即，∴，故D正确． 11．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为B1C1的中点，则下列说法中正确的是（　ACD　） A．若点O为C1D1的中点，则MO∥平面A1DB B．连接BM，则直线BM与平面BDD1B1成角正弦值为 C．若点N为线段BC上的动点（包含端点），则MN+DN的最小值为 D．若点Q在侧面正方形ADD1A1内（包含边界），且MQ⊥A1C，则点Q的轨迹长度为 【解析】 对于A：四边形BDD1B1是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面，则四边形BDD1B1是矩形，B1D1∥BD，由点O、M分别为C1D1、B1C1的中点，得OM∥B1D1∥BD，BD⊂平面A1DB，MO⊄平面A1DB，因此MO∥平面A1DB，A正确；对于B，如图所示，连接A1C1，则A1C1⊥B1D1， 由BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，得A1C1⊥BB1，又BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BDD1B1，则A1C1⊥平面BDD1B1，过M作ME∥A1C1交B1D1于E，连接BE，于是ME⊥平面BDD1B1， ∠MBE是直线BM与平面BDD1B1所成的角，，，，B错误；对于C：如图所示，把正方形ABCD与正方形BCC1B1置于同一平面内，且在直线BC两侧，连接DM，则MN+DN的最小值为，C正确；对于D：如图所示，延长MO与A1D1的延长线交于H，由MO∥B1D1，B1M∥D1H，得B1MHD1为平行四边形，D1H＝B1M＝1，取AD中点G，连接GH交DD1于F，连接AD1，由AG∥D1H，AG＝D1H，得四边形AD1HG是平行四边形，GH∥AD1，F为DD1的中点，由CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，得CC1⊥B1D1，又A1C1⊥B1D1，A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1CC1，则B1D1⊥平面A1CC1，而A1C⊂平面A1CC1，则A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AD1，因此A1C⊥MO，A1C⊥GH，而MO∩GH＝H，MO，GH⊂平面MGH，于是A1C⊥平面MGH，又A1C⊥MQ，则MQ⊂平面MGH，又Q∈平面ADD1A1，因此点Q的轨迹是平面MGH与正方形ADD1A1相交所得线段GF，而，所以点Q的轨迹长度为，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为　　 ． 【解析】 根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种； 所以所求的概率是P 13．已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则 　　 ． 【解析】 因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以． 14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（asinA+bsinB﹣csinC）＝asinBsinC，c＝4，则△ABC的面积的最大值为 　　 ． 【解析】 根据题意可知，，∴，而C∈（0，π），sin2C+cos2C＝1，解得，由余弦定理有，∴ab≤12，等号成立当且仅当，∴ab的最大值为12，∴△ABC的面积的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求． （1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的第70百分位数与方差s2； （2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照[5，15），[15，25），[25，35），[35，45），[45，55]分组，得到频率分布直方图．估计这600名中国果切消费者年龄的中位数a及平均数（结果保留整数）． 【解析】 （1）按从小到大顺序排列：1，3，4，4，5，6，6，7，7，7，由于10×70%＝7，故第70百分位数为，平均数，． （2）①由0.020×10＝0.2＜0.5，（0.020+0.035）×10＝0.55＞0.5，可得15＜a＜25，所以0.20+（a﹣15）×0.035＝0.5，解得，所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24． ②其平均数为10×0.020×10+20×0.035×10+30×0.025×10+40×0.015×10+50×0.005×10＝25． 16．（本小题满分15分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA﹣bcosC＝ccosB． （1）求角A的大小； （2）若，求b+c的取值范围． 【解析】 （1）由题意，2acosA﹣bcosC＝ccosB，由正弦定理得：2sinAcosA﹣sinBcosC＝sinCcosB， 即sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝2sinAcosA，又sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA，且sinA≠0，所以，由，可得； （2）由正弦定理得；4，所以b＝4sinB，c＝4sinC，则b+c＝4（sinB+sinC）＝4[sinB+sin（A+B）] ，因为△ABC为锐角三角形，所以，即，解得，所以，所以，故，即b+c的取值范围为． 17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝4，BC＝DC＝2，PA＝PB＝3，点M为PB的中点． （1）求证：CM∥平面PAD； （2）求二面角P﹣BD﹣C的余弦值． 【解析】 （1）证明：取AP中点G，连接GM，GD，如图1所示，因为M是PB中点，则MG∥AB且，又AB∥CD，AB＝2CD，所以MG∥CD且MG＝CD，所以MGDC是平行四边形，所以CM∥DG，DG⊂平面ADE，CM⊄平面ADE，所以CM∥平面PAD； （2）如图2所示：取AB中点F，连接PF，CF，CF交BD于点O，连接OP，由已知AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2CD，得CDFB是正方形，CF⊥BD，PA＝PB，则PF⊥AB，因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB＝AB，PF⊂平面PAB，所以PF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PF⊥BD，又BD⊥FC，PF∩FC＝F，所以BD⊥平面PFC，又OP⊂平面PFC，所以BD⊥OP，所以∠POC是二面角P﹣BD﹣A的平面角，又，，所以，，因为二面角P﹣BD﹣C的平面角与二面角P﹣BD﹣A的平面角互补，所以二面角P﹣BD﹣C的余弦值为． 18．（本小题17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，PB⊥AC，E，F分别为线段PA，DC的中点． （1）证明：PA＝PC； （2）证明：EF∥平面PBC； （3）若PD＝1，∠DAB＝60°，记PA与平面PBC所成角为θ，求sinθ的最大值． 【解析】 （1）证明：如图所示，连接BD，设AC∩BD＝O，连接PO，因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故PD⊥AC，而PB⊥AC，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PDB，故AC⊥平面PDB，而PO⊂平面PDB，故AC⊥PO，由四边形ABCD为平行四边形可得AO＝OC，故△PAC为等腰三角形，即PA＝PC； （2） 证明：如图所示，取PD的中点G，连结EG，FG，由中位线性质可得EG∥AD，且AD∥BC，所以EG∥BC，因为EG⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EG∥平面PBC，同理可证FG∥平面PBC，因为EG∩FG＝G，EG⊂平面PBC，FG⊂平面PBC，所以平面EFG∥平面PBC．又EF⊂平面EFG，所以EF∥平面PBC， （3）设AD＝x，x＞0，由（1）可得AC⊥平面PDB，而BD⊂平面PDB，故AC⊥BD，故四边形ABCD为菱形，而∠DAB＝60°，故BD＝AB＝x．因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，故PD⊥AD，故，同理．而BC＝x，故．设d为点A到平面PBC的距离，PA与平面PBC所成的角为θ，故．又，而，故，故，故，当且仅当即时等号成立，所以． 19．（本小题17分）对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”． （1）若，，是的“迷你向量”，求实数x的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点O（0，0）沿最短路径爬行到点N（n，n）处（且n≥2）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为Pi（1≤i≤2n），设M（n﹣1，0）．记事件T＝“蚂蚁经过的路径中至少有n个Pi使得是的迷你向量”．（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①当n＝3时，求P（T）； ②证明：． 【解析】 （1）∵是的“迷你向量”，∴，解得； （2）①如图所示，当n＝3时，能使得是的迷你向量的Pi共有四个，即A1，A2，A3，N，要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点A2，故只需要考虑所有最短路径中经过点A2的条数即可，先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右， 也即是在6步中选择三步向上，其余三步向右，故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法：“123”代表前三步向上，剩下三步向右，“246“表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右， ∴Ω＝{123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，34，235，236，245，246，256，345，346，356，456}，总共的最短路径条数为，∴n（Ω）＝20，∴T＝{156，256，356，456}，故经过A2包含的路径条数为4，∴n（T）＝4，因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型，∴； ②证明：同理，总共的最短路径条数为，经过A2包含的路径条数为n+1，试验为古典概型，∴P（T）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/26 11:11:15；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （测试范围：必修第二册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为（　　） A．2π B．6π C．9π D．11π 2．已知数据x1，x2，…，x10的中位数为2，方差为3，那么数据2x1+3，2x2+3，…，2x10+3的中位数和方差分别为（　　） A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12 3．某品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间[5，25]（单位：百万元）内，将其分成5组：[5，9），[9，13），[13，17），[17，21），[21，25]，并整理得到如图的频率分布直方图，下列说法正确的是（　　） A．频率分布直方图中a的值为0.06 B．估计全部销售员工销售额的中位数为15 C．估计全部销售员工中销售额在区间[9，13）内有6人 D．估计全部销售员工销售额的第76百分位数为17 4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′＝1，O′A′⊥A′B′，则AB＝（　　） A．3 B． C． D． 5．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（　　） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 6．设a，b表示两条不重合的直线，α，β表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若a，b是两条平行直线，且a∥α，则b∥α B．若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C．若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，则b⊥β D．若a，b是两条异面直线，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β 7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD，AA1＝1，则AD1与A1C1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 8．已知平面内三个不同的单位向量，，，满足，，，则可能的取值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，则（　　） A．|z|＝1 B． C．z2+z+1＝0 D．z3+1＝0 10．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（　　） A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 11．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为B1C1的中点，则下列说法中正确的是（　　） A．若点O为C1D1的中点，则MO∥平面A1DB B．连接BM，则直线BM与平面BDD1B1成角正弦值为 C．若点N为线段BC上的动点（包含端点），则MN+DN的最小值为 D．若点Q在侧面正方形ADD1A1内（包含边界），且MQ⊥A1C，则点Q的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为　 　 ． 13．已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则 　 　 ． 14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（asinA+bsinB﹣csinC）＝asinBsinC，c＝4，则△ABC的面积的最大值为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求． （1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的第70百分位数与方差s2； （2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照[5，15），[15，25），[25，35），[35，45），[45，55]分组，得到频率分布直方图．估计这600名中国果切消费者年龄的中位数a及平均数（结果保留整数）． 16．（本小题满分15分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA﹣bcosC＝ccosB． （1）求角A的大小； （2）若，求b+c的取值范围． 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝4，BC＝DC＝2，PA＝PB＝3，点M为PB的中点． （1）求证：CM∥平面PAD； （2）求二面角P﹣BD﹣C的余弦值． 18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，PB⊥AC，E，F分别为线段PA，DC的中点． （1）证明：PA＝PC； （2）证明：EF∥平面PBC； （3）若PD＝1，∠DAB＝60°，记PA与平面PBC所成角为θ，求sinθ的最大值． 19．（本小题满分17分）对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”． （1）若，，是的“迷你向量”，求实数x的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点O（0，0）沿最短路径爬行到点N（n，n）处（且n≥2）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为Pi（1≤i≤2n），设M（n﹣1，0）．记事件T＝“蚂蚁经过的路径中至少有n个Pi使得是的迷你向量”．（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①当n＝3时，求P（T）； ②证明：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $