第五章：分式与分式方程单元练习题2025- 2026学年八年级数学北师大版下册山东省滕州市东郭中学

**基本信息** 本单元卷聚焦八年级下册“分式与分式方程”，通过10道单选、6道填空、7道解答题，覆盖分式性质、运算、方程应用等核心知识，融合文化情境与实际问题，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|分式值变化、方程应用等|第6题结合《九章算术》驿站送信情境，体现文化传承| |填空题|6题|化简求值、规律探究等|第13题规律探究培养抽象能力，第14题新定义运算发展创新意识| |解答题|7题|方程求解、实际应用等|第21题采茶工资优化问题，第23题增根系统探究，强化模型意识与推理能力|

2025-2026学年山东省滕州市东郭中学八年级第二学期单元练习题 第五章：分式与分式方程 一、单选题 1．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大6倍 D．缩小3倍 2．若分式的值为零，则x的值为（     ） A．或 B． C． D． 3．下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D．3 5．在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6．《九章算术》是中国古代数学专著，其中有一道关于古代驿站送信的题目，大意是：一份文件需要紧急送往600里远的城市，若用慢马，所需时间比规定时间多2天；若用快马，所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马、快马的速度分别是多少？若设慢马的速度为x里/天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若（），且，下列关于代数式的说法正确的是（     ） A．是无理数 B．精确到为 C．有两个平方根 D．在数轴上不存在一个点与之对应 8．已知一个不完整的题目：某车间计划加工1800个零件，在实际生产时，……，求实际每天加工零件的个数．若设实际每天加工x个零件，可得方程 ，则题目中“……”表示的条件应是（   ） A．每天比原计划少生产10个，结果提前3天完成 B．每天比原计划多生产10个，结果提前3天完成 C．每天比原计划多生产10个，结果延期3天完成 D．每天比原计划少生产10个，结果延期3天完成 9．若关于的分式方程无解，则m的值是（    ） A．3或 B．3或10 C．3 D． 10．已知关于x的分式方程的解为负数，则a的值为（    ）． A． B． C． D．且 二、填空题 11．化简分式的结果是________． 12．已知实数，满足，则的值为______． 13．观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 14．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 15．若，则的值是______． 16．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．解分式方程 (1)； (2) ． 19．计算：，其中a是不等式组的整数解． 20．探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题： (1)______，______； (2)利用你发现的规律计算：______； (3)灵活利用规律解方程：． 21．“阁楼三层读书论奇，泉水九壑听瀑蒸茗”，这是宋代一位名士为桐柏山茶写的一副对联．桐柏玉叶作为“桐柏茶”的代表品种，深受国内外饮茶者的好评．清明前后就是桐柏玉叶的采摘季节．已知一个熟练采茶工人每天采茶的数量是一个新手采茶工人的倍，一个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比一个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； (2)某茶厂计划一天采摘鲜叶斤，该茶厂有名熟练采茶工人和名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天的工资为元，新手采茶工人每人每天的工资为元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 22．（1）如果，则_____； （2）如果，则_____； 【应用】（3）若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值； 【拓展】（4）若代数式的值为整数，则整数的值为_____． 23．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值． 阅读以上材料后，完成下列探究： 探究1：m为何值时，方程有增根． 探究2：m为何值时，方程的根是． 探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根； 探究4：你发现满足“探究3”条件的的关系是______． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D A C C B A B 1．A 【分析】将x，y扩大3倍后代入原分式，化简后与原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，变为，， 则新分式为， 所以新分式与原分式相等，分式的值不变． 2．C 【分析】由分式的值为零的条件，结合分式有意义的条件，即可得的值． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， ∴． 3．C 【分析】根据分式基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A：举反例，当，时，，，则，故A错误； 对于选项B：举反例，当，时，，，则，故B错误； 对于选项C：由分式的基本性质，分子分母同乘以不为零的整式，分式的值不变，故C正确； 对于选项D：举反例，当，时，，，则，故D错误． 4．D 【详解】解： 5．A 【详解】解：要使函数有意义，需满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式分母不为零． ，解得． 6．C 【分析】设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，根据规定时间相等可得方程． 【详解】解：设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天， 根据题意，得． 7．C 【分析】先对分式因式分解化简，再代入求出的值，结合实数的相关性质判断各选项即可． 【详解】解： ，， 选项A：是分数，属于有理数，故A错误； 选项B：，精确到为，故B错误； 选项C：，正数有两个平方根，故C正确； 选项D：所有实数都对应数轴上的一个点，是实数，存在对应点，故D错误． 8．B 【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推出题目缺失的条件； 【详解】解：∵设实际每天加工零件个，给定方程为 ， ∴原计划每天加工个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成任务的时间为，实际完成任务的时间为， ∵方程表示原计划用时减去实际用时等于天， ∴原计划用时比实际多天，即实际生产提前天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产个，结果提前天完成； 9．A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论：①若整式方程无解，则， ∵时，，等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根，原分式方程的分母为， 令，得增根为， 把代入，得， 解得； 综上，的值为或． 10．B 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据解为负数结合分式有意义的条件，确定a的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 解得． ∵方程的解为负数， ，即， 得； 又分式方程分母不为零， ， 即， 得； 必然满足， ∴a的取值范围是． 11． 【详解】解：. 12． 【分析】利用分式的基本性质对分式进行化简求值． 【详解】解： ， 原式． 13．（，且n取整数） 【详解】解：∵； ； … ∴第个等式为（，且n取整数）． 14． 【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 15． 【分析】先对已知等式通分整理，得到与的数量关系，再将所求分式变形，利用整体代入法求值． 【详解】解：由分式有意义的条件可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 16． 【分析】解不等式组，根据不等式组的解集确定的初步取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正数且分母不为零确定的最终取值范围，排除增根对应的值，找出范围内所有整数计算其和． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ， 解得， 解分式方程得， 分式方程的解为正数，且分母不为， 且， 解得且， 可得的取值范围为且， 满足条件的整数为， 计算和为：． 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 ． 18．(1) (2) 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 19．， 【分析】先对原式进行分式化简，再解不等式组得到a的整数解，根据分式有意义的条件确定a的有效取值，最后代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： 对于 解第一个不等式得 解第二个不等式得 因此不等式组的解集为，整数解为 分式有意义要求分母不为0， 因此，，， 即，， 因此仅能取 将代入化简后的式子得 ． 20．(1)， (2) (3)方程的解为 【分析】本题考查找规律：数字的变化类、裂项相消法计算、解分式方程，熟练掌握有理数的混合运算法则，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）观察已知等式，写出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）根据得出的规律化简方程，求出解即可． 【详解】（1）解：根据上述规律， 可得，， 故答案为：，． （2）解： ， 故答案为：． （3）解：化简： 故可得 解上述分式方程，化简得， 解得，经检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解， 故方程的解为． 21．(1)熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤 (2)茶厂一天应安排名熟练采茶工人采摘鲜叶，名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少 【分析】（1）通过设未知数，利用“时间差”列分式方程，求解并检验，得到熟练工和新手的采摘效率； （2）设新手人数为，然后用表示熟练工人数和总工资，得到一次函数，结合约束条件求整数解，找到费用最小值． 【详解】（1）解：设新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 根据题意列方程得， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，     即熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 故熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤． （2）解：设一天安排名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为元， 则每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶， 根据题意列方程得， ， 随的增大而减小， 是非负整数，且不超过，，且为整数， 当时，有最小值， 此时． 故茶厂一天应安排名熟练采茶工人采摘鲜叶，名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少． 22．1. 2. 3.或 4. 【分析】本题考查了解可化为一元一次方程的分式方程及应用，正确计算是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，最后消去x求出n； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，最后消去x求出n； （3）化简为，根据取整数值确定x的值； （4）化简为，根据取整数值确定的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：， 当，即或时，是整数， 当或时，代数式的值为整数； （4）解： ， 当，即时，为整数， 当时，为整数， 故答案为：． 23．探究1：-9；探究2：23；探究3：；探究4： 【分析】解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为且，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系． 【详解】解：探究1：方程两边都乘， 得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 故m的值是． 探究2：方程两边都乘， 得 ∵原方程的根为， ， 探究3：由（1）（2）得 ， 方程的三个对应根为且， ∴， =15-8b， 探究4：， ， 整理得， 故答案为． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程，准确判定方程的增根是解题的关键． 答案第12页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $