安徽省淮北市淮北师范大学附属实验中学2025年高一自主招生考试数学试卷

1 数学试卷 本试卷满分 100 分，考试时间 70 分钟，所有答案务必写到答题卷上，包括辅助线。 一、 选择题（每题 5分，共 20分） 1. 若 𝑎 是实数，化简 02 )1(|23|324 ++−++ a 的结果为（ D ） A． 333+ B． 3 C． 3 D． 4 2.直线 𝑃𝐴，𝑃𝐵分别与⊙𝑂相切于𝐴，𝐵两点．点𝐶在⊙𝑂上，不与点𝐴，𝐵重合．若∠𝑃 = 80°， 则∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ D ） A. 50° B. 100° C. 130° D. 50°或130° 【详解】解：如图，连接𝑂𝐴，𝑂𝐵， ∵𝑃𝐴，𝑃𝐵分别与⊙𝑂相切于𝐴，𝐵两点，∴∠𝑃𝐴𝑂 = 90° =∠𝑃𝐵𝑂， ∵∠𝑃 = 80°， ∴∠𝐴𝑂𝐵 = 360°− 2 × 90°− 80° = 100°， ∴∠𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝑂𝐵 = 50°，∠𝐶 ′ = 180°− 50° = 130°，故选：D 3. 【问题】关于 x的一元二次方程−𝑥(𝑥 −𝑚) − 3 = 0在2 ≤ 𝑥 ≤ 4的范围内有解．求 m的 取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数𝑦 = −𝑥(𝑥 −𝑚)与直线 3y = 的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：𝑚 = 2√3；乙： 7 19 2 4 m  ；丙：2 4m  ．下列判断正确的是（ ） 2 A. 甲正确 B. 乙和丙合在一起正确 C. 乙正确 D. 甲和丙合在一起正确 【详解】解： ∵关于 x的一元二次方程−𝑥(𝑥 −𝑚) − 3 = 0在2 ≤ 𝑥 ≤ 4内有解， ∴抛物线𝑦 = −𝑥(𝑥 − 𝑚) = −𝑥2 +𝑚𝑥和直线 3y = 有交点， ∴ { 𝑚 2 > 0 𝑚2 − 4 × (−1) × (−3) ≥ 0 −2(2 −𝑚) ≥ 3 −4(4 −𝑚) ≤ 3 或 { 𝑚 2 > 0 𝑚2 − 4 × (−1) × (−3) ≥ 0 −2(2 −𝑚) ≤ 3 −4(4 −𝑚) ≥ 3 ， 解得 7 19 2 4 m  ， 故选：C． 4. 如图所示，在平面直角坐标系中，将△ 𝐴𝐵𝑂平移，得到△ 𝐸𝐹𝐺，点 ,E F 在坐标轴上．若 ∠𝐴 = 90°, 𝐴(−4,3)，𝑡𝑎𝑛𝐵 = 1 2 ,则点𝐺坐标为（ ） A. (11,−4) B. (10,−3) C. (12,−3) D. (9,−4) 【详解】解：过点𝐴作𝐴𝐻 ⊥ 𝑦轴，作𝐵𝐾 ⊥ 𝐴𝐻交𝐻𝐴的延长线于点𝐾，则：∠𝐴𝐻𝑂 = ∠𝐵𝐾𝐴 = 90° =∠𝐵𝐴𝑂, ∴∠𝐵𝐴𝐾 =∠𝐴𝑂𝐻 = 90°−∠𝐻𝐴𝑂， ∴△𝐴𝐻𝑂 ∽△𝐵𝐾𝐴，∴ 𝐴𝐻 𝐵𝐾 = 𝑂𝐻 𝐴𝐾 = 𝑂𝐴 𝐴𝐵 ， ∵∠𝐴 = 90°,tan∠𝐴𝐵𝑂 = 1 2 , 𝐴(−4,3)， ∴𝑂𝐻 = 3, 𝐴𝐻 = 4, 𝑂𝐴 𝐴𝐵 = 1 2 ， ∴ 4 𝐵𝐾 = 3 𝐴𝐾 = 1 2 ，∴𝐵𝐾 = 8, 𝐴𝐾 = 6， 3 ∵平移，∴𝑂𝐹 = 𝐵𝐾 = 8,𝑂𝐸 = 𝐴𝐾 = 6， ∴𝐸(6,0)， ∴将点𝐴先向右平移 10 个单位，再向下平移 3 个单位得到点𝐸， ∴将点𝑂(0,0)先向右平移 10 个单位，再向下平移 3 个单位得到点𝐺， ∴𝐺(10,−3)； 故选 B． 二、 填空题（每题 5分，共 30分） 5. 因式分解：2𝑥2 − 12𝑥 − 14 =______．【答案】2（𝑥 + 1）（𝑥 − 7） 6. 不等式 2 2 6x x a+ −  对于一切实数 x都成立，则a的最大值为____． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关 键；由题意易得要使不等式 2 2 6x x a+ −  对于一切实数 x 都成立，则需满足 ( )2 min 2 6a x x + − ，进而根据二次函数的最值问题可求解． 【详解】解：由题意得： ( )2 min 2 6a x x + − ， ∵ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 7, 32 6, 3 2 6 2 6, 3 1 5, 3 x xx x x x x x x x x x  + −  + −   + − = =  − +  − +   ， ∴当 3x  时，函数 ( ) 2 1 7y x= + − 的最小值是当 3x = 时取得， ( ) 2 3 1 7 9+ − = 即为 9； 当 3x  时，函数 ( ) 2 1 5y x= − + 的最小值是当 1x = 时取得，即为 5； ∴ ( )2 min 2 6 5x x+ − = ，∴ 5a  ，即 a的最大值为 5． 7. 如图，在 Rt△ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶 = 90°，𝐴𝐵 = 1，𝐵𝐶 = 2．以点 A为圆心，以𝐴𝐵长为半 径作弧；再以点 C为圆心，以𝐵𝐶长为半径作弧，两弧在𝐴𝐶上方交于点 D，连接𝐵𝐷，则𝐵𝐷 的长为________． 【详解】解：连接𝐴𝐷，𝐶𝐷，设𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于 O， 4 根据作图过程，得𝐴𝐷 = 𝐴𝐵，𝐶𝐷 = 𝐶𝐵， ∴𝐴𝐶垂直平分𝐵𝐷，则𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷，𝑂𝐵 = 𝑂𝐷， ∵在Rt △ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶 = 90°，𝐴𝐵 = 1，𝐵𝐶 = 2， ∴𝐴𝐶 = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √12 + 22 = √5， 由𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝐴𝐵 ⋅ 𝐵𝐶 = 1 2 𝐴𝐶 ⋅ 𝑂𝐵得 𝐵𝑂 = 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 1×2 √5 = 2√5 5 ， ∴𝐵𝐷 = 2𝑂𝐵 = 4√5 5 ，故答案为： 4 5 5 ． 8. 如图，⊙𝑂的半径为 1，A，B，C是⊙𝑂上的三个点．若四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为平行四边形，连 接 AC，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 𝜋 6 详解】解：连接𝑂𝐵，交𝐴𝐶于点𝐷，则： 1OA OB= = ， ∵四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为平行四边形，𝑂𝐴 = 𝑂𝐶， ∴四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为菱形， ∴𝑂𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵，𝑆△𝐴𝑂𝐵 = 𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝑆菱形𝑂𝐴𝐵𝐶， 【 5 ∴△𝐴𝑂𝐵为等边三角形，∴∠𝐴𝑂𝐵 = 60°，∴𝐴𝐶 = 2𝐴𝐷 = √3， ∴阴影部分的面积= 𝑆扇形𝑂𝐴𝐵 − 𝑆△𝑂𝐵𝐴 + 𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 𝑆扇形𝑂𝐴𝐵 = 60𝜋 360 × 12 = 𝜋 6 。 9. 如图，平面直角坐标系中，已知点𝐴(1,3)，点𝐵(4,0)，则△𝐴𝑂𝐵的重心坐标为_______． 【分析】本题主要考查了三角形重心的定义，一次函数的应用，取𝐴𝑂的中点 F，𝑂𝐵的中点 D，连线𝐴𝐷，BF 交于点 G，点 G即为所求．根据中点坐标得出𝐹 ( 1 2 , 3 2 )，𝐷(2,0)，利用待定 系数法分别求出直线𝐴𝐷和 BF 的解析式，联立两直线的解析式求出其交点 G即可． 【详解】解：取𝐴𝑂 中点 F，𝑂𝐵的中点 D，连线𝐴𝐷， BF 交于点 G，点 G即为所求． ∵𝐴(1,3)，点𝐵(4,0)，𝑂(0，0, )∴𝐹 ( 1+0 2 , 3+0 2 )，𝐷 ( 4+0 2 , 0+0 2 )即𝐹 ( 1 2 , 3 2 )，𝐷(2,0)， 设𝐴𝐷的解析式为： y ax b= + ， BF 的解析式为：𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛， 根据题意：{ 𝑎 + 𝑏 = 3 2𝑎 + 𝑏 = 0 ，{ 4𝑚 + 𝑛 = 0 1 2 𝑚+ 𝑛 = 3 2 ， 解得：{ 𝑎 = −3 𝑏 = 6 ，{ 𝑚 = − 3 7 𝑛 = 12 7 ， ∴𝐴𝐷的解析式为：𝑦 = −3𝑥 + 6， BF 的解析式为：𝑦 = − 3 7 𝑥 + 12 7 ， 联立：{ 𝑦 = −3𝑥 + 6 𝑦 = − 3 7 𝑥 + 12 7 ，解得：{ 𝑥 = 5 3 𝑦 = 1 即𝐺 ( 5 3 , 1)。 10. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移 a个单位长度，再绕原点按顺时针方向 旋转𝜃角度，这样的图形运动叫做图形的𝛾(𝑎, 𝜃)变换，现将斜边为 1 的等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶 放置在如图的平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶经𝛾(1,180°)变换后得△ 𝐴1𝐵1𝐶1为第一次变换，△ 𝐴1𝐵1𝐶1经𝛾(2,180°)变换得△ 𝐴2𝐵2𝐶2为第二次变换，…，经𝛾(𝑛, 180°)变换得△𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛，则点 𝐶2025的坐标是_______． 的 6 【详解】解：过点𝐶作CD x⊥ 轴， ∵△𝐴𝐵𝐶为斜边为 1 的等腰直角三角形，∴𝐶𝐷 = 1 2 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 1 2 ，∴𝐶 ( 1 2 , 1 2 )， ∴𝐶1是由𝐶 ( 1 2 , 1 2 )先向右平移 1 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转180°，即根据平移后的 点关于原点对称得到的，∴𝐶1 (− 1 2 − 1,− 1 2 )， 同理：𝐶2 ( 1 2 + 1 − 2, 1 2 )，𝐶3 (− 1 2 − 1 + 2 − 3,− 1 2 )，𝐶4 ( 1 2 + 1 − 2 + 3 − 4, 1 2 )， 𝐶5 (− 1 2 − 1 + 2 − 3 + 4 − 5,− 1 2 )⋯， ∴𝐶1 (− 1 2 − 1,− 1 2 )，𝐶3 (− 1 2 − 2,− 1 2 )，𝐶5 (− 1 2 − 3,− 1 2 )⋯ ∴𝐶2𝑛−1 (− 1 2 − 𝑛,− 1 2 )， ∵2025 = 2 × 1013 − 1，∴𝐶2025 (− 1 2 − 1013,− 1 2 )，即：𝐶2025 (− 2027 2 , − 1 2 )； 故答案为：(− 2027 2 , − 1 2 )． 三、解答题（共 50分） 11.（10 分）为了让南湖湿地公园的天更蓝，水更清，南湖管委会定期利用无人机指引工作 人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的𝐶处，工作人员所乘小船在𝐴处测得无人机 的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达𝐵处，测得无人机的仰角为45°，求无人 机离湖面的高度（结果不取近似值） 7 【详解】解：如图，过点𝐶作𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵于点𝐷， 依题意∠𝐶𝐴𝐷 = 30°,∠𝐶𝐵𝐷 = 45° 设𝐶𝐷 = 𝑥，在Rt△𝐵𝐶𝐷中，∠𝐶𝐵𝐷 = 45° ∴𝐵𝐷 = 𝐶𝐷 𝑡𝑎𝑛45° = 𝑥， ∵𝐴𝐵 = 30,∴𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐷 = 30 + 𝑥， 在Rt△𝐴𝐶𝐷中，𝑡𝑎𝑛∠𝐶𝐴𝐷 = 𝐶𝐷 𝐴𝐷 ∴√ 3 3 = 𝑥 𝑥+30 解得：𝑥 = 15√3 + 15 答：无人机离湖面的高度为(15√3 + 15)米 12.（12 分）对于任意一个三位正整数，我们可以记为abc，即 100 10abc a b c= + + （a，b，c均为正整数）．若规定：对abc进行 F运算，得到整数𝐹(𝑎𝑏𝑐) = 100𝑎3 + 10𝑏2 + 𝑐1．例如，𝐹(214) = 100 × 23 + 10 × 12 + 41 = 814． （1）计算：𝐹(128)； （2）若𝐹(𝑎𝑏𝑐) = 1294，求这个三位数abc． 解：（1）𝐹(128) = 100 × 13 + 10 × 22 + 81 = 148； （2）𝐹(𝑎𝑏𝑐) = 100𝑎3 + 10𝑏2 + 𝑐1 ∴ 100𝑎3 + 10𝑏2 + 𝑐 = 1294 ∴ 𝑐 = 4 a，b均为正整数 若𝑏2 = 9，则𝑎3 = 12，a不为整数，此种情况不成立 若𝑏2 = 49，则𝑎3 = 8此时𝑎 = 2，𝑏 = 7 ∴ 𝑎𝑏𝑐 = 274 综上这个三位数为 274 8 13.（14 分）如图，在反比例函数 k y x = 的图象上有 1P ， 2P ， 3P ，…，𝑃2026等点，它们的 横坐标依次为 1，2，3，…，2026．分别过这些点作 x轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影 部分的面积从左到右依次为 1S ， 2S ， 3S ，…， 2024S ， 2025S ． （1）当 1k = 时， 1 2 3 2024 2025S S S S S+ + ++ + = ______； （2）当 2k = 时， 1 2 3 2024 2025S S S S S+ + ++ + = ______； （3）当 3k = 时， 1 2 3 2024 2025S S S S S+ + ++ + = ______； （4）当k n= 时， 1 2 3 2024 2025S S S S S+ + ++ + = ______． 【分析】本题主要考查了反比例函数 k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解 题的关键．将面积为 2S ， 3S ，…， 2025S 的矩形向左平移到面积为 1S 的矩形的下方，然后 再利用 1 1ABP D OCP D OABC S S S= −矩形 矩形 矩形 求解即可． 解：（1） 1P ， 2P ， 3P ，…， 2026P 的横坐标依次为 1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为 1， 记 1PD y⊥ 轴于点D， 1PC x⊥ 轴于点C， 2026P A y⊥ 轴于点A ，且交 1PC 于点 B ，如图 所示： 9 将面积为 2S ， 3S ，…， 2025S 的矩形向左平移到面积为 1S 的矩形的下方，则 11 2 3 2025 ABP D S S S S S+ + +  + = 矩形 ， 当 1k = 时，把 2026x = 代入 1 y x = ，得 1 2026 y = ，即 1 2026 OA = ， 1 2026 OABCS OA OC =  =矩形 ， 根据反比例函数中 k 的几何意义可知 1 1 OCP D S =矩形 ， 1 2 3 2024 2025 1 2025 1 2026 2026 S S S S S + + +  + + = − = ，故答案为： 2025 2026 ； （2）同理当 2k = 时，把 2026x = 代入 2 y x = ，得 2 2026 y = ，即 2 2026 OA = ， 2 2026 OABCS OA OC =  =矩形 ， 根据反比例函数中 k 的几何意义可知 1 2 OCP D S =矩形 ， 1 2 3 2024 2025 2 2025 2 4050 2025 2 2026 2026 2026 1013 S S S S S   + + +  + + = − = = = ，故答案： 2025 1013 ； （3）当 3k = 时，把 2026x = 代入 3 y x = ，得 3 2026 y = ，即 3 2026 OA = ， 3 2026 OABCS OA OC =  =矩形 ，根据反比例函数中 k 的几何意义可知 1 3OCP DS =矩形 ， 1 2 3 2024 2025 3 2025 3 6075 3 2026 2026 2026 S S S S S   + + +  + + = − = = ，故答案为： 6075 2026 ； （4）当k n= 时，把 2026x = 代入 n y x = ，得 2026 n y = ，即 2026 n OA = ， 2026 OABC n S OA OC =  =矩形 ， 根据反比例函数中 k 的几何意义可知 1OCP D S n=矩形 ， 1 2 3 2024 2025 2025 2026 2026 n n S S S S S n   + + +  + + = − = ，故答案为： 2025 2026 n ． 10 14.（14 分）命题：已知矩形 A一组邻边长分别为 m，n，存在一个矩形 B，它的周长与面 积都是矩形 A的 k倍（k为大于 1 的正整数）． （1）当𝑚 = 1，𝑛 = 2，𝑘 = 3时，命题是否成立．若成立，求出矩形 B的两边长；若不成 立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 解：（1）当𝑚 = 1，𝑛 = 2，𝑘 = 3时， 此时矩形 B的周长为 18，面积为 6， 设矩形 B的长为 x，则宽为9 − 𝑥． 根据题意列方程，得：(9 − 𝑥)𝑥 = 6， ∴𝑥2 − 9𝑥 + 6 = 0， 解之得：𝑥1 = 9−√57 2 ，𝑥2 = 9+√57 2 ； ∴此时命题成立． （2）若矩形 A两边长分别为 m，n，此时矩形 B的周长为2𝑘(𝑚 + 𝑛)，面积为𝑘𝑚𝑛，设矩形 B的长为 x，则宽为𝑘(𝑚 + 𝑛) − 𝑥． 根据题意列方程，得：𝑥[𝑘(𝑚 + 𝑛) − 𝑥] = 𝑘𝑚𝑛， 即𝑥2 − 𝑘(𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑘𝑚𝑛 = 0， 根据求根公式得：𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 𝑘2(𝑚 + 𝑛)2 − 4𝑘𝑚𝑛 = 𝑘[𝑘(𝑚 + 𝑛)2 − 4𝑚𝑛]， ∵𝑘 > 1， ∴𝑘[𝑘(𝑚 + 𝑛)2 − 4𝑚𝑛] > (𝑚 + 𝑛)2 − 4𝑚𝑛 又(𝑚 + 𝑛)2 − 4𝑚𝑛 = (𝑚 − 𝑛)2 ≥ 0， ∴𝑘[𝑘(𝑚 + 𝑛)2 − 4𝑚𝑛] > 0， ∴存在矩形 B，∴此命题成立． 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 数学试卷答题卡 姓名：                学校：                      考场/座位号：                 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、学校、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 留痕迹。 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 4．在草稿纸、试题卷上答题无效。 5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 一、单选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.） 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三、解答题（本大题共4小题，共50分.） 11. （10分） 12. （12分） 13. （14分） 请勿在此区域作答或 者做任何标记 14. （14分） 数学试卷 本试卷满分100分，考试时间70分钟，所有答案务必写到答题卷上，包括辅助线。 1、 选择题（每题5分，共20分） 1. 若 是实数，化简的结果为（ D ） 　A． B． C． 3 D． 4 2.直线 分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ D ） A. B. C. D. 或 【详解】解：如图，连接，， ∵分别与相切于两点，∴， ∵， ∴， ∴，，故选：D 3. 【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：．下列判断正确的是（ ） A. 甲正确 B. 乙和丙合在一起正确 C. 乙正确 D. 甲和丙合在一起正确 【详解】解： ∵关于x的一元二次方程在内有解， ∴抛物线和直线有交点， ∴或， 解得， 故选：C． 4. 如图所示，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若， ,则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴，∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∵平移，∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 2、 填空题（每题5分，共30分） 5. 因式分解：______．【答案】 6. 不等式对于一切实数都成立，则的最大值为____． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得要使不等式对于一切实数都成立，则需满足，进而根据二次函数的最值问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴当时，函数的最小值是当时取得，即为9； 当时，函数的最小值是当时取得，即为5； ∴，∴，即a的最大值为5． 7. 如图，在Rt中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为________． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴，故答案为：． 8. 如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形，∴，∴， ∴阴影部分的面积。 9. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点，则的重心坐标为_______． 【分析】本题主要考查了三角形重心的定义，一次函数的应用，取的中点F，的中点D，连线，交于点G，点G即为所求．根据中点坐标得出，，利用待定系数法分别求出直线和的解析式，联立两直线的解析式求出其交点G即可． 【详解】解：取 中点F，的中点D，连线，交于点G，点G即为所求． ∵，点，∴，即，， 设的解析式为：，的解析式为：， 根据题意：，， 解得：，， ∴的解析式为：，的解析式为：， 联立：，解得： 即。 10. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形，∴，∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的，∴， 同理：，，，， ∴，， ∴， ∵，∴，即：； 故答案为：． 三、解答题（共50分） 11.（10分）为了让南湖湿地公园的天更蓝，水更清，南湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值） 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意 设，在中， ∴， ∵,∴， 在中， ∴ 解得： 答：无人机离湖面的高度为米 12.（12分）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如，． （1）计算：； （2）若，求这个三位数． 解：（1）； （2） a，b均为正整数 若，则，a不为整数，此种情况不成立 若，则此时， 综上这个三位数为274 13.（14分）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． （1）当时，______； （2）当时，______； （3）当时，______； （4）当时，______． 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 解：（1），，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ，故答案为：； （2）同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ，故答案：； （3）当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ，故答案为：； （4）当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ，故答案为：． 14.（14分）命题：已知矩形A一组邻边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． （1）当，，时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 解：（1）当，，时， 此时矩形B的周长为18，面积为6， 设矩形B的长为x，则宽为． 根据题意列方程，得：， ∴， 解之得：，； ∴此时命题成立． （2）若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为，面积为，设矩形B的长为x，则宽为． 根据题意列方程，得：， 即， 根据求根公式得：， ∵， ∴ 又， ∴， ∴存在矩形B，∴此命题成立． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$第1页共 4 页 数学试卷 本试卷满分 100 分，考试时间 70 分钟，所有答案务必写到答题卷上 一、 选择题（每题 5分，共 20分.） 1. 若 𝑎 是实数，化简 02 )1(|23|324 ++−++ a 的结果为（ ） A． 333+ B． 3 C． 3 D． 4 2. 𝑃𝐴，𝑃𝐵分别与⊙ 𝑂相切于𝐴，𝐵两点．点𝐶在⊙ 𝑂上，不与点𝐴，𝐵重合．若∠𝑃 = 80°， 则∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ） A. 50° B. 100° C. 130° D. 50°或130° 3. 【问题】关于 x的一元二次方程−𝑥(𝑥 − 𝑚) − 3 = 0在2 ≤ 𝑥 ≤ 4的范围内有解．求 m的 取值范围．提示：如此问题可以转化为研究函数𝑦 = −𝑥(𝑥 − 𝑚)与直线 3y = 的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：𝑚 = 2√3；乙： 7 19 2 4 m  ；丙：2 4m  ．下列判断正确的是（ ） A. 甲正确 B. 乙和丙合在一起正确 C. 乙正确 D. 甲和丙合在一起正确 4. 如图所示，在平面直角坐标系中，将△ 𝐴𝐵𝑂平移，得到△ 𝐸𝐹𝐺，点 ,E F 在坐标轴上．若 ∠𝐴 = 90°, 𝐴(−4,3)，𝑡𝑎𝑛𝐵 = 1 2 ,则点𝐺坐标为（ ） A. (11, −4) B. (10, −3) C. (12, −3) D. (9, −4) 第2页共 4 页 二、填空题（每题 5分，共 30分） 5. 因式分解：2𝑥2 − 12𝑥 − 14 =______． 6. 不等式 2 2 6x x a+ −  对于一切实数 x都成立，则a的最大值为____________． 7. 如图，在𝑅𝑡 △ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶 = 90°，𝐴𝐵 = 1，𝐵𝐶 = 2．以点 A为圆心，以𝐴𝐵长为半 径作弧；再以点 C为圆心，以𝐵𝐶长为半径作弧，两弧在𝐴𝐶上方交于点 D，连接𝐵𝐷，则𝐵𝐷 的长为________． 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 8. 如图，⊙ 𝑂的半径为 1，A，B，C是⊙ 𝑂上的三个点．若四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为平行四边形，连 接 AC，则图中阴影部分的面积为________． 9. 如图，平面直角坐标系中，已知点𝐴(1,3)，点𝐵(4,0)，则△ 𝐴𝑂𝐵的重心坐标为_______． 10. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移 a个单位长度，再绕原点按顺时针方向 旋转𝜃角度，这样的图形运动叫做图形的𝛾(𝑎, 𝜃)变换，现将斜边为 1 的等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶 放置在如图的平面直角坐标系中，△ 𝐴𝐵𝐶经𝛾(1,180°)变换后得△ 𝐴1𝐵1𝐶1为第一次变换， △ 𝐴1𝐵1𝐶1经𝛾(2,180°)变换得△ 𝐴2𝐵2𝐶2为第二次变换，…，经𝛾(𝑛, 180°)变换得△ 𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛，则 点𝐶2025的坐标是_______． 第3页共 4 页 三、解答题（共 50分） 11.（10 分）为了让南湖湿地公园的天更蓝，水更清，南湖管委会定期利用无人机指引工作 人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的𝐶处，工作人员所乘小船在𝐴处测得无人机 的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达𝐵处，测得无人机的仰角为45°，求无人 机离湖面的高度（结果不取近似值） 12.（12 分）对于任意一个三位正整数，我们可以记为abc，即 100 10abc a b c= + + （a，b，c均为正整数）．若规定：对abc进行 F运算，得到整数𝐹(𝑎𝑏𝑐) = 100𝑎3 + 10𝑏2 + 𝑐1．例如，𝐹(214) = 100 × 23 + 10 × 12 + 41 = 814． （1）计算：𝐹(128)； （2）若𝐹(𝑎𝑏𝑐) = 1294，求这个三位数abc． 第4页共 4 页 13.（14 分）如图，在反比例函数𝑦 = 𝑘 𝑥 的图象上有𝑃1，𝑃2，𝑃3，…，𝑃2026等点，它们的 横坐标依次为 1，2，3，…，2026．分别过这些点作𝑥轴与𝑦轴的垂线，图中所构成的阴影 部分的面积从左到右依次为𝑆1，𝑆2，𝑆3，…，𝑆2024，𝑆2025． （1）当𝑘 = 1时，𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 +⋅⋅⋅ +𝑆2024 + 𝑆2025 =______； （2）当𝑘 = 2时，𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 +⋅⋅⋅ +𝑆2024 + 𝑆2025 =______； （3）当𝑘 = 3时，𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 +⋅⋅⋅ +𝑆2024 + 𝑆2025 =______； （4）当𝑘 = 𝑛时，𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 +⋅⋅⋅ +𝑆2024 + 𝑆2025 =______． 14.（14 分）命题：已知矩形 A一组邻边长分别为 m，n，存在一个矩形 B，它的周长与面 积都是矩形 A的 k倍（k为大于 1 的正整数）． （1）当𝑚 = 1，𝑛 = 2，𝑘 = 3时，命题是否成立．若成立，求出矩形 B的两边长；若不成 立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 数学试卷 本试卷满分100分，考试时间70分钟，所有答案务必写到答题卷上 1、 选择题（每题5分，共20分.） 1. 若 是实数，化简的结果为（ ） 　A． B． C． 3 D． 4 2. 分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 3. 【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围．提示：如此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：．下列判断正确的是（ ） A. 甲正确 B. 乙和丙合在一起正确 C. 乙正确 D. 甲和丙合在一起正确 4. 如图所示，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若， ,则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 5. 因式分解：______． 6. 不等式对于一切实数都成立，则的最大值为____________． 7. 如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为________． 第7题图 第8题图 第9题图 8. 如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 9. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点，则的重心坐标为_______． 10. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换， 经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 三、解答题（共50分） 11.（10分）为了让南湖湿地公园的天更蓝，水更清，南湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值） 12.（12分）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如，． （1）计算：； （2）若，求这个三位数． 13.（14分）如图，在反比例函数 的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． （1）当时，______； （2）当时，______； （3）当时，______； （4）当时，______． 14.（14分）命题：已知矩形A一组邻边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． （1）当，，时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 第2页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$