2025-2026学年下学期6月份高一数学月考模拟试卷（湘教版）

**基本信息** 聚焦高一数学必修二核心内容，通过复数运算、立体几何证明、四边形存在性探究等题型，分层考查空间观念、推理能力与创新意识，适配月考阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、向量共线、立体几何位置关系|基础概念辨析，如第3题向量共线求参数，考查逻辑推理| |多选|3/18|解三角形、三角函数图像变换、正方体展开图|多维度能力评估，如第11题结合展开图判断线面关系，体现空间观念| |填空|3/15|复数模、三角恒等变换、四棱锥侧面积|简洁计算，如第14题通过面面夹角求侧面积，融合几何直观| |解答|5/77|复数综合、向量证明、三角函数求值、立体几何体积、四边形探究|综合应用，如第18题立体几何证明与体积计算，第19题开放条件选择，培养创新意识|

2025-2026学年第二学期6月份 高一数学月考模拟试卷 (2026.61) 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第1-4章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知复数z满足(2-i)=3+4i,则E的虚部为() A.-1 11 11 5 B. C.- D. 5 【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数z,利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果。 【e1思意可得：告92-号背，做-子片 55 故复数：的虚部为~马 2.若sim9+）=1 ,则cos r-29=() 3 B.-9 7 C. D. 0 【答案】C 【详解】 o（售-20）=cof-(作+20=cos（作+20）=1-2m2(0+)1-2gg 3.已知向量a,6不共线，且=a+b,d=ā+(21+1)b,若c与d共线，则实数的值 为() A.1 1 B.2 C.1或- 2 D.-1或号 【答案】D 【详解】因为与d共线，所以存在实数x使得c=xd,即2à+b=xā+(2+1)xb, 因为向量石，6不共线，所以2=x,(22+1)x=1,解得2=-1或2=2 1 4.设m,表示两条不重合的直线，，B表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是( A.若m/1&,nca,则m/n B.若lc,nc,m/B,nIIB,则a/IB C.若m//n,nca,则m//a D.若/a,m/1B,aB=n,则m/n 【答案】D 【分析】根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选 项 【详解】对于A,由m/1a,nc,,得直线m与n可能平行、也可能是异面直线，A错误； 对于B,由m烫a,na,m/IB,n/IP,得a,B可能平行，也可能相交，B错误： 对于C,由线面平行的判定定理可知C错误： 对于D,过直线m作平面Y,且y∩a=a, 因为m//a,所以m/la,过直线m作平面6，且6⌒B=b,同理可得m/1b,所以a11b, 因为bcB,a立B(若aCB,则a与n重合)，所以a/1B, 因为aca,且x∩B=n,所以a/n,m∥n,故D正确. 5.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为ab,c,且a=3,b=4,三角形 ABC的面积为4√2，则C=() A.33 B.V19 C.7 D.√15 【答案】C 【i详解】由a=3,b=4,A1BC的面积为absinC=4W2,得si血C-2y 3 因为三角形ABC是锐角三角形，所以cosC=V-inC= 3 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcosC=17,则c=√17 6.已知sina+sinm6=32 cosa+cosB=62 ,,B都是锐角，则co a-E=(） 5 2 A.-3V10 B.V10 C.vio D. 3V10 10 10 10 10 【答案】D 【i详解】由smna+simp=3 5，cosa+c0sB=6V 5 0na+im012na8nB-爱.cwa-orB-2oaos 25 两式相加得，212a-月-S.则ca-月-号即2a“-1专则 2 cos2a-B 9 20,因为a,B都是锐角，所以-<a-p< 2 2 则-子年即“，90 2-10 7.若3,32∈C,则51-532>0”是“51>2”的() A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 【答案】C 【分析】两个复数一般不能比较大小，只有两个数都是实数时才能比较大小，由此规律对 “51>二2”与“1-2>0”的关系进行研究即可得解 【详解】因为3、二2是两个复数，若“1-2>0”成立，则3-3是正实数， 此时两复数可能是实数也可能是虚部相等的虚数，故不能得出“二1>二2”， 若“51>2”成立，则51,52都是实数，故可得出“1-52>0”， 即“51-2>0”是“5>2”的必要非充分条件 8.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为母线SB的中点，C是AB的中点， SO=AB=2,则直线SA与CD所成角的余弦值为() D C A.返 B.V3 c. D. 5 2 2 3 3 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的定义结合边长运算求解 【详解】如图，连接OC,OD,因为0C1AB,OC1S0,S0nAB=0,AB,S0c平面SAB,所 以OC⊥平面SAB,ODc平面SAB,所以OC⊥OD, 又O,D分别是AB,SB的中点，所以OD/14, 所以直线SA与CD所成角为∠CDO(或其补角)， 因为5A=2+=5,0D=3A=号，cD=√（份+12- 所以cos∠CD0=OD=V5 CD3 S 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,三角形ABC的面积为S,且 BAC=2W5g,bc=4,则下列结论正确的有() 3 AA号 B.S=3 C.三角形ABC的周长可以是5 D.三角形ABC的外接圆半径可以是√2 【答案】ABD 【分析】利用三角形的面积公式以及平面向量数量积的定义可判断A选项：利用三角形的 面积公式可判断B选项：利用余弦定理结合基本不等式可判断C选项；利用正弦定理可判 断D选项 【详解1】对打A选项。因为亚G-,可西瓜cs4-25c xcbsin A, 32 即cbcosA= 3 3 cbsin.整理可得amA=V5,又因为A∈(0，网)，故4=于，A对： 对于B选项，S=kinA=x4x-3,B对；对于C选项，由余弦定理可得 a2=b2+c2-2 bc cosA=b2+c2-bc=6+c)-3bc=6+c}-12, 所以△ABC的周长为a+b+c=Vb+c)'-12+6+c2V2bc)-12+2c =√42-12+4=6， 当且仅当气6“+0时，即当力-G=2时，等号成立，即aABc月长的最小值为6，C铺， 对于D选项，由C选项可知ad2=(b+c2-12≥2√b-12=4bc-12=4,故a≥2， 当且仅当b=c=2时，等号成立，设三角形ABC外接圆半径为r,由正弦定理可得 2r= .2.4V5 4 23 sinA33,可得r 2W3 又因为(W2)=2>4 即22 故三 3 3 y 角形ABC的外接圆半径可以是√2，D对. 10.已知函数f(x)=cos2x,将f(x)的图象向左平移9(0<p< 2 个单位长度得到函数g(x) 的图象，则() A.当p=亚时，gw)=-sin2x 4 B.函数g()图象的对称轴为x)=-p(kEZ) 2 C.函数f(x)8(x)的最小正周期为π D.若函数)+8)的最大值为1，则p-号 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式可判断A;根据余弦函数的对称轴可判断B;根据积化和差结合余弦 函数的周期性可判断C:根据和差化积结合余弦函数的最值可判断D 【详解】由题知gx)=cos[2(x+p)】=cos(2x+2p), 对于A选项，gx)=cos(2x+)=-sin2x,所以A正确： 对于B选项，将0=受-pke)代入，则2x0+20=2(号-)+2p=km, 这是函数g(x)的对称轴需要满足的条件，所以B正确： 对于C选项，f(x)·g)=cos2x·cos(2x+2p)=(cos20+cos(4x+2p)， 所以最小正周期为T-平子，所以C错误 对于D选项，f(x)+gx)=cos2x+cos(2x+2p)=2cos(2x+p)c0s0, 所以该函数的最大值为2cos0=1，解得9=3，所以D正确. 11.在探究正方体表面展开图的活动中，该正方体的表面展开图如图所示，则在该正方体中 () A.EF与GH异面 B.DG∥平面AEF C.BH⊥平面HGC D.平面DGP与平面4CD的夹角为号 【答案】ABD 【分析】将展开图还原为正方体，根据异面直线、线面平行、线面垂直、面面角等知识对选 项进行分析，从而确定正确答案 【详解】将展开图还原为正方体，如下图所示， 由图可知，EF与GH是异面直线，A选项正确， 根据正方体的性质可知ADGF,AD=GF,所以四边形ADGP是平行四边形， 所以DGI∥AF,因为DG丈平面AEF,AFc平面AEF, 所以DG/I平面AEF,所以B选项正确 由于BH与HG所成的角为45°，所以BH与平面HGC不垂直，C选项错误. 平面DGF即平面DGA,根据正方体的性质可知， 平面DGP与平面ACD的夹角为元，D选项正确 4 H(D E(B) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 12.在复平面内，0是坐标原点，复数z1=-3+i,2=1-2i,23=2+4i,所对应的点分别 是A,B,C.若OC=xOA+yOB(xyER),则x+y的值是 【答案1-号/44 【详解】因为复数3=-3+i,2=1-2i,23=2+4i,所对应的点分别是A,B,C, 所以A(-3,1),B(1,-2),C(2,4),即0A=(-3,1),0B=(1,-2),0C=(2,4), 所以xOA+vOB=x(3,1)+y(1,-2)=（3x+y,x-2) 8 -3x+y=2 x= 由OC=xOA+yOB,所以 x-2y=4，解得 14 因此x+y=一 V= 5 13.己知tano=3,tan(a-β)=5，则 sin(a+B) cos(a-B) 【答案】 23146 【分析】先利用两角差的正切公式求解tanP,再将所求式展开后弦化切，代入已知正切值 计算即可. 【详解】已知tana=3,则tan(a-)= a=n2=mg=5,解得tanB=-言 1+tanatanB 1+3tan B sin(a+B)sin acos B+cos asin B cos acos B+sin asin B ,因为tana、tanB均存在，故cosa≠0，cosB≠0， cos (a-B) 所以naA=haos+里=ma+tanB=_3片 23 cos (a-B) cos acos B+sin asin B 1+tan atan B 1+3x()5 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2,BC=3,PC=PD=√3，平 面PCD与平面ABCD的夹角为？，则该四棱锥的侧面积为 4 【答案】42+√5 【分析】由己知条件，通过作辅助线分别求出各侧面的三角形高，再分别求出各个侧面三角 形面积，再求和即可. 【详解】取CD的中点E,AB的中点F,连接PE,EF,PF,如图所示： 因为底面ABCD是矩形，所以EF⊥CD, 因为PC=PD=3,E为CD的中点，所以PE⊥CD且PE=√2， 过点P作平面ABCD的垂线PO,因为PC=PD, 所以OD=OC,故点O在CD的垂直平分线EF上， 故平面，RCD与平面ABCD的夹角为∠PB0-子OB=P0=1,0F=2. 因为PEOEF=E,PE,EFC平面PEF,所以平面PEF⊥CD, 因为AB/ICD,所以AB⊥平面PEF,又EFC平面PEF,则AB⊥PF, 所以PF=VP02+O=1+4=V5,所以SpAB=AB-PF=×2XV5=V5,SpcD= CD-PE=x 2xV2=V2, 点O到BC的距离为1，点P到BC的距离为VPO2+12=√2，同理点P到AD的距离为√2， 所以5aPc=SAPAD=BCXV2=X3xV反=9 2 所以该四棱锥的侧面积为5=Spm+S知+Sc+S地=V万+W532V 2 2=42W5 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 15.（13分)设复数=m--2+(m-2)i,52=n+(-2)i,3=m+i(m,n∈R) (1)若是纯虚数，2为实数，求： (2)若m=3,设+i=(a+bi)(-i)(a,beR),求a+b的值. 【答案】(1)5 【分析】(1)根据复数的概念及复数的模求解即可. (2)根据复数的乘法及复数相等求解即可 m2-m-2=0 【详解】(1)因为是纯虚数，5，为实数，所以 ，n-2=0, m-2≠0 解得m=-1,n=2,所以名=-1+2i.所以=V(-1)2+22=V5 (2)若m=3,则z1=4+i,,-i=4-i-i=4-2i, 所以(a+bi)(3-i)=(a+bi(4-21=4a+2b+(4b-2g: 又31+i=(a+bi)G-i),所以4+2i=4a+2b+(4b-2a)i, [4a+2b=4 a=3 5 所以 46-2a=2'解 4 所以a+b=3+47 Γ55-5 b= 5 1版5分》已#要列量a6满足=1.a+习(a-习-8(a-- (1)求的值： (2)证明：a1(a-2b): (3)设i与a-b的夹角为p,求a-及cosp的值. 【答案】(1)1 a证明：因为b(位-司=-克所以i-=专又51，所以a-b=子 所以d(a-2b）=2-2a.b=1-2×0,所以ā1(a-2b列 3)a-6=1,cosp=-2 【分析】(1)根据数量积与模的概念与公式求的值： (2)通过向量垂直的等价条件证明： (3)应用向量夹角的公式求， 【详解】1)因为(2a+0)(2a-）=3,所以4a-=3,故4-=3， 又同=1，所以5=1. (2)略 (3) 因-旧-可-G-可=-a4-1·所a41 因为cosp 得5(6-习-风-1--号 17.(15分)已知函数/)= in(2π+x)cos(π+x)tan(-x) sin 2+xsin(π-x) 2 (1)化简f(x: @诺f@-子求to2的俏 cos2a (3)若f(a)=2,f(B)=3,且a,P均为锐角，求a+B的值. 【答案】(1)f(x)=tanx (2)-7 6号 【详辨11)f)-加(2：cosr+儿an(-9-sm(-co3-an时 兀 tan coSxSinx sin| +xsin(π-x) 2 2)f(a)=4 即tana=3 1+sin 2a sin2a+cos2 a+2sin acos a (sina+cosa) cos2a cos2a-sin2a (cosa-sina)(cosa+sina) 4 1+ cosa+sina 1+tana 3=7 cosa-sina 1-tand 1 3 (3)因为a,B均为能角，所以0ca+月行行=x,因为ma=2,国83， 所以如(e+n品接1.解用a+ 3π 4 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD/BC,ADL DC, BCcD401,g为棱4D的中点， (1)求证：AB/1平面PCE: (2)求证：平面PAB⊥平面PBD; (3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求四棱锥P-ABCD体积. 【答案】(I)因为E为AD的中点，且AD=2,所以AE=号AD=1, 又因为BC=1且AD//BC,所以BC/IAE且BC=AE, 因此，四边形ABCE是平行四边形，故AB/CE, 因为CEC平面PCE,AB丈平面PCE,所以ABII平面PCE: (2)连接BE,由BCI/ED且BC=ED=1,CD=1,AD⊥DC,可知四边形BCDE是 正方形，因为AD⊥DC,因此BE⊥AD,且BE=CD=1, 在RtAABE中，AE=BE=1,故AB=√AE2+BE=V2, 在RtABCD中，BC=CD=1,故BD=√BC2+CD2=√2， 在△ABD中，AB2+BD2=(N22+(N22=4=AD2,所以∠ABD=90°， 即BD⊥AB, 因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以PA⊥BD, 又因为ABOPA=A,且AB,PAC平面PAB,所以BD⊥平面PAB, 因为BDC平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD。 (3)1 【分析】()根据线面平行的判定定理求证： (2)根据面面垂直的判定定理求证： (3)利用四棱锥的体积公式求解。 【详解】(1)略； (2)略； (3)因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 又因为AD⊥CD,且PAOAD=A,PA,ADC平面PAD,所以CD⊥平面PAD, 因为PDc平面PAD,所以CDL PD, 因此∠PDA就是二面角P-CD-A的平面角，即∠PDA=45°， 在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=45°，所以PA=AD=2, 梯形ABCD的上底BC=1,下底AD=2,高CD=1, 故梯形ABCD面积为SAcD=BC+oC”=+2X=手 2 2 2 所以四棱锥P-ABCD的体积为Vp-ABcD=S底h=××2=1 19.(17分)如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=兀，AC是∠DAB的角平分线. D B (I)求证：BC=CD; (2)若AC=14,CD=10.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 得四边形ABCD存在，求四边形ABCD的面积. 条件O:c0sB=一5： 、1 条件②：AD-AB=4: 条件③：m∠C4B=33 7 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分 【答案】(1)证明见解析； (2)选条件①②，四边形ABCD的面积为40√6，选条件③，四边形ABCD不存在， 【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理推理得证 (2)选条件①②，利用余弦定理建立方程组，再利用三角形面积公式求解；选条件③，利 用正弦定理判断三角形无解即可」 【详解】(1)在四边形ABCD中，由∠B+∠D=兀AC是∠DAB的角平分线， ∠D=元-∠B,∠DAC=∠BAC, CD AC AC AC BC 在△ACD,△ABC中，由正弦定理得 sin∠CAD sin∠Dsin(元-∠B)sin/B sin∠BAC 所以BC=CD )选条件①：c0sB三，则cosD由(D得BC=CDE AC2=AD+CD2-2AD.CDcos D 在△ACD,△ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠B 即AD-4HD-96=0 {4产+4的-60解得1012=8又DmBV(产-2 1 所以四边形ABCD的面积S=SAsc+SAcD=专AB.BCsin∠B+AD.CDsin∠D=40N6 2 、 选条件②：AD-AB=4,由(1)得BC=CD=10,设∠D1C=∠B4C=80<0 在△4CD,△ABC中，由余弦定理得CD2=AD+AC2-2AD:ACcose8 BC2 AB2 AC2 -2AB.ACcos0 即AD2-28cos9:AD+96=0,则4B,AD是方程r2-（28cos9x+96=0的两个根， (AB2-28cos0·AB+96=0 于是A=16(49os20-24>0,即2y6 <coS日<1，AB+AD=28c0s8,AB·AD=96, 7 5 由(AD+AB)}-(4D-AB)2=4AD:AB,得(28c0s0)2-16=4×96,则c0s6= sn0=2y6,所以四边形ABCD的面积S=S△ABc+SAACD=AB:ACsine0+AD: 7 ACsin0 =40V6. 选条件③：s∠CAB=393,由(1)得BC=CD10 在三角形ABC中，由正弦定理得sinB=4Csn<caB=3>1,即∠B不存在，四边形ABCD BC 5 不存在 2025-2026学年第二学期6月份 高一数学月考模拟试卷（2026.6.1） 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 4．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，三角形ABC的面积为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，都是锐角，则（   ） A． B． C． D． 7．若，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 8．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在三角形ABC中，角、、的对边分别为、、，三角形ABC的面积为，且，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．三角形ABC的周长可以是 D．三角形ABC的外接圆半径可以是 10．已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．当时， B．函数图象的对称轴为 C．函数的最小正周期为 D．若函数的最大值为1，则 11．在探究正方体表面展开图的活动中，该正方体的表面展开图如图所示，则在该正方体中（     ） A．与异面 B．平面 C．平面 D．平面与平面的夹角为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12．在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 13．已知，，则_________. 14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为______． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 15．（13分）设复数，，. (1)若是纯虚数，为实数，求； (2)若，设，求的值. 16．（15分）已知非零向量满足，且． (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值． 17．（15分）已知函数. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，，且，均为锐角，求的值. 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 19．（17分）如图，在四边形中，是的角平分线． (1)求证：； (2)若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期6月份 高一数学月考模拟试卷（2026.6.1） 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得，故， 故复数的虚部为 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 3．已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】D 【详解】因为与共线，所以存在实数使得，即， 因为向量，不共线，所以，解得或. 4．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，由 ，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误； 对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误； 对于C，由线面平行的判定定理可知C错误； 对于D，过直线作平面，且， 因为，所以，过直线作平面，且，同理可得，所以， 因为，（若，则与重合），所以， 因为，且，所以，，故D正确.    5．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，三角形ABC的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，的面积为，得． 因为三角形ABC是锐角三角形，所以． 由余弦定理得，则． 6．已知，，，都是锐角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 得，， 两式相加得，，则，即，则，因为，都是锐角，所以， 则，即. 7．若，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【分析】两个复数一般不能比较大小，只有两个数都是实数时才能比较大小，由此规律对“”与“”的关系进行研究即可得解. 【详解】因为、是两个复数，若“”成立，则是正实数， 此时两复数可能是实数也可能是虚部相等的虚数，故不能得出“”， 若“”成立，则都是实数，故可得出“”， 即“”是“”的必要非充分条件 8．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的定义结合边长运算求解. 【详解】如图，连接，因为平面，所以平面，平面，所以， 又分别是的中点，所以， 所以直线与所成角为（或其补角）， 因为， 所以. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在三角形ABC中，角、、的对边分别为、、，三角形ABC的面积为，且，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．三角形ABC的周长可以是 D．三角形ABC的外接圆半径可以是 【答案】ABD 【分析】利用三角形的面积公式以及平面向量数量积的定义可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用余弦定理结合基本不等式可判断C选项；利用正弦定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，即， 即，整理可得，又因为，故，A对； 对于B选项，，B对；对于C选项，由余弦定理可得， 所以的周长为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，即周长的最小值为，C错； 对于D选项，由C选项可知，故， 当且仅当时，等号成立，设三角形ABC外接圆半径为，由正弦定理可得，可得，又因为，即，故三角形ABC的外接圆半径可以是，D对. 10．已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．当时， B．函数图象的对称轴为 C．函数的最小正周期为 D．若函数的最大值为1，则 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式可判断A；根据余弦函数的对称轴可判断B；根据积化和差结合余弦函数的周期性可判断C；根据和差化积结合余弦函数的最值可判断D. 【详解】由题知 ， 对于A选项， ，所以A正确； 对于B选项，将代入，则， 这是函数的对称轴需要满足的条件，所以B正确； 对于C选项， ， 所以最小正周期为，所以C错误； 对于D选项， ， 所以该函数的最大值为 ，解得，所以D正确. 11．在探究正方体表面展开图的活动中，该正方体的表面展开图如图所示，则在该正方体中（     ） A．与异面 B．平面 C．平面 D．平面与平面的夹角为 【答案】ABD 【分析】将展开图还原为正方体，根据异面直线、线面平行、线面垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】将展开图还原为正方体，如下图所示， 由图可知，与是异面直线，A选项正确. 根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，所以B选项正确. 由于与所成的角为，所以与平面不垂直，C选项错误. 平面即平面，根据正方体的性质可知， 平面与平面的夹角为，D选项正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12．在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 【答案】/ 【详解】因为复数，，，所对应的点分别是，，， 所以，，，即，，， 所以 由，所以，解得，因此. 13．已知，，则_________. 【答案】/4.6 【分析】先利用两角差的正切公式求解，再将所求式展开后弦化切，代入已知正切值计算即可. 【详解】已知，则，解得. ，因为均存在，故， 所以. 14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为______． 【答案】 【分析】由已知条件，通过作辅助线分别求出各侧面的三角形高，再分别求出各个侧面三角形面积，再求和即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，如图所示： 因为底面是矩形，所以， 因为，为的中点，所以且， 过点作平面的垂线，因为， 所以，故点在的垂直平分线上， 故平面与平面的夹角为，，， 因为，平面，所以平面， 因为，所以平面，又平面，则， 所以，所以，， 点到的距离为，点到的距离为，同理点到的距离为， 所以， 所以该四棱锥的侧面积为. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 15．（13分）设复数，，. (1)若是纯虚数，为实数，求； (2)若，设，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的概念及复数的模求解即可. （2）根据复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】（1）因为是纯虚数，为实数，所以，， 解得，，所以.所以. （2）若，则，， 所以. 又，所以， 所以，解得，所以. 16．（15分）已知非零向量满足，且． (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值． 【答案】(1)1 (2)证明：因为，所以，又，所以， 所以 ，所以 (3)， 【分析】（1）根据数量积与模的概念与公式求的值； （2）通过向量垂直的等价条件证明； （3）应用向量夹角的公式求． 【详解】（1）因为 ，所以 ，故 ． 又，所以． （2）略 （3）因为 ，所以． 因为，又 ，所以． 17．（15分）已知函数. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，，且，均为锐角，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2），即， . （3）因为，均为锐角，所以，因为，， 所以，解得. 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【答案】(1)因为 为 的中点，且 ，所以 ， 又因为 且 ，所以 且 ， 因此，四边形 是平行四边形，故 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； (2)连接，由 且 ，，，可知四边形 是正方形，因为，因此 ，且 ， 在 中，，故 ， 在 中，，故 ， 在 中，，所以 ， 即 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 。     (3)1 【分析】(1)根据线面平行的判定定理求证； (2) 根据面面垂直的判定定理求证； (3)利用四棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）略; （2）略; （3）因为 平面 ， 平面 ，所以 , 又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 , 因为 平面 ，所以 , 因此 就是二面角 的平面角，即 , 在 中，，，所以 , 梯形 的上底 ，下底 ，高 ， 故梯形 面积为 所以四棱锥的体积为 . 19．（17分）如图，在四边形中，是的角平分线． (1)求证：； (2)若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析； (2)选条件①②，四边形的面积为，选条件③，四边形不存在. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理推理得证. （2）选条件①②，利用余弦定理建立方程组，再利用三角形面积公式求解；选条件③，利用正弦定理判断三角形无解即可. 【详解】（1）在四边形中，由是的角平分线，， 在中，由正弦定理得， 所以. （2）选条件①：，则，由（1）得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，又， 所以四边形的面积. 选条件②：，由（1）得，设， 在中，由余弦定理得， 即，则是方程的两个根， 于是，即，， 由，得，则，，所以四边形的面积. 选条件③：，由（1）得， 在三角形ABC中，由正弦定理得，即不存在，四边形不存在. 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期6月份 高一数学月考模拟试卷 (2026.61) 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第1-4章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知复数z满足(2-i)=3+4i,则E的虚部为() A号 R号 c D. A. B.-3 g 3.己知向量a,不共线，且=2a+b,d=a+(2+1)b,若与d共线，则实数1的值 为() A.1 B.月 c.1或- D.-1或 4.设m,表示两条不重合的直线，&，B表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是( A.若/a,nCa,则m/1n B.若lCa,nCa,/1B,n/1B,则a1/B C.若//n,nca,则m//a D.若/1a,m/1B,∩B=n,则m//n 5.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,三角形 ABC的面积为42，则c=() A.√33 B.V19 c.V17 D.√15 6.已知sina+simg=32 cosa+cosB=V2 a,B都是锐角，则cosa-E=（) 2 A.3v10 B.、10 C.vio D. 3W10 10 10 10 10 7.若3,22∈C,则“51-2>0”是“1>52”的() A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件 8.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为母线SB的中点，C是AB的中点， SO=AB=2,则直线A与CD所成角的余弦值为() A.2 B.3 c.3 2 D. 5 3 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,三角形ABC的面积为S,且 B.AC_2W3s,c=4,则下列结论正确的有() 3 A4-号 B.S=5 C.三角形ABC的周长可以是5 D.三角形ABC的外接圆半径可以是√2 10.已知函数f(x)=cos2x,将f(x)的图象向左平移p(0<p< 个单位长度得到函数() 2 的图象，则() A.当p=2时，g)=-sin2x 4 B.函数g(x)图象的对称轴为x0=-pk∈Z) C.函数f(x)·g(x)的最小正周期为π D.若西数)+8)的最大怕为1，则0-号 11.在探究正方体表面展开图的活动中，该正方体的表面展开图如图所示，则在该正方体中 A.EF与GH异面 B.DG∥平面AEF C.BH⊥平面HGC D.平面DGR与平面ACD的夹角为4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 12.在复平面内，O是坐标原点，复数1=-3+i,二2=1-2i,3=2+4i,所对应的点分别 是A,B,C.若OC=xOA+yOB(xy∈R),则x+y的值是 13.已知tana=3,tan(a-P)=5,则si加(a+P) cos(a-B) 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2,BC=3,PC=PD=√3，平 面PCD与平面ABCD的夹角为 ,则该四棱锥的侧面积为 4 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 15.(13分)设复数=m2-m-2+(m-2)i,52=n+(n-2)i,3=m+i(m,n∈R) (1)若是纯虚数，为实数，求： (2)若m=3,设31+i=(a+bi)(3-i)(a,b∈R),求a+b的值 15分已N啡装同蓝a5瑞是问-1.2+(e:--(区-- (1)求的值： (2)证明：a1(a-2b): (3)设五与a-b的夹角为p,求a-及cosp的值. 17.15分)已知质数f)-血(2+cs+)Bm( sin匹+xsin(r-x) 2 (1)化简f(x): ②若f@-=手求m2的值； cos2a (3)若f(a)=2,f(B)=3,且，B均为锐角，求a+B的值 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD/BC,AD⊥DC, BC=CD=AD=1,B为棱AD的中点. (1)求证：AB/1平面PCE; (2)求证：平面PAB⊥平面PBD; (3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求四棱锥P-ABCD体积. 19.(17分)如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=兀，AC是∠DAB的角平分线. D B (I)求证：BC=CD: (2)若AC=14,CD=10.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 得四边形ABCD存在，求四边形ABCD的面积. 务件0：08- 条件②：AD-AB=4; 条件@：sm∠C1B=3V5 7 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分，