高一数学第三次月考试卷（命题范围：必修第二册平面向量及其应用--立体几何初步）高一数学湘教版必修第二册

2025-2026学年高一年级第三次月考试卷 命题范围：必修第二册 ：平面向量及其应用--立体几何初步 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设为虚数单位，若，则在复平面内对应的点位于第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 2．若向量，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若向量， 则在上的投影向量为. 3．已知，，，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数值的关系求，，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，，， 则，， 所以. 4．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积和体积为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先根据圆台的轴截面得出圆台的高及母线，最后应用圆台的表面积公式计算求解. 【详解】依题意，圆台的上、下底面半径分别为2和4，则， 由题意的正切值为2， 设圆台的高为，即该等腰梯形的高， 则母线， 所以圆台的表面积. 圆台的体积. 5．已知且，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用二倍角公式求的三角函数，在根据，结合两角和与差的三角函数公式求值. 【详解】因为，所以， 又，所以. 所以， . 所以 . 故选：D 6．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【分析】将正方体的展开图还原成直观图，结合线面平行、面面平行的判定逐项判断即可. 【详解】由展开图得到正方体的直观图，如图： 观察直观图知，与是异面直线，①错误；与平行，②错误； 由四边形是平行四边形，得，又平面，平面，则平面，③正确； 由，又平面，平面，得平面， 同理平面，又平面，因此平面平面，④正确. 7．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦边角关系、三角形内角和及三角恒等变换得且，从而有，结合、和角正切公式得，最后应用基本不等式求最值. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，则， 所以， 即， 所以， 由，则，而，所以， 所以角为钝角，，则角为锐角即， 此时， 由， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 8．已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与球O相切，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】四个小球球心构成棱长为2的正四面体，其外接球半径可计算得到，大球与四个小球相切，因此球心到小球球心的距离等于大球半径减1，且大球球心与正四面体中心重合，从而得到大球半径，另一方面，计算棱长为的正四面体的外接球半径，令其等于大球半径，解出的值. 【详解】四个半径为1的小球两两相切，它们的球心之间的距离均为， 因此，这四个球心构成一个棱长为的正四面体，为正四面体中心， 连接并延长交底面于点，为底面中心，连接并延长交于点， 所以，, 所以, 设，所以，所以，所以， 即正四面体外接球半径为， 也是四个小球公共的对称中心，设大球的半径为，大球与四个小球都相切， 由于四个小球被包围在大球内部，它们与大球内切， 因此大球球心到每个小球球心的距离等于， 由对称性，大球球心应与正四面体的中心重合，故. 因为棱长为的正四面体的顶点都在球的表面上， 即球该正四面体的外接球，棱长为的正四面体的外接球半径为. 联立得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为 【答案】AB 【详解】因为复数， 所以复数对应的点为，在第四象限，故A正确； ，故B正确； 的共轭复数为，故C错误； 的虚部为，故D错误. 10．已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用向量模的三角不等式可判断C选项；利用投影向量的定义以及平面向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，化简可得，A对； 对于B选项，若，则， 又因为，解得或，B错； 对于C选项，， 当且仅当、同向时，即当时，即当时，等号成立， 故的最大值为，C对； 对于D选项，若，则， 则在上的投影向量为，D错. 11．如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．，，，四点共面 【答案】BCD 【分析】对于A，取的中点为，连接，易得，结合，相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线与所成的角，再求角即可判断；对于D，连接，易知，再由平面确定定理即可判断． 【详解】解：对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由正方体性质可知，若直线与是平行直线， 则可得，，三点共线，显然这与，相交于点矛盾，故A错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面， 可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，，如下图： 可得，故为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，可知，，，四点共面，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则______． 【答案】 【详解】. 13．已知平面向量，，且，则_______． 【答案】 【分析】先求出的坐标，再利用即可. 【详解】由题意得，， 又，则，解得． 故答案为：． 14．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面ABCD， ，则该阳马的外接球的体积为____________.    【答案】 【分析】由题目条件有，，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得外接球的半径，再根据球的体积求解即可. 【详解】因为平面，平面，平面， 则， 又因为四边形为矩形，则， 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.    又， 则外接球的直径为长方体的体对角线， 故外接球半径为：， 则外接球的体积为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用纯虚数的定义求解a的值； （2）利用复数的几何意义表示z＋2i对应的点，再求出a的取值范围. 【详解】（1）由已知得：，解得：；^5分 （2）复数在复平面内对应的点的坐标为 ， 则，解得：． .....................13分 16．（15分）平面内给定三个向量. (1)求与的夹角的余弦值； (2)求满足的实数m，n. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可. （2）根据向量的坐标公式求出的值. 【详解】（1）因为， 所以，所以.……8分 （2）因为，且， 所以， ，解得. ....................15分 17．(15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得四棱锥的高后，再利用四棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面.……8分 （2）经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. ……15分 18．（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若，为的中点，，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据给定条件，逆用和角的正弦公式及正弦定理角化边求解. （2）利用数量积的运算律及余弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解. 【详解】（1）在中，由， 得，即， 由正弦定理得，因此，而， 所以.……7分 （2）由为中点，得， 则， 由（1）知，又，， 则，整理得，则， 由余弦定理，得，则， 于是，则，， 所以. .....................17分 19．（17分）如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）存在，；（ii）存在， 【分析】（1）由得平面，再由线面平行的性质定理，结合两平面交线，证得； （2）（i）连接交于，利用的比例关系和线面平行判定，得到的值； （ii）根据梯形底面积比求两部分体积比，再结合棱锥体积公式列方程，解得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以.……4分 （2）（i）存在点，使得平面，此时. 证明如下：连接交于点，连接 因为，且，所以，又因为，， 所以，因为平面，平面，所以平面.……10分 （ii）存在，且，理由如下： 记四棱锥的体积是. 由，得，故， 即. 设，则. 令，得，解得. 故存在点，当时，平面将四棱锥分为体积相等的两部分. .......................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学第三次月考试卷 命题范围：必修第二册 ：平面向量及其应用--立体几何初步（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D D D C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．3 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）由已知得：，解得：；……5分 （2）复数在复平面内对应的点的坐标为 ， 则，解得：． .....................13分 16．（15分） （1）因平面，平面， 则，又四边形为矩形，则.……3分 如图建立以A为原点的空间直角坐标系，    则， ，，. 设平面法向量为，则， 取，则. 设直线与平面夹角为， 则……10分 （2）由（1）解析可得， 所以到平面的距离为：.....................15分 17．(15分） （1）因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面.……8分 （2）经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. ……15分 18． （17分） （1）在中，由， 得，即， 由正弦定理得，因此，而， 所以.……7分 （2）由为中点，得， 则， 由（1）知，又，， 则，整理得，则， 由余弦定理，得，则， 于是，则，， 所以. .....................17分 19． （17分） （1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以.……4分 （2）（i）存在点，使得平面，此时. 证明如下：连接交于点，连接 因为，且，所以，又因为，， 所以，因为平面，平面，所以平面.……10分 （ii）存在，且，理由如下： 记四棱锥的体积是. 由，得，故， 即. 设，则. 令，得，解得. 故存在点，当时，平面将四棱锥分为体积相等的两部分. .......................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级第三次月考试卷 命题范围：必修第二册 ：平面向量及其应用--立体几何初步 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设为虚数单位，若，则在复平面内对应的点位于第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 2．若向量，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，（   ） A． B． C． D． 4．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积和体积为（ ） A．， B．， C．， D．， 5．已知且，则＝（    ） A． B． C． D． 6．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 7．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与球O相切，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（    ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为 10．已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则在上的投影向量为 11．如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．，，，四点共面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则______． 13．已知平面向量，，且，则_______． 14．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面ABCD， ，则该阳马的外接球的体积为____________.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数． (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 16．（15分）平面内给定三个向量. (1)求与的夹角的余弦值； (2)求满足的实数m，n. 17．(15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 18．（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若，为的中点，，求． 19．（17分）如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $