数学（湘教版）-2024-2025学年高一下学期学业能力评鉴三（第二次月考）

2024—2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高一数学（三)参考答案 一、 单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.B2.D3.D4.C5.D6.C7.A8.C 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.BCD 10.BD 11.BC 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.-V3 13.1 14.5 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 证明：.四边形ABCD为正方形，.AC1⊥BD. 在正方体ABCD-ABCD中，易知BB⊥平面AB,C1D, 又AC1C平面AB,CD,.BB⊥AC. (7分) 又BBOBD=B1,BB,BD1C平面BBDD, .AC1⊥平面BBDD. (13分) 16.(15分) 解：(1)由aBE0,得a-6eC3,由ima=，m(a-Ps0 10 9aaaa.5,ma-6-月如 10 所以cos(2au-B)=cos[au+(a-B)】=cosacos(a-B)-sinasin(au-B) -5x3而2W502 (7分) 51051010 (2)由(1)知，cosB=cos[a-(a-)]=cos&cos(a-B)+sin asin(a-B) -53o+25o.5,而pe05, 5 105102 (湖南教育)高一数学（三）参考答案第1页（共3页） 所以B=亚 41 (15分) 17.(15分) (1)解：因为侧棱A4⊥底面ABC,所以三棱柱ABC-ABC为直三棱柱， 所以侧面BCCB、BAAB,、CAAC均为矩形. 因为AB⊥BC,所以底面ABC、AB,C均为直角三角形. 因为A4=AB=2,BC=3,所以AC=√AB2+BC2=√22+32=√3. 所以三棱柱ABC-AB,C的表面积为 (AB+BC+AC)A4+2×号AB-BC-(2+3+Vi3k2+2x)x2×3-16+25 (7分) (2)证明：如图，连接BC交BC于点O,连接OD, 因为四边形BCCB,为矩形， 所以O为BC的中点.因为D为AC的中点，所以OD∥AB. C 因为ABT平面BCD,ODC平面BCD,所以AB∥平面BCD. (15分) 18.(17分) =2sinxcosx+23 cos x-V3=sin2x+3(1+cos 2x)-3 sm2xtv5cos2x2sn2x+写）， 所以)-=2sm2x+写》，最小正周期为7- 2 (4分) 当5+2k≤2x+≤3亚+2a,k∈Z时，即+m≤≤7匹+m,k∈Z时，f(y) 2 12 12 为减函数， 则f(x)的单调递减区间为 7π +kc,k∈Z ”12 (8分) (湖南教育)高一数学（三)参考答案第2页（共3页） (2)因为函数 g6(r+)4as1-2sm2(x品) +4c0sx-1 =2o2a+4a-1-4w+4os-3,于若g 故cosx∈ 2 令1，则0344 因为8)在 9占上单调递减，在[剖上单调递第，所以 8-8》-4,80-g0-5, π5π 所以)在-66 上的最大值为5，最小值为-4 (17分) 19.(17分) 解：（()依题意，g6=88cos60=2,由a=[2.4,5=[5叫，得 a=2e,+4e2,b=5e+e2, 由aLB,得a.万=(22+4e,)(e,+me,)=0,即10同+(2m+20ge+4m=0, 整理得10+m+10+4=0,所以m=4; (8分) (2)由0知，6分，由m=45列i=-[2到，得m=6-5g=22+g, 则mn=(4g-5g)(-2g+38)=8+22g6-1=-8+11-15=-12, ml=4e,-5e,)=Vl6-40e-e+25=6-20+25=V2i, ml=V-2g+30,=4g-12gg+9=4-6+9=V7, 所以向量i,的夹角θ的余弦值cos成，)= i.元--12.4V5 1m川2ixV万-7.(17分) (湖南教育)高一数学（三)参考答案第3页（共3页）2024一2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高一数学（三） 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.若ama=,则sin2a= 4 A.- 56 56 16 65 B. 65 c.、 65 D. 65 2.若复数z满足i(-1)=-1+i,则z在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设，B为两个平面，则xB的充要条件是 A.C内有两条直线与B平行 B.C内有无数条直线与B平行 C.,B平行于同一条直线 D.心内有两条相交直线与B平行 4.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，1小时 后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察 灯塔，其方向是北偏东65°，那么B,C两点间的距离约为 必 东 45Q°20 A.10W2海里 B.10W3海里 C.20W2海里 D.20W3海里 5.如图，△OAB'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为 (湖南教育)高一数学（三)第1页（共4页）》 0 4 B x A.5 B.12 C.24 D.10+213 6.如图，在△ABC中，点O在边BC上，且OC=2OB.过点O的直线分别交射线AB、 射线AC于不同的两点MN,若AB=mAM,AC=nAN,则2m+n= A.1 B.2 C.3 D.-2 7.将 sima化成4sa+9(4>0,0<p<2T)的形式，下列式子正确 cosa、l 2 的是 4 7 A.sinx+-π B. 3 sin C.-sin D.sin 8.我国古代数学名著《数书九章》中有天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆合形的天 池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积 水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积，②一尺等 于十寸) A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.若复数z满足(1+i)二=1+5i(i是虚数单位)，则下列说法正确的是 A.z的虚部为2i B.z的模为V13 C.z的共轭复数为3-2i D.z在复平面内对应的点位于第一象限 10.在下列立方体中作两条线段，线段的端点要么是立方体的顶点，要么是棱的中点， 则这两条线段位于同一平面的立方体是 B D (湖南教育)高一数学（三)第2页（共4页） 11.已知O为坐标原点，A(2,-1),B(1,2),C(-1,-2),则 /10 310 A.B方向的单位向量为 B.若AP=2PB,则点P的坐标为 10 C.∠ACB=T D.CA在CB上的投影的数量为√I0 第I卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 2c0s74°-c0s14° sin14° 13.若AB=2,线段AB所在直线和平面a成30°角，且A∈a, 则点B到平面c的距离为 14.如图，ABCD是矩形，AB=8,BC=4,AC与BD相交于O 点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD,PO=4,M是PC的中 D C 点，则二面角MBD-C的正切值为」 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 15.(13分)如图，已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，A,C1与B,D交于点E, D C 求证：AC,⊥平面BBDD A D 16.(15分)已知sima=25 ，mapD=0，且%Feo.求 (1)cos(2-)的值； (2)B的大小. (湖南教育)高一数学（三)第3页（共4页）》 17.(15分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC 4 的中点，AA=AB=2,BC=3. (1)求三棱柱ABC-AB,C的表面积； B (2)求证：AB∥平面BCD. 18.17分)已钩函数f()-4rem+写到5，xeR. (1)求函数∫(x)的最小正周期以及单调递减区间； a设两支=-}-4ca-1,求属藏e)山-若 上的最大值和最小值. 19.(17分)如图，在斜坐标系xOy中，日，B,分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向 量，且e,e,的夹角为60°，定义向量OP=xe,+ye2在该斜坐标系xOy中的坐标为有序数对 [x,],记为OP=xe+ve2=[飞y]. (1)若斜坐标系xOy中d=[2,4],b=[5,m,且a⊥b,求实数m的值； (2)若斜坐标系xOy中i=[4,-5],元=[-2,3]，求向量元，的夹角8的余弦值. e (湖南教育)高一数学（三)第4页（共4页）》