精品解析：山东省济南市平阴县实验学校2025-2026年下学期 七年级数学期中试题

2025-2026学年七年级下学期阶段性检测数学试题（4月份） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、选择题 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A. B. C. 纳米 D. 微云人工智能 2. “春季是甲流的高发期，甲流是一种由病毒引起的流行性感冒，其主要的感染途径是空气传播和接触传播．为预防甲流病毒感染，同学们应注意个人卫生，加强锻炼，增强自身免疫力，流感流行时期应避免到人群密集场所．”甲流病毒的直径约为，用科学记数法表示该数据为（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天会下雨 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6. 光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，为入射光线，为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 如图，工人师傅制作门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是_______． 12. 如图，A，两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，间的距离，但无法从A点直接到达点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达A点），连接并延长到点，使．连接，并测量出它的长度为10米，则A，两点间的距离为__________米． 13. 若是完全平方式，则的值是______． 14. 四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为___________． 15. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，写出文字说明或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 读懂下面的推理过程，并填空理由或数学式 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，，求证：． 证明：如图2，延长交于点， （已知）， （_____）， 又（已知）， ______等量代换） （______） ______（两直线平行，同旁内角互补） 又（已知）， （______） （______） 19. 如图，中，为的高线，，，． （1）画出中边上的高线． （2）求的长． 20. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________________； （2）“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到）； （3）若在一个口袋中只装有个白球和个红球，它们除颜色外完全相同． ①事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是________； ②现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个红球？说明理由． 21. 如图，ABCD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，求∠D的度数． 22. 如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 23. 完成以下问题 （1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积______； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； （2）如图（2），在的正方形网格中，点、在格点网格线的交点上． ①请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点有______个． 24. 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由． 25. 根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图1，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1： （1）将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2： （2）四张长为、宽为的长方形纸片按如图4方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是____________． 任务3： （3）若满足，求的值． （4）计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期阶段性检测数学试题（4月份） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、选择题 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A. B. C. 纳米 D. 微云人工智能 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形， 故选： 2. “春季是甲流的高发期，甲流是一种由病毒引起的流行性感冒，其主要的感染途径是空气传播和接触传播．为预防甲流病毒感染，同学们应注意个人卫生，加强锻炼，增强自身免疫力，流感流行时期应避免到人群密集场所．”甲流病毒的直径约为，用科学记数法表示该数据为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法表示方法直接求解即可． 【详解】． 故选：B 【点睛】此题考查绝对值小于的数的科学记数法的表示方法，解题关键是表示方法为：，n为整数． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天会下雨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】A、打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、明天会下雨，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是正确理解点到直线的距离．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是垂线段最短， 故选：C． 6. 光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，为入射光线，为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 7. 如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据判定三角形全等即可． 【详解】解∶由作图知∶，，， ∴， 故选：D． 8. 如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得BD=DC，然后由△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+AD+DC，进而可求解． 【详解】解：如图所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC， ∵的周长为16cm，AB比AC长3cm， ∴△ABD的周长为AB+BD+AD=16cm， ∴AC+3+BD+AD=16cm， ∴△ACD的周长为AC+AD+DC=13cm， 故选A． 【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键． 9. 如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，证明，结合三角形外角性质，计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 10. 观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干给出的式子总结规律，将所求式子变形后匹配规律计算，根据题干规律得，变形所求式子后代入公式计算即可． 【详解】解： ； ； ； ……， 由此可得， 当时， ， ∴， ∴， ∴ ． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 如图，工人师傅制作门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是_______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键． 【详解】解：如图所示，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框， 使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 如图，A，两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，间的距离，但无法从A点直接到达点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达A点），连接并延长到点，使．连接，并测量出它的长度为10米，则A，两点间的距离为__________米． 【答案】10 【解析】 【分析】利用证明，得出米即可． 【详解】解：∵P为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴米， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是证明． 13. 若是完全平方式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而求解的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ． 故答案为：． 14. 四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．分两种情况，①时，②时，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：分两种情况： ①时， 在中，，符合题意； ②时， 在中，，不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，线段的长为3， 故答案为：3． 15. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质．由纸条折叠前后的角度对应相等是解决本题的关键． 先利用平行线的性质，可求出和的度数，再依据折叠的性质得出相关角的度数关系，通过这些关系可求出、的度数，最后求出的度数． 【详解】解：因为在长方形纸带中，， ∴，， 由于纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， 所以，同时， 因为，，， 所以， 又因为纸带沿折叠成图b，所以， 在中，， 则， 所以， 因为与、组成一个平角， 所以． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，写出文字说明或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则进行化简，然后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 读懂下面的推理过程，并填空理由或数学式 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，，求证：． 证明：如图2，延长交于点， （已知）， （_____）， 又（已知）， ______等量代换） （______） ______（两直线平行，同旁内角互补） 又（已知）， （______） （______） 【答案】故答案为：两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】略 19. 如图，中，为的高线，，，． （1）画出中边上的高线． （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了三角形高的定义，三角形面积公式，根据三角形的高求三角形面积是解决本题关键． （1）根据三角形高的定义，过点C作交延长线于点E即可； （2）根据三角形面积公式得到的面积，然后代数求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵为的高线，，，， ∴的面积， ∴， ∴． 20. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________________； （2）“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到）； （3）若在一个口袋中只装有个白球和个红球，它们除颜色外完全相同． ①事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是________； ②现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个红球？说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）①；②取走了个红球 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，频率与频数分布表，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数计算求解即可； （2）大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此可得答案； （3）①根据概率公式计算即可； ②设从口袋中取走个红球，根据概率公式列出算式，求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由表格可知， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴“摸到白球的”的概率的估计值是； 故答案为：． 【小问3详解】 解：①事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是 ②设取走了个红球， 根据题意得 解得：， 答：取走了个红球． 21. 如图，ABCD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，求∠D的度数． 【答案】50° 【解析】 【分析】根据平行线的性质可知∠D＝∠BAD、∠CAB＝100°，然后由角平分线的定义可知∠BAD＝∠BAC＝×100°＝50°，从而可求得∠D的度数． 【详解】解：∵ABCD， ∴∠C+∠CAB＝180°，∠D＝∠BAD． ∴∠CAB＝180°﹣80°＝100°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝×100°＝50°． ∴∠D＝∠BAD＝50°． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质和角平分线的定义，利用角平分线的定义和平行线的性质求得∠CAB、∠BAD的度数是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，由证明即可； （2）由得，由三角形的外角性质即可求得结果． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中：， ∴， ． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，证明两个三角形全等是解题的关键． 23. 完成以下问题 （1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． ①计算的面积______； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； （2）如图（2），在的正方形网格中，点、在格点网格线的交点上． ①请在网格中找出一个格点，使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点有______个． 【答案】（1）①5；②见解析 （2）①见解析；②4 【解析】 【小问1详解】 解：① ； ②如图，即为所求； 【小问2详解】 解：①如图，、、、均为轴对称图形， ②符合条件的点有4个． 24. 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，即可求证； （2）证明，即可解答． 【小问1详解】 证明：在和中， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴． 25. 根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图1，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1： （1）将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2： （2）四张长为、宽为的长方形纸片按如图4方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是____________． 任务3： （3）若满足，求的值． （4）计算． 【答案】（1）①②④ （2） （3）21 （4） 【解析】 【分析】（1）根据梯形及正方形的面积公式求解判定即可得解； （2）方法1，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：，方法2，阴影部分面积等于边长为的小正方形的面积得：，即可解答； （3）设，则，，再根据完全平方公式变形求值即可求解； （4）根据平方差公式求值即可求解． 【小问1详解】 解：图①中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图②中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图③中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式； 图④中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 故能验证平方差公式的有①②④； 【小问2详解】 解：方法1，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得， 方法2，阴影部分面积等于边长为的小正方形的面积得； 则； 【小问3详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴ ； 【小问4详解】 解： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $