精品解析：甘肃酒泉市部分学校2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：湘教版选择性必修第二册第1章~第3章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点的对称性，分析即可得答案. 【详解】点关于平面对称的点是. 故选：A 3. 一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到，由导数的物理意义得到瞬时速度. 【详解】由题意得，所以， 即该质点在时的瞬时速度为． 故选：A． 4. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，所以在单调递增， 且的值在上越来越大，在上越来越小， 即：函数的图象的切线斜率先变大后减小，故B正确，其余错误． 5. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故A错误；，故B错误； ，故C正确；，故D错误. 6. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 7. 若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算直线方向向量的单位向量，利用点线距的向量公式，可得答案. 【详解】由，则与向量同向的单位向量为， 由直线过原点，则取，即，， 所以点到直线的距离. 故选：B. 8. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设男性中有购买了新能源车，由全概率公式将购买新能源车的分为男性购买新能源车和女性购买新能源车列出关系求解即可. 【详解】设男性中有购买了新能源车，则， 解得，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 若不共面，则也不共面 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】借助向量定义及充分条件及必要条件定义可判断A；借助反证法结合空间向量共面定理可得B；举出反例可得C、D. 【详解】对A：的充要条件是的大小相等，方向相同，故由可得， 但当时，方向不一定相同，故A正确； 对B：假设共面，则存在实数，使得， 所以，所以共面，与条件矛盾，故B正确； 对C：在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件， 但任何两个都不相等，故C错误； 对D：若，则不一定共线，故D错误. 故选：AB. 10. 若随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则相互独立 B. 若，，，则相互独立 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】事件相互独立的定义为，条件概率公式为，对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即相互独立，故A正确. 对于B，由，，，可得，即相互独立，故B正确. 对于C，，又，. ，所以不相互独立，故C错误. 对于D，当相互独立时，也相互独立，所以，因此，故D正确． 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由线面平行得到，再由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由题可得， 所以. 故答案为：2 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，结合，可得，利用二次函数性质可求结论. 【详解】由，得， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即，又在上的最小值为， 所以，即实数的取值范围是． 14. 若函数在区间上有2个零点，则实数m的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析单调性，只需保证极大值大于0，端点极限值中较大的小于0即可. 【详解】由，得，令，得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则：当时，取到极大值， 又因为当， ，当， ，易知： ， 要使在区间上有2个零点，则需满足且， 解得：，即：m的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设． （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算计算即可； （2）利用空间向量平行的充要条件及模长公式计算即可. 【小问1详解】 由题意知， 所以． 又， 所以， 解得． 【小问2详解】 因为， 又， 设， 又，所以，解得， 当时，； 当时，， 所以向量的坐标为或． 16. 如图，在四面体中，平面分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由和线面平行判定定理即可证明； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用即可计算求解. 【小问1详解】 证明：因为分别为的中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，所以，即. 因为平面平面，所以， 故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量， 则即不妨设，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数 在处取得极小值. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先通过，求出的值，再分类讨论是否在处取得极小值，从而求出的值； （2）代入端点值，再比较端点值和极值的大小，从而求出最大值和最小值. 【小问1详解】 解：（1）由题意知， 又在处取得极小值，所以， 解得或. 当时，，令，解得或， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，不符合题意； 当时，，令，解得或， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意. 综上，. 【小问2详解】 由（1）知，又，， ，， 所以，. 18. 如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面的距离公式，即可求解； （3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，， 设平面的一个法向量， 则即，解得，，所以， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）得，， 设平面的一个法向量，则即 令，解得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 . 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，求证： . 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标和切线的斜率，从而求出切线的方程. （2）通过，，这三类进行分类讨论. （3）第三问，通过隐零点的设而不求，整理代入，从而证明. 【小问1详解】 当时， ，所以，， 所以 ， 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，若，即，，所以在上单调递增； 若，即，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，，要证 ，即证. 令，则，易得在上单调递增， 又 ，， 所以，使得，故， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以 ，所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：湘教版选择性必修第二册第1章~第3章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 2. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 3. 一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 若不共面，则也不共面 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 若随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则相互独立 B. 若，，，则相互独立 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 14. 若函数在区间上有2个零点，则实数m的取值范围是______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设． （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标． 16. 如图，在四面体中，平面分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数 在处取得极小值. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 18. 如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，求证： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $