精品解析：甘肃省酒泉市实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

3月份月考试卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题垥出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本函数的导数，得，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：C. 2. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中两点距离公式求解即可. 【详解】为坐标原点，，所以. 故选：A. 3. 已知函数的图象在点处的切线方程为，若点的横坐标是4，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求出点的纵坐标，从而可求得，再根据导数的几何意义求出，然后可求出的值. 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，点的横坐标是4， 所以点的纵坐标为，所以， 因为点处的切线方程为，点的横坐标是4，所以， 所以. 故选：C 4. 如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，根据向量线性运算法则利用基底表示即可. 【详解】， 又，，， 所以 故选：C. 5. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的求导公式可得结果. 【详解】令，则， 所以. 故选：B. 6. 如图，在长方体中，是的中点.则向量在平面上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方体的性质，可知在平面上的射影为，即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以向量在平面上的投影向量为， 故选：A. 7. “天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精确避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min内将速度从约20000 km／h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以. 巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以. 故选：D. 8. 长方体中，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 则，， . 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使∥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据∥，则，结合空间向量的数量积的坐标运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，所以有可能使∥，故A正确； 对于选项B：因为，所以不可能使∥，故B错误； 对于选项C：因为，所以不可能使∥，故C错误； 对于选项D：因为，则，有可能使∥，故D正确； 故选：AD. 10. 以下求导正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本函数的导数逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）． A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A选项，对求导后判断函数单调性，即可判断极值点个数；对于B选项，结合A选项求解的函数单调性和极值点的值，根据零点存在定理可判断零点个数；对于C选项利用函数平移，构造，判断的奇偶性，进一步得到对称中心；对于D选项，根据条件直接求出切点坐标即可判断结果； 【详解】对于A选项，由，定义域为，可得， 令，可得， 因为，得或，，得， 所以，在单调递减，在，单调递增， 所以，是有极大值点，是有极小值点，故A选项正确； 对于B选项，由A可知极大值为， 极小值，， 所以，根据的单调性和零点存在定理可知，在，，各存在1个零点，即函数有3个零点，故B错误； 对于C选项， 可设，得，则为奇函数，所以图象关于对称， 将向上平移1个单位可得，故函数关于对称，故C选项正确； 对于D选项，由A知，令，解得，则，， 由于切点，均不满足， 故D选项错误； 故选：BD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的图象得到函数的单调性，从而得到函数的极大值点. 【详解】由图可知函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以函数的极大值点是. 故答案为：. 13. 已知向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成角的大小是______. 【答案】## 【解析】 【分析】若直线与平面所成角为，则直线方向向量与平面法向量的夹角为或，由此计算即可. 【详解】设直线与平面所成角为（）， 则直线的方向向量与平面的法向量的夹角为或， 由题意，∵且， ∴， ∴， ∴与所成角的大小是. 故答案为：. 14. 设，，，，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，分别求得，得到函数呈现周期变化，且周期为，结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得，，，，， ， 一次类推，函数呈现周期变化，且周期为， 所以. 故答案为：. 四､解答题（本题共6小题，共77分，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 求函数的极值. 【答案】极大值为，极小值为 【解析】 【分析】对求导，得到，令，得到或，再利用极值的定义及求法，即可求解. 【详解】因为，则， 由，得到或，当或时，，当时，， 所以在处取到极大值，极大值为，在处取到极小值，极小值为， 故函数的极大值为，极小值为. 16. 已知函数， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的递增区间. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，得出切线斜率，由点斜式写出切线方程，整理即得； （2）利用求得函数的递增区间. 【小问1详解】 由求导可得，则， 所以切线的斜率，且过点， 则切线方程为，整理可得， 所以，所求切线方程为. 【小问2详解】 因为恒成立，所以函数在定义域上单调递增. 故函数的递增区间为. 17. 已知：，，，，，求： （1），，； （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行关系设，求出，利用向量垂直得到； （2）利用向量夹角余弦公式求出答案． 【小问1详解】 因，所以设，即， 故，解得， ， ， ∴，解得， ； 【小问2详解】 ， . 18. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点. 求证： （1） （2）平面 【答案】（1）证明见解析; （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质，可得到，，利用线面垂直的判定定理得平面，从而得到； （2）由题知四边形为平行四边形，故，由线面平行的判定定理即可证明. 【小问1详解】 在正方体中，平面，而平面， 所以， 又正方形中，，平面， 所以平面， 而平面，所以. 【小问2详解】 在正方体中,， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. 19. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求证：平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，从而，异面直线所成的角即为，在中，由余弦定理求得余弦值； （2）由三角形相似得，再由底面，得，由线面垂直的判定定理得平面. 【小问1详解】 取中点，连接， 因为是的中点，是的中点，， 所以，所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线与所成角即为与所成的角，即为， 因为面，面，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 因面，面，所以， 又因为平面，，所以平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3月份月考试卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题垥出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象在点处的切线方程为，若点的横坐标是4，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（ ） A. B. C. D. 5. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，是的中点.则向量在平面上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. “天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精确避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min内将速度从约20000 km／h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 长方体中，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使∥的是（ ） A. B C. D. 10. 以下求导正确的是（ ） A. B. C D. 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）． A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点是__________. 13. 已知向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成角的大小是______. 14. 设，，，，，，则________. 四､解答题（本题共6小题，共77分，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 求函数极值. 16. 已知函数， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的递增区间. 17 已知：，，，，，求： （1），，； （2） 18. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点. 求证： （1） （2）平面 19. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点. （1）求异面直线与所成角余弦值； （2）求证：平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$