甘肃酒泉市部分学校2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第二册第1章~第3章第1节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知函数f(x)的导函数为f(x),若mf-5+△)二f-5)=5,则了(-5)= △x A.-5 B.-1 c.1 D.5 2.点P(2,一3，一4)关于平面Oxy对称的点是 A.(2,-3,4) B.(2,-3,-4) C.(-2,3,-4) D.(-2,3,4) 3.一作直线运动的质点的位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)= 2+,则该质点在 t=2s时的瞬时速度为 A.3 m/s B.6 m/s C.8 m/s D.9m/s 4.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=∫(x)的图象如图所示，则函数y= f(x)的图象是 个 5.下列导数运算正确的是 A.(n2026)'=2025 B.(e)'=e- C.(sin xcos x)'=cos 2x D(- 【高二数学第1页（共4页）】 6.甲、乙两位旅游博主准备周末去A,B,C.D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲，乙至少有 1人去A景点，事件N表示甲，乙去相同的景点，则P(N|M)= A号 a话 c号 D.9 7.若直线1过原点O,且直线1的方向向量“=(2,0,1)，则点P(1,1,1)到直线1的距离为 号 B30 5 ci ni 8.某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与胸车种类（新能源车或者燃油车）的 情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了 新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为 A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知空间向量a,b,c,则 A.|a=|bl是a=b的必要不充分条件 B.若a,b,c不共面，则a,b,a十c也不共面 C.若a·b=b·c,且b≠0，则a=c D.若a∥b,b∥c,则a∥c 10.若随机事件A,B满足0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列说法正确的是 A.若P(B引A)=P(B),则A,B相互独立 B.若P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.18,则A,B相互独立 C.若P(AB)=P(B)P(AB)十P(B)P(AB),则A,B相互独立 D.若A,B相互独立，则P(A|B)=P(A) 11.如图，多面体ABCD-EFH是各棱长均为1的平行六面体ABCD-EFGH截去三棱锥G-CFH后 剩下的几何体，若点P是三角形CHF的重心，∠EAB=∠EAD=∠DAB=60°，AQ=XAP,则下列 说法正确的是 AAP-号 &异面直线AP,CD所成角的余弦值为号 C.AP⊥BD D.若E,Q,B,D四点共面，则点Q是线段AP的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线l的一个方向向量为m=(一2，k,1),平面a的一个法向量为n=(2,3,一2)，且1∥a,则k= 13.已知函数f(x)=x3一3x2一mx在(0，十∞)上单调递增，则实数m的取值范围是 14,若函数f(x)=x十cosx一m在区间(0，受)上有2个零点，则实数m的取值范围是 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知空间三点M(-2,0,2),N(-3,1,5),P(-1,3,4),设a=MN,b=M (1)若(a十b)⊥a,求m的值； (2)若向量c满足|c=6,且c∥(b一a),求向量c的坐标. 16.(本小题满分15分) 如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,D,E分别为PA,AB的中点. (1)求证：DE∥平面PBC: (2)若BC=2√2，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x(x一a)2+1在x=一1处取得极小值. (1)求a的值： (2)求f心x)在区间[一号，一]上的最大值和最小值 【高二数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 如图，在三棱柱ABC-A1B,C,中，AB=BC=2,AB⊥BC,AC=AA·∠AAC=,平面ACCA⊥ 平面ABC,D为AC的中点. (1)证明：AA1⊥BD: (2)求点C1到平面ABB,A,的距离： (3)求平面ABB1A1与平面AB,C所成角的余弦值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ax2-ax十lnx(a∈R) (1)当a=2时，求f(x)的图象在x=1处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性； (3)当a=0时，求证：f(x)<e-2. 【高二数学第4页（共4页）】 高二数学参考答案、提示及评分细则 1.Df(-5)=m-5+△》-f-)-5.故选D △x 2.A关于平面Oxy对称的两点的x轴，y轴坐标相同，之轴坐标互为相反数，所以点P(2,一3，一4)关于平面Oy对称的 点是(2，一3,4).故选A 3.A由题意得y(t)=t+1,所以y(2)=3,即该质点在t=2s时的瞬时速度为3m/s.故选A. 4.B当x∈[-1,1]时，f(x)>0,所以f(x)在[-1,1]单调递增，且f(x)的值在[一1,0]上越来越大，在[0,1]上越来越 小，即函数∫(x)的图象的切线斜率先变大后减小.故选B. 5.C(ln2026)'=0,故A错误，(e)'=-e,故B错误；(sin zcos)'=cos2x-simx=cos2x,故C正确：（兰）/= =子，放D错误故选C e2r 6APM)=1-票=6PMN)=名所以P(NM)=-变=放选A P(M) 16 书设向金0币在直线1上的投影向量为0，则0市-1,11,10-厅，1à--房5，所以点 P1,1到直线1的距离PQ=VO--√8票=@放选B 8.D设男性中有x%购买了新能源车，则x%×60%十40%×80%=74%，解得x=70,所以男性购车时，选择购买新能 源车的概率是0.7.故选D. 9.ABa=b的充要条件是a,b的大小相等，方向相同，故由a=b→|a=|b,反之则不然，故A正确：假设a,b,a十c共 面，则存在实数x,y,使得a十c=0十3b,所以c=(x一1)a十b,所以a,b,c共面，与条件矛盾，故B正确；在空间直角 坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件，但任何两个都不相等，故C错误；对于D,若b=0,α，c不一定 共线，故D错误.故选AB. 1QAD对于A.因为P(BlA)=PCB),所以P(AB)=PCAP(B>,即A,B相百独立，放A正确：对于B 由P(A)=0.3,P(B)=1-P(B)=0.6,P(AB)=0.18,可得P(A)P(B)=P(AB),即A,B相互独立，故B正确： 对于C,P(AB)=P(B)(P(AB)+P(AB))=P(B),又0<P(A)<1,0<P(B)<1,所以P(AB)=P(B)≠ P(A)P(B),故A,B不相互独立，故C错误；对于D,当A,B相互独立时，A,B也相互独立，所以P(AB)= P(AP(B),因此P(AB)=PAB)_PA)PB2=P(A),放D正确，故选ABD P(B)P(B) 1.BD因为点P是三角形CHF的重心，所以A市-子A心+号A萨+合A府=子(A+A市)+合(A花+A)+ 号(+A)=号+号市+号A花，所以1A:=告(A+1:+A+2A店·A市+2A店，A花+ 2A方.应)=专1+1+1+1十1+1D=号，所以AP25,放A错误：因为AB/CD,所以∠PAB就是异面直线AP 与印所做的用，因为，应-（号+号号）·专所以P满要灯 4 A下.AB 放B正确市.币=号（恋+办+范·（动-恋）号动-+花.市-花·)=0，所以AP 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 BD,故C正确：若E,Q,B,D四点共面，则存在有序数对(x,y),使B=xBD+yB配，即AQ-A=x(Ad-AB)十 号x-1=-x yA正-AB,即（号x-1)A+号A币+号A=(-x)A访+x市+yA花，所以号=x, 解得λ= 合，所以点Q是线段AP的中点，放D正确故选以D 12.2因为l∥a,所以m⊥n,即m·n=(-2)×2+3k十1×(-2)=0，解得k=2. 13.(-o∞，-3]由f(x)=x-3x2-mx,得f(x)=3x2-6x-m,因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)≥0 在(0，十∞)上恒成立，即m≤(3x2-6x)mm,又3z2-6x=3(x-1)2-3在(0，十∞)上的最小值为-3，所以m≤ 一3，即实数m的取值范围是（一∞，一3]. 14(1,登+)由fx)=合十ms一m,得了x)=令-sm,令了x)=0,得=吾，当(0，若)时，了(x) >0,f()单调递增，当x(答，受)时，()<0，)单调递减，所以x=吾时，f(x)取到极大值/（否）=是十 复-m又0)=1-m>(受)圣-m,fx)在区间(0，受)上有2个零点，所以0)=1-m<0且（答）=音 会-m>0,解得1<m<瓷+停，即m的取值范图是(1，竞+） 2 15.解：(1)由题意知a=M=(-3,1,5)-(-2,0,2)=(-1,1,3), b=Mp=(-1,3,4)-(-2,0,2)=(1,3,2),… …2分 所以a+b=(-1,1,3)+m(1,3,2)=(m-1,3m+1,2m+3),又(a+mb)⊥a, 所以(a+mb)·a=-(m-1)十3m+1+3(2m+3)=0,… 5分 解得m=一品 …7分 (2)因为b-a=(1,3,2)-(-1,1,3)=(2,2,-1),又c∥(b-a), 设c=1(2,2,一1)=(2,2入，一A),又c|=6,所以/(2λ)2+(2入)2+(-入)2=6，…9分 解得1=士2， …11分 当λ=2时，c=(4,4,-2):当入=-2时，c=(-4,一4,2)， 即向量c的坐标为(4,4，一2)或（一4，一4,2）.… 13分 16.(1)证明：因为D,E分别为PA,AB的中点， 所以DE∥PB. 因为DE吐平面PBC,PBC平面PBC, 所以DE∥平面PBC.… …4分 (2)解：因为AB=AC=2,BC=22, 所以AB2+AC=BC,即AB⊥AC. 5分 D 因为PA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,故以A为坐标原 点，建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2), 所以AP=(0,0,2),CP=(0,-2,2),CB=(2,-2,0).… …8分 设平面PBC的法向量n=(x,y,x), 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 n…CP=0,1-2y+2x=0, 则 即( 不妨设x=1,则y=1,之=1，所以n=(1,1,1).…12分 n.Ci=0,2x-2y=0, 设直线PA与平面PBC所成角为O, 则sn0=1osA应m1=Ai.nl=2= 1AP||nl2×√53' 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 15分 17.解：(1)由题意知(x)=(x一a)2十2x(x-a)=(x-a)(3x-a),…1分 又f(x)在x=一1处取得极小值，所以f(一1)=（一1一a)(一3-a)=0,… …3分 解得a=-1或a=-3.…. …4分 当a=-1时，了)=(x+1)(3x+1),令f)>0,解得x<-1或>-3，令f()<0,解得-1<x<-子，所 以f(x)在(-，一1)上单调递增，在(-1，一号)上单调递减，所以f(x)在x=-1处取得极大值，不符合题意； …5分 当a=-3时，f(x=(x+3)(3x+3),令f(x)>0,解得x<-3或x>-1,令f'(x)<0,解得-3<x<-1,所以 f(x)在（一∞，一3）上单调递增，在（一3，一1）上单调递减，在（一1，十∞）上单调递增，所以f(x)在x=一1处取得极 小值，符合题意.… …6分 综上，a的值为一3. …7分 (2)由(1)知f(x)=x(x+3)2+1,又f(-3)=1,f(-1)=-(-1+3)2+1=-3, f(-号)=-号×(-号+3)°+1=-g(-2)=-×(-+3)°+1=-， 所以fx)=f-3)=1,)=f(-号）=号 …15分 18.(1)证明：因为AB=BC,D为AC的中点，所以BD⊥AC, …1分 因为平面ACCA⊥平面ABC,平面ACCA∩平面ABC=AC,BDC平面ABC, 所以BD⊥平面ACCA,…3分 又AAC平面ACCA1,所以AA,⊥BD. …4分 (2)解：连接AC,因为AC=AA,∠AAC=S,所以△AAC为等边三角形， 因为D为AC的中点，所以AD⊥AC,… …5分 由(I)得BD⊥AD,BD⊥AC,故以D为原点，直线DB,DC,DA,分别为x轴、y轴、 之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(√2,0,0)，C(0,√2,0)，A(0,-2,0), A(0,06),C(0,22,6),所以AC=(0,22,0),Ai=(2,2,0),AA= B (0,√2，√6).… …7分 4 D 设平面ABB1A的一个法向量m=(x,y,之)，则 m·Ai=0,n2x+Ey=0令 即 m·AA=0,V2y+6x=0, =1,解得x=√3，y=-√3，所以m=(√5，一5,1)，… …9分 所以点G到平面ABB,A,的距离d=m,AC 2/6 2√42 m 11分 √/(3)+(-√3)+1 (3)解：由(2)得AC=(0,2,-6),A=AB=(2,2,0),… 12分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 (n·AB=0,W2a+√2b=0, 设平面AB,C的一个法向量n=(a,b,c),则 即 令c=1,解得a=一√5，b=5,所以n= n·AC=0, W2b-√6c=0, (一√5，W5,1),… …14分 由(2)知平面ABBA的一个法向量m=(5,一√5,1)， 设平面ABB1A与平面A1B1C所成角为0，则 as0=coxm)=m:h万及万 5 17分 19.(1)解：当a=2时，f(x)=2x2-2x+lnx,所以f(1)=0,f(x)=4x-2+1 所以f(1)=4-2+1=3, 所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-0=3(x一1)，即3x一y一3=0.…3分 (2)解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)=2ar-a+1-2a-a+1, …4分 当a=0时，f()=>0,此时f(x)在(0，十o)上单调递增：…5分 当a<0时.令了()>0，解得0<r证，令了(x<0,解得>}-应， _Aa 所以x)在(0，@)上单调递增，在(}-V亚，十o四)上单调递减：…7分 当a>0时，若a2-8a≤0，即0<a≤8，f(x)≥0，所以f(x)在(0，十o∞)上单调递增；…8分 若。2-8>0，即a>8,令了(x)>0,解得0<x<-亚或x>}+,令f(x)<0,解得} Aa 亚<+所以x)在(0，}。色)上单调递增，在（什，}+）上 Aa ’4 单调递减，在(}+色，十∞)上单调递指 …9分 综上，当a<0时，x)在(0，})上单调递增，在（什-立，十∞）上单调递减： 当0≤a≤8时，f(x)在(0，十∞)上单调递增； 当a>8时，∫(x)在(0，}-)上单调递增，在(}应，}+，)上单调递诚，在 (}+,十o四)上单调递增。 10分 Aa (3)证明：当a=0时，f(x)=lnx,要证f(x)<e-2,即证e-lnx一2>0. 令g(x)=e-hx一2(>0)，则g()=e-子，易得g(x)在(0，十o)上单调递增。 又g(分)=et-士=e-2<0,g1)=e-1>0,所以3m∈（分1），使得g(x)=0,放e0= ,…13分 2 当x∈(0，x)时，g(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(0，十c∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 所以gx)=g()=0-h6-2=-h六-2大十-2>0，所以e-2.…17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】