精品解析：2026年辽宁省铁岭市铁岭县莲花第一初级中学九年级中考第二次模拟数学试题

2026年铁岭县莲花一中九年级第二次模拟 数学 (本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的关键信息填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 为了防止快递物品在运输过程中磕碰和折损，往往用泡沫模型等物品进行固定．如图是泡沫模型的几何体，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．将分别标有汉字“天”“辽”“地”“宁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 电子显微镜的分辨率大约是0.2纳米，1纳米=0.000001毫米，那么0.2纳米可用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 7. 杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，其中点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 近年来，我国人工智能技术快速发展，并被广泛应用于生产生活中．某次考试阅卷引入了AI机器人批阅非解答题，效率是人工批阅的6倍，且AI机器人批阅15000道非解答题比人工批阅3600道非解答题少用5小时．设人工每小时批阅非解答题的数量为x道，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，当的长最小时，的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 13. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点；再以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若，则的度数为______． 14. 智能手环的压力传感器原理：当佩戴者手腕施加压力时，传感器的弹性膜发生形变，带动内部可变电阻R阻值变化，进而使电路中电流发生变化，最终转化为可显示的压力值．已知该可变电阻R（单位：欧）与手腕施加的压力F（单位：牛）之间的关系为一次函数，当牛时，欧；当牛时，欧．当可变电阻R为60欧时，对应手腕施加的压力F为______牛． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 某校准备到体育用品店购进一批A型足球和B型足球．已知每个A型足球的标价比B型足球贵30元，购买10个A型足球和5个B型足球共需1200元． （1）A型足球和B型足球的标价各是多少？ （2）若该校计划购买两种型号的足球共40个，总费用不超过3300元，请问最多购买A型足球多少个？ 18. 为传承和弘扬辽宁非遗文化，让同学们深入了解家乡的非遗知识，某校开展了“辽宁非遗文化知多少”主题研学活动，活动后以自愿报名的方式组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，得到如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 A组 B组 C组 D组 备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ； （2）B组15个成绩的平均数为 分，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）点为轴正半轴上一点，连接，，若的面积为，求点的坐标． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 修改设计方案使喷泉造型更加美观 素材1 某公司办公楼前欲设计一个圆形喷水池，最初的设计方案如图1所示，在喷水池的中心O处竖直安装一个喷水管，P处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线落下，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分． 素材2 如图2，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得高度为3米的P处有一个喷水孔．为使喷泉造型更加美观，对方案进行修改：使图1中喷泉喷出水流形成以为对称轴的两个对称的抛物线．当喷出的水流最高为4米时，水流与的水平距离为2米． 问题解决： （1）任务1：求y轴右侧抛物线的表达式． （2）任务2：安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变），当水管的高度增加米时，水流离喷水池中心O的最远水平距离为多少米？ 21. 如图1，已知为的直径，点在上，平分交于点，连接，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）如图2，作的平分线交于点，连接，恰好过点，当，时，求的面积． 22. 已知在中，，点D和点B在的同侧，且，． （1）请你在图1中尺规作图，作出点D的位置，并证明； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，当时，延长DA到点E，使，将绕点D顺时针旋转得到，连接，当最短时，求的长． 23. 定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“等值函数”，点(m，m)为该函数图象上的“等值点”．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“等值函数”，点为该函数图象上的“等值点”． （1）下列说法中正确的有__________． ①函数是“等值函数”，其“等值点”为； ②函数是“等值函数”，其图象上存在无数个“等值点”； ③函数是“等值函数”，其等值点为． （2）若“等值函数”的图象上仅存在一个“等值点”，求b的值以及“等值点”． （3）若点和点是函数图象上的“等值点”，当时，函数y的值随x的增大而增大，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年铁岭县莲花一中九年级第二次模拟 数学 (本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的关键信息填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据相反数定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的概念成为解答本题的关键． 2. 为了防止快递物品在运输过程中磕碰和折损，往往用泡沫模型等物品进行固定．如图是泡沫模型的几何体，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图为， ， 选项符合题意． 3. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A项，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故A项不符合题意； B项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B项符合题意； C项，不是轴对称图形，是中心对称图形，故C项不符合题意； D项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故D项不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，运用合并同类项，单项式除法，单项式乘多项式，完全平方公式逐个计算选项即可判断． 【详解】解：对选项A：， A错误； 对选项B：， B错误； 对选项C：，和等式右侧一致， C正确； 对选项D：， D错误． 5. 辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．将分别标有汉字“天”“辽”“地”“宁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题先求出所有等可能的结果总数，再找出符合条件的结果数，根据概率公式即可计算出答案． 【详解】解：∵第一次摸球共有4种等可能结果，摸出后不放回，第二次摸球共有3种等可能结果， ∴由树状图可知，两次摸球的所有等可能结果总数为 ． ∵两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”，即两次摸出的球恰好是“辽”和“宁”，共有2种符合条件的结果， ∴根据概率公式可得所求概率为 ． 6. 电子显微镜的分辨率大约是0.2纳米，1纳米=0.000001毫米，那么0.2纳米可用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵1纳米毫米毫米， ∴0.2纳米毫米， 整理得： 毫米， 因此0.2纳米用科学记数法表示为毫米，答案选C． 7. 杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，得到，代入相关数值并求出的值即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∵，， ∴ 解得． 8. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，其中点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点A和其对应点C确定平移规律，再按规律计算点D的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后得到对应点， ∴平移规律为横坐标增加，纵坐标增加，即线段向右平移个单位，纵坐标不变， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 9. 近年来，我国人工智能技术快速发展，并被广泛应用于生产生活中．某次考试阅卷引入了AI机器人批阅非解答题，效率是人工批阅的6倍，且AI机器人批阅15000道非解答题比人工批阅3600道非解答题少用5小时．设人工每小时批阅非解答题的数量为x道，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题为分式方程实际应用问题，根据“时间=总题量÷批阅效率”，分别表示出人工和AI的批阅时间，再根据题目给出的时间差建立等量关系即可列出方程． 【详解】∵人工每小时批阅数量为道，AI批阅效率是人工的倍， ∴AI每小时批阅数量为道， 可得：人工批阅道的时间为小时，AI批阅道的时间为小时， ∵AI批阅比人工批阅少用小时，即人工用时AI用时， ∴列方程得 ， 故答案选C． 10. 如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，当的长最小时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由翻折的性质可知，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点、、三点共线时，的长最小，求出，设此时，利用勾股定理列方程，即可解得答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点、、三点共线时，的长最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 此时， 设此时，则， 在中，， 即， 解得． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 【答案】29.92 【解析】 【详解】解：由题意可得，该零件的实际直径为：． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案． 【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 13. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点；再以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用是线段的垂直平分线，是的角平分线，是一外角，推导出，即可得到的度数． 【详解】解：由题意可知，是线段的垂直平分线，是的角平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 智能手环的压力传感器原理：当佩戴者手腕施加压力时，传感器的弹性膜发生形变，带动内部可变电阻R阻值变化，进而使电路中电流发生变化，最终转化为可显示的压力值．已知该可变电阻R（单位：欧）与手腕施加的压力F（单位：牛）之间的关系为一次函数，当牛时，欧；当牛时，欧．当可变电阻R为60欧时，对应手腕施加的压力F为______牛． 【答案】90 【解析】 【分析】先根据与是一次函数关系设出函数解析式，利用已知的两组对应值，用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式，计算得到对应的值． 【详解】设与的一次函数解析式为． 将和分别代入解析式， 得： ， 解得：， 因此一次函数解析式为， 将代入解析式得 ， 移项得 ， 计算得 ， 解得． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先在中，由勾股定理得，根据翻折性质，，，算出．设，在中，由列方程，解得，得到点坐标． 【详解】解：在中，，， ∴， 由翻折性质得：，． ，在轴上， ，即． 设，则，， ∴． 在中， 即 解得， ∴点E的坐标为． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校准备到体育用品店购进一批A型足球和B型足球．已知每个A型足球的标价比B型足球贵30元，购买10个A型足球和5个B型足球共需1200元． （1）A型足球和B型足球的标价各是多少？ （2）若该校计划购买两种型号的足球共40个，总费用不超过3300元，请问最多购买A型足球多少个？ 【答案】（1）A型足球的标价为每个90元，B型足球的标价为每个60元 （2）最多购买 A型足球30个 【解析】 【分析】（1）设B型足球的标价为每个元，则A 型足球的标价为每个元，根据总价=A 型足球单价×A 型足球数量+ B型足球单价×B型足球数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设购买 A 型足球个，则购买 B 型足球个，由总费用不超过3300元，可得出关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可得出答案． 【小问1详解】 解：设B型足球的标价为每个元，则A 型足球的标价为每个元， 由题意，得， 解得， 所以， 答：A型足球的标价为每个90元，B型足球的标价为每个60元； 【小问2详解】 解：设购买 A 型足球个，则购买 B 型足球个， 由题意，得， 解得． 答：最多购买 A型足球30个． 18. 为传承和弘扬辽宁非遗文化，让同学们深入了解家乡的非遗知识，某校开展了“辽宁非遗文化知多少”主题研学活动，活动后以自愿报名的方式组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，得到如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 A组 B组 C组 D组 备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ； （2）B组15个成绩的平均数为 分，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1）50 （2）84，81 （3）估计本次竞赛的获奖人数为78人 【解析】 【分析】（1）根据B组有15人，B组所占比例为，求出样本容量； （2）再根据平均数的定义和中位数的定义解答即可； （3）用总人数乘以本次调查成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为． 【小问2详解】 解：B组15个成绩的平均数为分； 本次样本容量为50，A组人数为个， 把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是81，81， 所以本次被抽取的所有成绩的中位数为分． 【小问3详解】 解：人． 答：估计本次竞赛的获奖人数为78人． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）点为轴正半轴上一点，连接，，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，点的坐标为； （2）点的坐标为． 【解析】 【分析】（）先求出，再将，代入中得，所以反比例函数的表达式为，联立两个函数表达式，得，从而求得点的坐标； （）设与轴的交点为，把代入，得，即，然后利用，求得，然后结合点在轴正半轴上即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， 解得， ∴， 将，代入中得， ∴反比例函数的表达式为， 联立两个函数表达式，得， 解得或， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，设与轴的交点为， 把代入，得，即， ∴， ∴， 又∵点在轴正半轴上， ∴， ∴点的坐标为． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 修改设计方案使喷泉造型更加美观 素材1 某公司办公楼前欲设计一个圆形喷水池，最初的设计方案如图1所示，在喷水池的中心O处竖直安装一个喷水管，P处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线落下，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分． 素材2 如图2，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得高度为3米的P处有一个喷水孔．为使喷泉造型更加美观，对方案进行修改：使图1中喷泉喷出水流形成以为对称轴的两个对称的抛物线．当喷出的水流最高为4米时，水流与的水平距离为2米． 问题解决： （1）任务1：求y轴右侧抛物线的表达式． （2）任务2：安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变），当水管的高度增加米时，水流离喷水池中心O的最远水平距离为多少米？ 【答案】（1） （2）水流离喷水池中心O的最远水平距离为6.4米． 【解析】 【分析】（1）根据题意设顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）设移动后的抛物线为，将点代入求出的值，再求出时的自变量取值，即可得解． 【小问1详解】 解：任务1：当时，y的最大值为4，即y轴右侧抛物线的顶点坐标为， 设y轴右侧抛物线的表达式为， 当时，， ， 解得 ∴y轴右侧抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：任务2：∵抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设移动后的抛物线为， ∵此时点P的坐标为， ∴， 解得, , 当时，， 解得： （不合题意，舍去）， ∴水流离喷水池中心O的最远水平距离为6.4米． 21. 如图1，已知为的直径，点在上，平分交于点，连接，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）如图2，作的平分线交于点，连接，恰好过点，当，时，求的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据为的直径得出，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义及等边对等角得出，可得，根据平行线的性质得出即可证明是的切线； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接，，设与交于点，利用勾股定理求出，利用垂径定理得出，利用中位线的性质得出，，利用三角函数得出，，，利用勾股定理求出，可得，利用三角形面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接，，设与交于点， 在中，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是中位线， ∴， ∴ ∴ ∵平分，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的面积为． 22. 已知在中，，点D和点B在的同侧，且，． （1）请你在图1中尺规作图，作出点D的位置，并证明； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，当时，延长DA到点E，使，将绕点D顺时针旋转得到，连接，当最短时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线与的延长线的交点即为点，然后证明即可； （2）过点A作，交于点F，在射线上截取，连接，导角证明，然后得到是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可； （3）过点D作，且，连接，证明，则，故，当点C，F，G共线时，最短，即最短，然后证明，则，然后结合勾股定理以及完全平方公式证明，最后证明四边形是正方形，则，再由弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，点D 即为所求. 证明：∵， ∴ ∴ ； 【小问2详解】 证明：如图2，过点A作，交于点F，在射线上截取，连接 ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ； 【小问3详解】 解：过点D作，且，连接，如图3 ∵， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 当点C，F，G共线时，最短，即最短 ∴ ∴ ∴在四边形中， ∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是矩形. 又∵， ∴ 四边形是正方形. ∴ ∵， ∴的长为． 23. 定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“等值函数”，点(m，m)为该函数图象上的“等值点”．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“等值函数”，点为该函数图象上的“等值点”． （1）下列说法中正确的有__________． ①函数是“等值函数”，其“等值点”为； ②函数是“等值函数”，其图象上存在无数个“等值点”； ③函数是“等值函数”，其等值点为． （2）若“等值函数”的图象上仅存在一个“等值点”，求b的值以及“等值点”． （3）若点和点是函数图象上的“等值点”，当时，函数y的值随x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）② （2）的值为或；时，“等值点”为；时，“等值点”为 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求解、和与直线的交点情况即可判断正误； （2）将“仅存在一个等值点”转化为方程有两个相等的实数根，利用判别式求出的值，进而解出该等值点坐标； （3）首先将已知等值点和代入函数解析式，建立方程组将，用表示， 从而确定函数解析式，接着根据二次函数在的范围内的增减性，分、和三种情况讨论对称轴与的取值范围的位置关系，从而求出的取值范围． 【小问1详解】 解：②正确，理由如下： 若函数是“等值函数”，则，解得， 其“等值点”是和，故①错误； 直线上存在无数个横、纵坐标相等的点， 函数是“等值函数”，且图象上存在无数个“等值点”，故②正确； 若函数是“等值函数”，则， 整理为，该方程无解， 故该函数不存在时，的情况，因此该函数不是“等值函数”，故③错误． 【小问2详解】 解：“等值函数的图象上仅存在一个“等值点”， 的图象与直线有且只有一个交点， 即方程有两个相等的实数根， 的判别式，解得，， 的值为或5， 当时，， 解方程，得，此时“等值点”为， 当时，， 解方程，得，此时“等值点”为． 【小问3详解】 解：点和点是函数的“等值点”， 当时，，随的增大而增大； 当时，如图1，若当时，函数的值随的增大而增大，对称轴在直线的左侧， 当时，如图2，若当时，函数的值随的增大而增大，则对称轴在直线的右侧， 综上，的取值范围是 【点睛】本题考查了新定义的理解与应用、函数与方程的关系、一元二次方程根的判别式及二次函数的图像与性质，解题的关键在于准确理解“等值点”的定义，并结合二次函数的开口方向、对称轴位置及根的判别式，通过分类讨论确定参数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $