精品解析：2026年辽宁省朝阳市龙城区二模数学试题

2026年中考数学模拟试题（二） （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列数是负无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负无理数的概念，负无理数需同时满足两个条件，是负数且是无理数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是分数，属于有理数，故A错误； 是正数，不满足负数要求，故B错误； 是有限小数，属于有理数，故C错误； 由于，且是开方开不尽的数，是无限不循环小数即无理数，则是负无理数，故D正确． 2. 如图，是某几何体的侧面展开图，该几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见几何体的侧面展开图特征判断，扇形是圆锥的侧面展开图． 【详解】解：根据题图可知，该侧面展开图为扇形，则该几何体为圆锥． 3. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．和不能合并，，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意． 5. 如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， 在中，为的中点， ∴ ． 6. 如图，，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再根据相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】解：∵，是以坐标原点为位似中心的位似图形，点，的坐标分别为，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 某校5个班级在募捐活动中的捐书数量（单位：本）为：30，60，60，80，80．若捐书最少的班级又多捐了30本，分析这5个班的捐书数据，不受影响的统计量是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，众数，方差，掌握相关知识是解题的关键；根据捐款最少的员工又多捐了 30 元，则从小到大的顺序改变，众数不变，据此即可求解． 【详解】解：捐款最少的班级又多捐了 30 元，数据为：， A、众数由60，80，变成了60，故选项不符合题意； B、平均数增加了元，故选项不符合题意； C、中位数不变，还是60 元，故选项符合题意； D、方差发生了改变，故选项不符合题意； 故选：C． 8. 已知是一次函数图象上两个不同的点，以下判断正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合是一次函数图象上两个不同的点，可得出与异号，进而可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵是一次函数图象上两个不同的点， ∴当时，；当时，， ∴与异号，， ∴． 故选：A． 9. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 10. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解，确保分解彻底． 【详解】解：． 12. 要使代数式有意义，则x取值范围为_______________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义的条件，需同时考虑二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵代数式 有意义， ∴且， 即 且； 故答案为：且． 13. 如图，线段是一个正多边形的三条边，分别延长交于点M，若，则这个正多边形是______． 【答案】正八边形 【解析】 【分析】根据正多边形的性质可知其外角相等，结合三角形内角和定理求出外角度数，再利用多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解： 线段，，是一个正多边形的三条边，   该正多边形的每个外角都相等，  ，  ，   在中，，  该正多边形的边数为，   这个正多边形是正八边形． 14. 杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】12， 35， 37 【解析】 【分析】观察已知各组勾股数，总结各位置数字的变化规律，根据规律推导第⑤组勾股数，再验证是否满足勾股定理. 【详解】解：观察已知勾股数： 第①组：3，4，5 第②组：6，8，10 第③组：8，15，17 第④组：10，24，26 总结规律可得：从第②组开始，每组第一个数依次增加，因此第⑤组第一个数为 ， 对从第②组开始的勾股数，设第一个数为，可得第二个数为，第三个数为，验证规律： 当，对应第②组，， ， ，符合， 当，对应第③组，， ， ，符合， 当，对应第④组，，， ，符合， 因此第⑤组对应，计算得： ， ， ， 验证：，满足勾股数定义． 15. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3， ∴正方形的面积分别为和， ∴图中阴影部分的面积． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. 计算和化简 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：      ； 【小问2详解】 解：        ． 17. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为91元；若完全用电动力行驶，则费用为21元，已知用油行驶每千米的费用比用电行驶的费用多0.5元． （1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ （2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要用电行驶多少千米？ 【答案】（1）完全用电行驶每千米的费用是元 （2）汽车至少需要完全用电行驶千米 【解析】 【分析】（1）设完全用电行驶每千米的费用是元，则完全用油行驶每千米的费用是元，根据相同路程下用油的费用为元，用电的费用为元建立方程求解即可； （2）求出甲地与乙地的距离为千米，设用电行驶千米，则用油行驶千米，再根据总费用不超过元建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设完全用电行驶每千米的费用是元，则完全用油行驶每千米的费用是元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，，且符合题意， 是原方程的解， 答：完全用电行驶每千米的费用是元； 【小问2详解】 解：（千米）， 甲地到乙地的距离为千米， 设用电行驶千米，则用油行驶千米， 由题意得，， ， 汽车至少需要用电行驶82千米． 18. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种自己最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了_____人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______ （2）如果某个社区共有3600人，那么选择其他支付的人约有多少？ （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1）200； （2）270人 （3） 【解析】 【分析】（1）由使用现金人数为50人，占比为求解总人数即可；根据使用支付宝人数为45人求解圆心角度数即可； （2）根据使用其他方式的人数为15人，计算即可； （3）画出树状图，计算出总的可能结果，再求出两人恰好选择同一种支付方式的可能结果，由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：使用现金人数为50人，占比为， 则本次活动调查的总人数为（人）， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：本次活动调查使用其他方式的人数为15人， 则某个社区共有3600人时，选择其他支付的人有 人； 【小问3详解】 将微信记为、支付宝记为、银行卡记为，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有种， 则两人恰好选择同一种支付方式的概率为. 19. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 20. 周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，）．现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 【探究任务】 （1）根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为____________，并求出水流的函数解析式． （2）若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2）①这棵小树的最大可能高度是；② 【解析】 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案； ②可证明四边形是平行四边形，则，即直线与抛物线要有两个不同的交点，求出直线恰好经过点P和直线与抛物线恰好只有一个交点时点N的横坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：①设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， 则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即直线与抛物线要有两个不同的交点， ∵直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 在中， 当时，， ∴， 当直线恰好经过点时， 则， 解得， ∴此时设直线的解析式为， 联立 得， 解得或， ∴此时点N的横坐标为； 当直线与抛物线恰好只有一个交点时， 联立 得， 即， ∴， 解得， ∴方程 即为方程， 解得， ∴此时点N的横坐标为； 综上所述，． 21. 如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，于F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）7 【解析】 【分析】（1）连接，，求出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）求出、，推出四边形和四边形是矩形，推出，，求出，即可求出答案． 【小问1详解】 连接，， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 连接交于M，过O作于N， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 即， 同理四边形是矩形， ∴， ∵为半径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为R， 则在中，由勾股定理得：， 解得： ， 则， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，添加合适的辅助线解答是解题的关键． 22. 综合与探究 问题情境：在数学综合实践课上，同学们开展图形旋转探究活动．如图1，是边长为的等边三角形，点是内部一点，且满足．将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，交于点． 猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （2）善思学习小组经深入研究发现点为平面内任意一点，只要满足，点始终是线段的中点，请你借助图2进行证明； 拓展延伸： （3）在点为平面内任意一点的条件下，请直接写出时线段的长． 【答案】（1） ，理由见解析 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质证为等边三角形及，再通过相似证，得，代换即可证得两角相等； （2）过作交延长线于，先证等角对等边得，结合旋转得，再用证，得，即可得证； （3）设（或的延长线）交于点，利用等边三角形三线合一和直角三角形斜边中线求出、，过作构造直角三角形，分在内部和外部两种情况，用勾股定理计算的长度即可． 【小问1详解】 解： ， 证明：由旋转知，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴（即）， 又， ∴ ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交的延长线于点， 由（1）知，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点； 【小问3详解】 解：设（或的延长线）交于点， ∵是边长为的等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， 点在直线上，分两种情况讨论： ①点在内部，如图，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②点在外部，如图，过点作于点， 同①得，， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题以等边三角形旋转为核心，通过旋转构造等边三角形实现边角转化，用相似证角相等、作平行线构造全等证中点，第三问务必注意点在直线上有内外两个位置，极易漏解． 23. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”． （1）已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求n的值； （3）如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线l翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点和代入二次函数关系式，求出解即可得出答案； （2）根据“互反点”的定义得出点A，B的坐标，再根据面积公式得出方程，然后求出解即可； （3）先求出函数关于直线对称的抛物线的关系式，进而得出函数与直线的交点坐标，然后令该点在直线上求出m的值，接下来分五种情况讨论是否存在2个“互反点”，即可得出取值范围． 【小问1详解】 解：∵点和是二次函数图象上的“互反点”， ∴， 解得， 所以二次函数关系式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得（正值舍去）， ∴点． 在中，当时，， 解得， ∴点． ∴， ∴， 即或（无解）， 解得（舍去）或， ∴； 【小问3详解】 解：函数关于直线对称的抛物线的关系式为， 当时，， ∴函数与直线的交点坐标为， 当点在直线上时，， 解得或； 当时，两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”，分别是，都在上，此时不存在“互反点”， 令，整理，得， ∴， 解得， 所以当时，两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”，分别是； 当时，， 令， 解得或， ∴两部分组成的图象上恰好有3个“互反点”，分别是； 当时，两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”，分别是； 当时，两部分组成的图象上恰好有1个“互反点”，为； 当时，两部分组成的图象上不存在“互反点”． 综上所述，或，两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟试题（二） （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列数是负无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是某几何体的侧面展开图，该几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥 3. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 如图，，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某校5个班级在募捐活动中的捐书数量（单位：本）为：30，60，60，80，80．若捐书最少的班级又多捐了30本，分析这5个班的捐书数据，不受影响的统计量是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 8. 已知是一次函数图象上两个不同的点，以下判断正确的是(　　) A. B. C. D. 9. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 要使代数式有意义，则x取值范围为_______________ 13. 如图，线段是一个正多边形的三条边，分别延长交于点M，若，则这个正多边形是______． 14. 杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 15. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. 计算和化简 （1）计算：． （2）化简：． 17. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为91元；若完全用电动力行驶，则费用为21元，已知用油行驶每千米的费用比用电行驶的费用多0.5元． （1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ （2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要用电行驶多少千米？ 18. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种自己最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了_____人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______ （2）如果某个社区共有3600人，那么选择其他支付的人约有多少？ （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 19. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 20. 周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，）．现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 【探究任务】 （1）根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为____________，并求出水流的函数解析式． （2）若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底的横坐标的取值范围． 21. 如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，于F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 22. 综合与探究 问题情境：在数学综合实践课上，同学们开展图形旋转探究活动．如图1，是边长为的等边三角形，点是内部一点，且满足．将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，交于点． 猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （2）善思学习小组经深入研究发现点为平面内任意一点，只要满足，点始终是线段的中点，请你借助图2进行证明； 拓展延伸： （3）在点为平面内任意一点的条件下，请直接写出时线段的长． 23. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”． （1）已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求n的值； （3）如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线l翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $