重庆市复旦中学教共体2025-2026学年九年级下学期第二次月考阶段测试数学试卷

**基本信息** 重庆复旦中学初2026届下期数学月考卷，以“重庆制造机车夺冠”“数字安全竞赛”等真实情境为载体，通过规律探究、新定义“融合数”等题设计，考查抽象能力、模型意识与创新意识，适配初中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|倒数、图形性质、圆的性质等|第5题木棍规律探究，培养抽象能力| |填空题|6/24|概率、二次根式、新定义“融合数”|第16题“融合数”新定义，考查应用意识| |解答题|9/86|统计分析、抛物线综合、几何旋转|24题抛物线动点最值，25题旋转多问递进，发展空间观念与推理能力|

重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期第二次月考 初2026届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护， 共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩 序井然，人人洁身自爱。 本试卷分为1卷和川卷，考试时间120分钟，满分150分。请将答案工整地 书写在答题卡上。 命题人：田勇 审题人：骆挺挺 1卷客观题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面， 都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题 卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1.-5的倒数是() A.5 B.-5 C. D. 2.下面四幅图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( 公 3,下列调查中，调查方式不正确的是() A,为了解我市全部初中学生的近视情况，选择抽样调查 B.为了解长江重庆段的水质情况，选择抽样调查 C.为了解生产的500枚高超音速导弹的命中率，选择抽样调查 D.为了解一批袋装牛奶（总体）的细菌超标情况，选择普查 4.如图，△ABC的顶点在OO上，AB是直径，点D在⊙O上， ∠BAD=48°，则∠ACD的度数是() A.529 B.489 C.42 D.38 ⊙ 试卷第1页，共8页 5.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了8根木棍，第②个图 案用了11根木棍，第③个图案用了14根木棍，第④个图案用了17根木棍，……，按此规律 排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是() ① ② ③ ④ A.26根 B.29根 C.31根 D.32根 6.已知a=3.4x10,b=1.2x10,c=5.6×106,则a,b,c三数的大小关系为() A.b<a<c B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b 7.反比例函数y=k≠0的图象如图，AB∥x轴，若△ABC的面积为5，则k的值为() A.10 B.-10 C.-5 D. -2 O G BL 8.今年三月，张雪机车在国际顶级赛事中夺冠，让“重庆制造惊艳全球.受此影响，该机 车订单逐月增长.三月份的订单是0.8万辆，预计五月份的订单将达到4万辆.设这两个月 订单的平均月增长率为x,根据题意，可列方程为() A.0.8(1+2x)=4B.0.81+x)=4C.0.81+x)2=4 D.0.81+x)3=4 9.如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在 点F处，延长EF交CD于点G,连接AG,则AG的长为() A.35 B.2 C.2W10 D.4v2 10.已知整式M=ax”+a-1x”-1+.+4x+,其中n为自然数，a，a-1,,均为绝 对值小于2的整数，且a.≠0，满足n+anl+lan-1+…+ao4下列结论： ①满足条件的整式M中只有7个单项式： ②不存在任何一个n,使得满足条件的整式有且只有6个： ③满足条件的整式一共有22个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 试卷第2页，共8页 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直 接填在答题卡中对应的横线上. 11.一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的4个白球和2个红球，从袋子中任意摸出一 个球是白球的概率是 12.如图，AB∥CD,点E是AB上一点，EC=ED,∠CED=96°，则∠BED= A B b 13.若n为正整数，且满足n<5(√7+√5)kn+1,则n= 14.若实数x,y同时满足x-2=3,d-2y=5,则w的值 15.如图，以AB为直径的OO与BC相切于点B,连接AC,以AC为边作菱形ACDE,点 B在边CD上，连接BE,AD,BE与AD交于点F,与OO交于点G.若AO=√5，AC=6.则 BD=,FG= 16.一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3， 个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“融合数”，如数4136，，4=1+3且6=2×3， ∴4136是“融合数”，如数5186，，5≠1+3，.5186不是“融合数，则最小的“融合数为 ；将“融合数”N的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置， 得到一个新数N,记F(W=N- ，将数N的千位数字去掉后得到的三位数记为，若 99 F(N)+能被9整除，则满足条件的所有N的值的和为， 川卷主观题 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给 出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程 书写在答题卡中对应的位置上。 [x-4<4x+2① 17.求不等式组：x+5≥+3②的所有非负整数解。 32 试卷第3页，共8页 18.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,∠MAC是△ABC的外角. M/ B D (1)用尺规完成作图：作∠MAC的角平分线AN,过点C作CE⊥AN,垂足为E;(不写作法， 保留作图痕迹) (2)小敏作完图后，发现四边形ADCE是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ,AD平分∠BAC,AN平分∠MAC, ∴CaD-=5BAc,2ic-AMAc .∠BAC+∠MAC=1800 ① 又，AB=AC,AD平分∠BAC, .② （三线合一). .∠ADC=90°. 又，CE⊥AN, .③ ∴，四边形ADCE是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）. 四.解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给 出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程 书写在答题卡中对应的位置上 19,先化简，再求值：心” 12 -m(3m+1)+m+1)(3-1）, m2+2+1mm+1 其中m-2+(元-3.14)°. 试卷第4页，共8页 20.为提升青少年网络安全意识，复旦中学举办了“数字安全小卫士知识竞赛，内容涵盖个 人信息保护、网络诈骗识别等.现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了10名学 生的成绩进行统计分析.数据整理如下：（成绩得分用x表示，共分成三组：合格80≤x<85, 良好85≤x<95,优秀x≥95)下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在“良好等级中的数据为：90,94,85,90,90 八年级10名学生的竞赛成绩为：83,84,84,88,89,89,95,95,95,98. 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 平均 “优秀”等级所 抽取的七年级学生竞 统计量 中位数 众数 方差 赛成绩扇形统计图 数 占百分比 七年级 良好 90 Q 90 30 11% 优秀 合格 八年级 90 89 b 26.6 40% 20% 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a= b= m= (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说 明理由（写出一条理由即可）： (3)该校七、八年级共有2600名学生参加了此次知识竞赛，请估计该校七、八年级参加此次 知识竞赛成绩优秀的学生人数共有多少？ 21.列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升 级.经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类 生产线和3条乙类生产线共需投入120万元. (1)求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ (2)实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加.改造1条甲类生产线增加 的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量 和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是 多少万元？ 试卷第5页，共8页 22.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AB=6,AD=8,动点M以每秒1个 单位长度的速度从点B出发，沿B→D方向匀速运动，到达点D时停止运动，连接CM, 点N以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→O→B方向匀速运动，至点B处停止.两 点同时出发，设运动时间为x秒(0<x<10),连接MN,点M与点N之间的距离为， aBCM的面积为S,△ABD的面积为S,5=g S 1 87 0123456789101112 (1)请直接写出片、y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： (2)在平面直角坐标系中，画出函数片，y,的图象，请写出函数4的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出片≤y2时x的取值范围（保留小数点后一位，误差不超过0.2）. 23.为提高队员海域执行任务能力，相关部门决定进行一次海上演练.如图，A、B、C、D、 E在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A 和D,并最终到达C处执行任务.点B在观测点A的北偏西15°方向300√2海里处，同时在 观测点D的北偏西60°方向处；观测点D既在A的北偏东60°方向处，同时又在C的北偏 西30°方向处.C处在点A的正东方向，观测点E在AC上且距离A点100海里处.（参考 数据：√5≈1.414，√5≈1.732，√5≈2.236) (1)求AD的距离（结果保留根号）： (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点E出发沿EC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D 出发沿DC往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡 逻艇和甲巡逻艇之间的直线距离为200海里时可开始共同执行任务，请问乙巡逻艇距离D处 北 多少海里时，两巡逻艇开始共同执行任务？ 西一 个东 (结果保留小数点后一位) 南 609 D 5 30° 试卷第6页，共8页 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=m2+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B(4,0)两点， 与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=2 3 B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过P作PQ⊥BC于点Q,点D,E为抛物线对称 轴上的动点（点E在点D的下方），且DE=2,连接PD,AE,当线段PQ长度取得最大值 时，求点P的坐标及PD+DE+EA的最小值： (3)将抛物线y=ar2+bx+3(a≠0)沿射线AC方向平移√10个单位长度得到新抛物线，点N 为新抛物线上的一动点，若∠BCN=∠BCO-45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标， 并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.（写出必要的求解过程） 试卷第7页，共8页 25.在△ABC中，AB=AC, (1)如图1，若∠BAC=60°，将AC绕着点A逆时针旋转30得到线段AD,连接CD,BD,求 ∠BDC的度数： (2)如图2，若∠BAC=90°，将AC绕着点A逆时针旋转a(0°<a<90)得到线段AD,连接CD, BD,点E是CD的中点，连接AE交BD于F.求证：BF-DF=√2AF; (3)如图3，若∠BAC=120°，将AC绕着点A旋转得到线段AD,连接BD.当BD取最大值 时，在直线AB上取一点E,连接CE,将ACEB沿CE翻折到△ABC所在的平面内，得到△CEQ, 连接DQ.当DQ取最小值时，直接写 SD2的值. S.ABC B B 图1 图2 图3 试卷第8页，共8页 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期第二次月考 初2026届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分。请将答案工整地书写在答题卡上。 命题人：田 勇 审题人：骆挺挺 I卷 客观题 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．的倒数是（   ） A．5 B． C． D． 2．下面四幅图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列调查中，调查方式不正确的是（    ） A．为了解我市全部初中学生的近视情况，选择抽样调查 B．为了解长江重庆段的水质情况，选择抽样调查 C．为了解生产的500枚高超音速导弹的命中率，选择抽样调查 D．为了解一批袋装牛奶（总体）的细菌超标情况，选择普查 4．如图，∆ABC的顶点在上，是直径，点D在上， ，则的度数是（   ） A．52° B．48° C．42° D．38° 5．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，⋯⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（    ） A．26根 B．29根 C．31根 D．32根 6．已知，，，则a，b，c三数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．反比例函数的图象如图，轴，若∆ABC的面积为5，则k的值为（   ） A．10 B． C． D． 8．今年三月，张雪机车在国际顶级赛事中夺冠，让“重庆制造”惊艳全球．受此影响，该机车订单逐月增长．三月份的订单是0.8万辆，预计五月份的订单将达到4万辆．设这两个月订单的平均月增长率为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 10．已知整式，其中n为自然数，，，…，均为绝对值小于的整数，且，满足≤4下列结论： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式一共有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的4个白球和2个红球，从袋子中任意摸出一个球是白球的概率是______． 12．如图，，点是上一点，，，则___________． 13．若为正整数，且满足，则_____． 14．若实数，同时满足，，则的值___________． 15．如图，以为直径的与相切于点，连接，以为边作菱形，点在边上，连接，，与交于点，与交于点．若，．则______，______． 16．一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“融合数”，如数，∵且，∴是“融合数”，如数，∵，∴不是“融合数”，则最小的“融合数”为______；将“融合数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字去掉后得到的三位数记为，若能被整除，则满足条件的所有的值的和为______． Ⅱ卷 主观题 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．求不等式组：的所有非负整数解． 18．如图，在∆ABC中，，平分，是∆ABC的外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∵+=1800 ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． 四．解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 19．先化简，再求值：， 其中． 20．为提升青少年网络安全意识，复旦中学举办了“数字安全小卫士”知识竞赛，内容涵盖个人信息保护、网络诈骗识别等．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了10名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用x表示，共分成三组：合格，良好，优秀）下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在“良好”等级中的数据为：90，94，85，90，90 八年级10名学生的竞赛成绩为：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98． 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 统计量 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 七年级 90 a 90 30 八年级 90 89 b 26.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有2600名学生参加了此次知识竞赛，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生人数共有多少？ 21．列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． (1)求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ (2)实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 22．如图，矩形的对角线、交于点，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止．两点同时出发，设运动时间为秒（），连接，点与点之间的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出函数，的图象，请写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（保留小数点后一位，误差不超过）． 23． 为提高队员海域执行任务能力，相关部门决定进行一次海上演练．如图，A、B、C、D、E在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务．点B在观测点A的北偏西方向海里处，同时在观测点D的北偏西方向处；观测点D既在A的北偏东方向处，同时又在C的北偏西方向处．C处在点A的正东方向，观测点E在上且距离A点100海里处．（参考数据：，，） (1) 求的距离（结果保留根号）； (2) 观测结束后，甲巡逻艇从观测点出发沿往处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点出发沿往处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇和甲巡逻艇之间的直线距离为200海里时可开始共同执行任务，请问乙巡逻艇距离处多少海里时，两巡逻艇开始共同执行任务？ （结果保留小数点后一位） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过P作于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点N为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．（写出必要的求解过程） 25．在∆ABC中，． (1)如图1，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，求的度数： (2)如图2，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．点是的中点，连接交于．求证：； (3)如图3，若，将绕着点旋转得到线段，连接．当取最大值时，在直线上取一点，连接，将∆CEB沿翻折到∆ABC所在的平面内，得到∆CEQ，连接．当取最小值时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期 第二次月考初2026届数学试题 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 ▣熟▣ （正面朝上，切勿贴出虚线方框 正确填涂 ■ 缺考标记 单选题 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9 [A][B][c][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 11. 12. 13 14. 15. 16. 解答题 17.(8分) [x-4<4x+2① x+5≥x+3@ 3 2 囚囚■ 18.(8分) M ① ② ⑨ B D 19.(10分) 先化简，再求值： -m(3m+1)+(m+1)(3m-1), 其中m-21+(π-3.14)°. 20.(10分) (1)a: b: 2. (2) (3) 囚囚■ 21.(10分) 22.(10分) 21098764321 0123456789101112x 23.(10分) B 北 西一 ，东 南 I 309 E I I I I ■ 囚■囚 24.(10分) D E A 0 备用图 囚■囚 ■ ▣ 25. 公☒ 图 图3 ■ 《复旦中学2026年9下第二次月考数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C B C B C C A 解析：9.解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴，∴， ∴． 10．解：∵，≤4∴， 当时，， ∵≤4，∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或即或，共种，其中单项式有个； 当时，， ∵≤4，∴， ∵，，…，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或， ∴或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵≤4， ∴， ∵，，…，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或或或或或， ∴或或或或或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，，∵≤4， ∴， ∵，，…，均为绝对值小于的整数，且， ∴或， ∴或， 共种，其中单项式有个； 综上，满足条件的整式中，有个单项式，故①错误； 当时，满足条件的整式有且只有个，故②错误； 满足条件的整式一共有个，故③错误； 二：填空题 11． 12． 13．10 14． 15． ； 16． ； 15.解：如图，连接 ∵四边形为菱形， ∴，， ∵以为直径的与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即，解得， ∴， 16． 解：设这个四位数为，则，，当最小为时，最小为；最小为时，最小为， ∴最小的“融合数”为； 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴能被整除，∴能被整除， ∵∴能被整除， 当取时，能被整除， 则可取，取，取， ∴该情况下为； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取或，取，取或，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； ∴该情况下为； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取，取，取， ∴该情况下为； 综上，满足条件的的值总和为 三：解答题 17．解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组解集， 所有非负整数解为0，1． 18．解：（1）由题意，作图如下：    （2）∵平分，平分， ∴，． ∵+=1800 ∴． 又∵，平分， ∴（三线合一）． ∴． 又∵， ∴． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． 四：解答题 19．】解： ； ∵， ∴原式=． 20．（1）解：七年级学生竞赛成绩在“合格”等级中的人数有人， 七年级学生竞赛成绩在“良好”等级中的数据从小到大排列为：85，90，90，90，94， ∴七年级学生竞赛成绩的中位数为， 七年级学生竞赛成绩在“优秀”等级中的人数有， ∴，∴， 八年级学生竞赛成绩为95分的人数最多，∴； （2）解：八年级学生知识竞赛成绩较好， 在平均数相同情况下，八年级的众数95大于七年级的众数90， 八年级学生知识竞赛成绩较好； （3）解：（人） 答：该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生人数共910人． 21．（1）解：设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元． 根据题意，得． 解得． 则改造1条乙类生产线需投入（万元）． 答：该科技公司改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元； （2）解：设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：实际改造1条乙类生产线增加的费用是2万元． 22．（1）解：∵矩形，∴，， ∵，，∴， ∴， 当时，由题意知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，∴， 当时，， 综上，， 如图，过点作于，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积， 又∵的面积， ∴， 即； （2）解：画函数图象如下： 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （3）解：由函数图象可知，当0<x≤5.9时，， 23．（1）解：由观测点D既在A的北偏东方向处， 同时又在C的北偏西方向处知：， ∵点B在观测点D的北偏西方向处． ， ∵点B在观测点A的北偏西方向， ， 过点作，垂足为F，则，． 在中，，， （海里）， （海里）， 在中，，， （海里）． （2）解：由（1）得：在中，，，， ∴（海里），（海里）， 设乙巡逻艇距离处海里的处时，此时甲巡逻艇到处，两巡逻艇开始共同执行任务，连接， 过M作，垂足为P，， 在中，，， ，，， 在中，海里， 由勾股定理得：， 解得：，（舍去）， （海里）， 答：乙巡逻艇距离D处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务． 24（1）解：∵抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：， ∴抛物线为：． （2）解：如图，连接，，过P作轴交于T， ∵， ∴当最大时，最大， ∵当时，， ∴，而， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大，此时最大， ∴， ∵当时，， 解得：或， ∴， 如图，过D作的平行线，过A作，两平行线交于点Q， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 当P，D，Q三点共线时，，此时最小， ∴最小， ∴， ∴的最小值为：． （3）解：或． ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向上平移3个单位，再向右平移1个单位为：，即， ∵， ∴， 如图，在x轴上取，作直线交新抛物线于N， ∴，∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或，∴， 作K关于的对称点F，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为S，交y轴于R， 此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：直线为， ∴，解得：，∴， 由对称可得：S为的中点，∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或，∴， 综上：或． 25．（1）由且，得∆ABC为等边三角形， ∴，， 将绕逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 在中，，， ∴， ∴． （2）由,，得∆ABC为等腰直角三角形， 将绕逆时针旋转得， ∴，，， ∵为中点，， ∴，且， ∴在等腰中：， 又∵ ， ∴在中：， ， ∴， 过作交于，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， 得，故， 所以． （3）由，，所以， 当最大时，、、共线，，为等边三角形， ∴， 设，则，， 由翻折可知：，在以为圆心、为半径的圆上， 当最小时，、、共线，在、之间，故， 在中，，,， ，面积比：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期初三第二次月考命题说明表 年 级 初三 学科 数学 命题教师 田勇 审题教师 骆挺挺 考试时长 120 分钟 试卷分值 150 及格分数 90 及格率 78％ 优生分数 120 优生率 23％ 特高分数 140 特高分人数 30 预估年级平均分 102 原创(或改编)题号(至少5道) 1，8，13，14，20 考试内容、范围 初中数学中考 题型 分值 考查章节、知识点及详细要求 备注 选择题 40 数式，方程，函数；统计；对称图形，正方形；圆； 填空题 24 简单概率；平行线性质；二次根式运算与估算；含绝对值方程组；圆双问；数字及数论 解答 16 不等式组；尺规作图 解答 70 化简求值；方程应用；动点与函数作图；三角函数应用；二次函数综合；几何综合（算证猜） 学科网（北京）股份有限公司 $