精品解析：重庆永川中学初中部（教共体）2025-2026学年下学期第一学月质量监测九年级 数学试题

永川中学初中部（教共体）2026年春期第一学月质量监测 初2023级 数学试题 参考公式：抛物线的顶点公式为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先化简含绝对值的选项，再根据“负数小于0，0小于正数”的比较规则，判断出最小的数． 【详解】解：选项C中，， 因此四个选项对应的数分别为：，，，， 根据实数大小比较规则：负数正数，可得：， ∴最小的数是． 2. 下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，根据定义求解即可． 【详解】解：A 、B、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．由此，对各选项进行辨析即可. 【详解】解：A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； B、对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项符合题意； C、对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； D、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，点在上，，的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图：在圆上取一点D，连接，由圆周角定理可得，再根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：如图：在圆上取一点D，连接， ∵点在上，， ∴， ∴． 5. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一，第三象限 B. 第一，第四象限 C. 第二，第三象限 D. 第二，第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于反比例函数，∵， ∴根据反比例函数的图象性质，该函数的图象位于第二、第四象限． 6. 小谢同学将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中“”的个数，则第6个图形中“”的个数是（ ） A. 35 B. 46 C. 52 D. 61 【答案】A 【解析】 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图中“O”的个数为：； 第2个图中“O”的个数为：； 第3个图中“O”的个数为：； 第4个图中“O”的个数为：； …， 所以第n个图中“O”的个数为个， 当时， （个）， 即第6个图中“O”的个数为35个． 7. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 8. 永川中学开展了智慧父母研修班课程，促进家校合作．第一天报名活动的家长有人，第三天报名的家长有人，设该活动这两天报名人数的日平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率问题的基本公式为：初始量平均增长率最终量，明确初始量、增长次数和最终量，代入公式即可列出方程． 【详解】解：∵第一天的报名人数为，日平均增长率为， ∴第二天的报名人数为， ∴第三天的报名人数为， 因此可列方程． 9. 如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过正方形性质、翻折变换的性质，结合角度推导与三角形相似来求解．先利用正方形对角线性质证明 及相关角相等，再通过角度计算得到角的等量关系，最后证明三角形相似，结合边长比例求出 的值． 【详解】解：连接、， ∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， 垂直平分 ，， ∴ ，， ∴， ∵, ∴, ∴． ∵ 沿 翻折得到 ， ∴ ，，． 设 , 则 ， ∴， ∴, ∴, 又 ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ． 10. 已知整式，其中为正整数，均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且．下列说法： ①当时，满足条件的整式共有4种； ②当时，满足条件的所有整式中，能被5整除的有5个； ③若方程有解，则所有满足条件的整式共有18个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】对说法①，代表各项次数和为，满足条件的整式包括仅含一次项的单项式和含一次项与常数项的多项式，共种；对说法②，当时，将代入整式得，需其为的倍数：分和两类求解不定方程，各对应种符合条件的整式，总计种；对说法③，按、、分类统计方程有解的整式：时所有一次整式方程必有解，共种；时二次单项式及含常数项的二次整式方程有解，共种；时列举所有次数和为的整式并验证有解情况，共种，总计种． 【详解】解：∵均为绝对值小于2的整数， ∴可取，0或1，可取或 对于①，已知，是一次整式： 当是单项式时，仅含一次项，整式为，，共2种； 当是多项式时，含一次项和常数项，整式为，，，，共4种； 因此满足条件的整式共种，故说法①错误． 对于②，当时，， ∴，需能被5整除： 当时，， 要为5的倍数，只有， 此时或，对应整式为，，共2种； 当时，， 要为5的倍数，只有， 此时或，对应整式为，，共2种； 因此满足条件的整式共个，故说法②错误． 对于③，当时，整式有6种：，，， 对应的方程均有解，共6个； 当时，使方程有解的整式为，，，共4个； 当时，使方程有解的整式为，，，，，，，共个； 总共有个，故说法③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为0． 故选：A． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 现有五张质地、大小完全相同的卡片，分别写有“乐和乐都”、“茶山竹海”、“松溉古镇”、“永川博物馆”、“石笋山”五个地名．从中随机抽取一张，则抽到的卡片上含有“山”字的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定所有等可能的结果总数，再找出符合“含有“山”字条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，随机抽取一张卡片，所有等可能的结果共种，其中卡片上含有“山”字的结果共种， 所以抽到的卡片上含有“山”字的概率为． 12. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和定理．根据已知，求这个多边形的一个内角的邻补角，即可得这个多边形的一个外角的度数，结合多边形的外角和，即可得这个多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴其一个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 故答案为：． 13. 若m为正整数，且满足，则______． 【答案】 12 【解析】 【分析】先根据不等式的性质将原不等式变形为，再估算无理数的大小，得到的范围，结合为正整数即可求出的值． 【详解】解：对原不等式变形为： ∴， 又 ∴， ∵为正整数， ∴． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性可得，再根据，得出和两种情况，根据已知条件建立方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，又， ∴，即， 当时， ∵，， ∴， 解得，此时； 当时， ∴，此时方程组无解； 综上，的值为：． 15. 如图，是的切线，为切点，点在上，过点B作交于点，作交于点，点为上一点，连接交于点，若，，则线段的长度为___________，的周长为___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与相似三角形、解三角形的综合，解题关键是利用平行和圆中角的关系转化线段比例，利用相似三角形的性质解题． 根据切线性质可得，再由，可得，，由此即可，由已知可得四边形是平行四边形，证明，根据相似三角形的对应边成比例即可求出，进而得出，再解，求出，利用，利用等腰三角形三线合一的性质求出，最后利用，列比例方程即可求出的边长． 【详解】解：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，． ∴， 连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， ∴，， ∴，即， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 过点作，， ∵在中，， ∴ ， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴的周长=． 16. 若一个四位自然数的各个数位数字互不相等且均不为零，满足百位数字大于个位数字，且百位数字与个位数字的差为偶数，则称这个四位数为“偶运数”．按照这个规定，最小的“偶运数”是___________，对于“偶运数”，记，若为完全平方数，能被9整除，则所有满足条件的的和为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，准确理解题意以及得出各数位之间的关系是解题的关键． ①要使“偶运数”最小，先确定的值，再根据、之间关系，确定、的值，最后得出的值，即可得出答案； ②由，结合为偶数，且、不相等，故最大为，最小为，故的值可能为、、，再根据能被9整除，即是的倍数，可得出、的关系，再通过列举法进行分析，即可得出可能地值，最后求和即可． 【详解】解：①要使“偶运数”最小， 则确定， 由于，且为偶数，且要使尽可能小， 则，， ， 故最小的“偶运数”是； ②∵， ∴，， ∵为完全平方数， 故， ∵为偶数，且、不相等，故最大为，最小为， ∴的值可能为、、， 若，则，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵能被9整除，即是的倍数， 故， ∴应为的倍数， 则， 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，， 此时，不满足题意要求； 若，则，，， 是9的倍数； 此时为； 若，则，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵能被9整除，即是的倍数， 故， ∴应为的倍数， 则， 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，（舍）， 此时不满足题意要求； 若，则，， ∴，， ∵， 故，， ∴， ∵能被9整除，即是的倍数，且， 故， ∴应为的倍数， 则或， 若，则，（舍去）或，（舍）， 此时不满足题意要求； 若，则，或（舍去），， 是9的倍数； 此时为； 综上，的可能取值为、， 求和结果为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以，不等式组的解集为， 所以，不等式组的所有整数解为． 18. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如图，在矩形中，是对角线，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，分别交边，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求证：． 证明：四边形是矩形， ，_____①_____， ． 垂直平分， ，____②_____， ， ， ___③___， ， ． 在中，， ____④__， ． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的作图步骤画图即可； （2）根据题干证明思路，结合直角三角形的性质等相关知识解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：四边形是矩形， ，， ． 垂直平分， ，， ， ， ， ， ． 在中，， ， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【详解】解： ． ． 原式 ． ， 原式 ． 20. 中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．， C．，D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49， 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47， 47，48，48，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 b 中位数 a 48.5 方差 18.24 6.14 （1）上述表中，______，______，请补全条形统计图； （2）根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校三个校区九年级共有3600名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 【答案】（1）49；49；图见解析 （2）甲班成绩较好，理由见解析 （3）估计这次体测成绩为满分的学生人数是1170人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的意义，将甲班的抽查的20人成绩排序找出处在中间位置的两个数的平均数即可为中位数，从乙班成绩中找出出现次数最多的数即为众数，再由甲班总人数可得D组人数，从而补全统计图； （2）根据题意和表格中的数据，甲班的平均数与乙班一样，根据中位数，众数可以分析得出； （3）根据题意，计算出两班级达到满分人数的百分比，然后乘以总人数即可解答本题． 【小问1详解】 解：由题意得：甲班学生成绩处在中间位置的两个数是分数段的最后两个数：49，49． 故中位数． ∵乙班20名学生的体测成绩49出现了5次，最多次． ∴． 由题意，∵共抽取了20名学生， ∴D组人数为：（名），故可补全条形统计图如下． 【小问2详解】 解：甲班成绩较好，理由：甲班的平均数与乙班一样、但中位数，众数均大于乙班； 【小问3详解】 解：20个人中，甲班满分的有9人，乙班满分4人． ∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）． 答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是1170人． 21. 列方程解下列问题： 骐骥驰骋，智造未来！某工厂使用两种型号的机器人检测零件．已知A型每小时比B型多检测50个零件，且A型3小时检测的零件数比B型4小时检测的零件数少250个． （1）求A，B两种型号的机器人每小时各检测多少个零件？ （2）对机器人进行升级后，A型每小时检测的零件数是B型的倍．若升级后的A，B型机器人各检测8100个零件，且B型比A型多用3小时，求B型机器人较升级前每小时多检测多少个零件？ 【答案】（1）A型机器人每小时检测450个零件，B型机器人每小时检测400个零件． （2）B型机器人较升级前每小时多检测50个零件． 【解析】 【分析】（1）设B型机器人每小时检测x个零件，则A型每小时检测个零件，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设升级后B型机器人每小时检测y个零件，则升级后A型每小时检测个零件，再根据题意列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时检测x个零件，则A型每小时检测个零件， 根据题意列方程：，解得：， 则A型每小时检测个． 答：A型每小时检测450个零件，B型每小时检测400个零件． 【小问2详解】 解：设升级后B型机器人每小时检测y个零件，则升级后A型每小时检测个零件， 根据题意列方程： ， 整理解得：， 经检验是原方程的解，符合题意． 升级前B型每小时检测400个，因此增量为：个． 答：B型机器人较升级前每小时多检测50个零件． 【点睛】找到等量关系、正确列出方程是解题的关键． 22. 如图，在菱形中，点P为对角线上一点（点P不与A，C重合），连接．过点P作的垂线，分别交菱形的边于点E，F．若，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，菱形的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） ；． （2）图像见详解， 的一条性质：在时取最大值6； 的一条性质：在时，随着x增大而减小． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质和勾股定理求出长度，再利用相似比表示出，注意是分段函数，且 ，分别利用菱形和三角形面积公式求出，即可表示． （2）在坐标轴画出图像即可，性质可以考虑函数的变化趋势，最大最小值等． （3）有两个交点，分别联立两个方程求出横坐标值，最后表示出范围． 【小问1详解】 解：设与交点为Q，由菱形性质知，故， ，，由于P在和上时对应函数表达式不同，故以作为分界点，且P与A或C重合时不存在，故且， ①P在上，如图 由于，故， ， ， ， 由对称性知； ②P在上，如图 同理可证，且， ， ， 由对称性知； 由菱形面积公式知，由三角形面积公式知， ； 综上所述， ；． 【小问2详解】 解：如图所示， 的一条性质：在时取最大值6； 的一条性质：在时，随着x增大而减小． 【小问3详解】 解：由第二问图像可知与有两个交点，分别联立方程求出横坐标值， 令，解得； 令，解得，保留较大值，则， 故由图像可知，时 ． 23. 如图，小聂家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方，小聂先从家出发沿北偏东方向步行米至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) （1）求菜鸟驿站与超市的距离；(结果保留根号) （2）若小聂的步行速度为米/分钟，忽略小聂买素描画纸的时间，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(精确到) 【答案】（1）米； （2）会迟到，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先依据题意得出对应内角度数，在中利用正弦求出公共直角边，再结合等腰直角三角形边角相等关系得到长度，最后在中借助余弦运算求出的准确距离． （2）先在中用算出水平总长，通过线段差值求出长度，累加两段路程得到步行全程总长，代入参考近似值算出路程具体数值，再结合步行速度算出7分钟可行走的最大距离，对比路程大小即可判断小聂上课是否会迟到． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题意，超市在正东方，在北偏东方向，沿西南方向到， 因此，米，． 在中，(米)． 在中，， ∴(米)， ∴(米)． 答：菜鸟驿站与超市的距离为米． 【小问2详解】 解：小聂会迟到，理由如下： 在中，(米)， ∴米， ∴小聂从到再回到的总路程为：米， 代入，得：(米)， ∵， ∴所需时间大于7分钟， 答：他上美术网课会迟到． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）点K的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把A，B坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，，如图1，设直线交直线于点D，根据，可知点P与点D的纵坐标相等，则，计算的长，计算，连接，作关于y轴的对称点，连接，当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是的长，即可解答； （3）先求平移后抛物线解析式，再求抛物线与轴的交点坐标，可得的长，求出，当点K在x轴的上方，设，则，得，解方程求出的值，即可得点K的坐标；同理可求当点K在x轴的下方时点K的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入中得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴是：直线， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，如图1，设直线交直线于点D，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，点P与点D的纵坐标相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，有最大值，此时点P的坐标为， 把点P的坐标为向下平移个单位得， 连接，作关于y轴的对称点，连接， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是， ∵，， ∴， ∴的最小值是； 【小问3详解】 解：， ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：或 设点为函数与轴正半轴的交点， ∴， 分两种情况： ①点K在x轴的上方，如图，过点P作轴，过点K作轴于点F， 由（2）知：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得或（此时与点重合，不合题意，舍去） ∴, ∴ ②点K在x轴的下方时，同理可得，， ∴， 综上，点K的坐标为或． 25. 如图，中，，，为射线上一点，过点作于点，是的中点． （1）如图1，与有何关系，并说明理由； （2）如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明； （3）将绕点顺时针旋转，若，且，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1），，理由见解析； （2）成立，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，；，同时可以得到点在以为圆心，为直径的圆上，得出，； （2）成立，取中点，中点，连接、、、，证明，得到，，推出； （3）取中点，中点，中点，作，连接、、、，证明，得到，，证明，设，则，，求出， ，得到，继而得到． 【小问1详解】 解：，，理由如下， ，是的中点， ， ， ， ， ； ， ， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， ， ； 【小问2详解】 解：成立，理由如下， 如图，取中点，中点，连接、、、， ，， ， 是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ,由旋转得， ， , ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，取中点，中点，中点，作，连接、、、， ，，，，，，， ，，， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， 由旋转得， ， ， ， 设，则，， ， ，即， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川中学初中部（教共体）2026年春期第一学月质量监测 初2023级 数学试题 参考公式：抛物线的顶点公式为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 1 2. 下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 4. 如图，点在上，，的度数是（ ）． A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一，第三象限 B. 第一，第四象限 C. 第二，第三象限 D. 第二，第四象限 6. 小谢同学将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中“”的个数，则第6个图形中“”的个数是（ ） A. 35 B. 46 C. 52 D. 61 7. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 8. 永川中学开展了智慧父母研修班课程，促进家校合作．第一天报名活动的家长有人，第三天报名的家长有人，设该活动这两天报名人数的日平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且．下列说法： ①当时，满足条件的整式共有4种； ②当时，满足条件的所有整式中，能被5整除的有5个； ③若方程有解，则所有满足条件的整式共有18个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 现有五张质地、大小完全相同的卡片，分别写有“乐和乐都”、“茶山竹海”、“松溉古镇”、“永川博物馆”、“石笋山”五个地名．从中随机抽取一张，则抽到的卡片上含有“山”字的概率为______． 12. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 13. 若m为正整数，且满足，则______． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为______． 15. 如图，是的切线，为切点，点在上，过点B作交于点，作交于点，点为上一点，连接交于点，若，，则线段的长度为___________，的周长为___________ 16. 若一个四位自然数的各个数位数字互不相等且均不为零，满足百位数字大于个位数字，且百位数字与个位数字的差为偶数，则称这个四位数为“偶运数”．按照这个规定，最小的“偶运数”是___________，对于“偶运数”，记，若为完全平方数，能被9整除，则所有满足条件的的和为___________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出所有整数解． 18. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如图，在矩形中，是对角线，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，分别交边，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求证：． 证明：四边形是矩形， ，_____①_____， ． 垂直平分， ，____②_____， ， ， ___③___， ， ． 在中，， ____④__， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．， C．，D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49， 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47， 47，48，48，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 b 中位数 a 48.5 方差 18.24 6.14 （1）上述表中，______，______，请补全条形统计图； （2）根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校三个校区九年级共有3600名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 21. 列方程解下列问题： 骐骥驰骋，智造未来！某工厂使用两种型号的机器人检测零件．已知A型每小时比B型多检测50个零件，且A型3小时检测的零件数比B型4小时检测的零件数少250个． （1）求A，B两种型号的机器人每小时各检测多少个零件？ （2）对机器人进行升级后，A型每小时检测的零件数是B型的倍．若升级后的A，B型机器人各检测8100个零件，且B型比A型多用3小时，求B型机器人较升级前每小时多检测多少个零件？ 22. 如图，在菱形中，点P为对角线上一点（点P不与A，C重合），连接．过点P作的垂线，分别交菱形的边于点E，F．若，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，菱形的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，小聂家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方，小聂先从家出发沿北偏东方向步行米至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) （1）求菜鸟驿站与超市的距离；(结果保留根号) （2）若小聂的步行速度为米/分钟，忽略小聂买素描画纸的时间，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(精确到) 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，中，，，为射线上一点，过点作于点，是的中点． （1）如图1，与有何关系，并说明理由； （2）如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明； （3）将绕点顺时针旋转，若，且，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $