陕西西安市周至县第六中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 以莫高窟参观、春节影片选择等文化与生活情境为载体，覆盖二项式定理、概率统计等高二核心知识，通过梯度设计考查数学抽象、数据观念与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项式系数、排列组合、随机变量|基础概念辨析，如第3题分组分配考查逻辑推理| |多选题|3/18|二项式定理、概率性质|选项分层，如第10题综合判断分布特征| |填空题|3/15|组合数、古典概型|文化情境，如第13题莫高窟参观概率| |解答题|5/77|二项式应用、分布列、频率分布直方图|综合应用，如17题剪纸质量检测结合直方图与二项分布，19题古诗比赛融合概率与决策分析|

周至六中2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题（卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1．若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（   ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动，这五位教师被分到三个不同的小组，其中两位女教师分派到同一个小组，则不同的分配方案有（   ） A．18种 B．36种 C．68种 D．84种 4．的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 5．设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 8．若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则(　　) A.n=10 B.n=11 C.奇数项的二项式系数和为211 D.奇数项的二项式系数和为29 10．下列结论正确的有（    ） A．若随机变量服从两点分布，，则 B．若随机变量的方差，则 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服正态分布，，则 11．某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋 要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用表示四人中选择跳绳的人数之和，则（    ） A．每位家长选择跳绳的概率为 B．的可能取值有4个 C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12．若，那么正整数的值是________． 13．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个最值得参观洞窟的概率是______． 14．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子朝上面的点数．记事件“两个点数不相同”，事件“两个点数都没有出现5点”，则_____． 四、解答题（共5道题，满分77分） 15.（本题15分） 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第六项． 16.（本题15分） 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 17（本题15分）． 2026年春节，我市质检部门抽查了一家生产剪纸的文创工坊，随机抽取了100幅剪纸作品，检测其工艺质量指标，检测结果的频率分布直方图如图所示． (1)求a的值，并估计该工坊生产剪纸的质量指标值的中位数（用分数作答）； (2)新春佳节，市民选购剪纸时更看重工艺品质，若规定质量指标值不低于30为“新春优品剪纸”，用样本估计总体，从该厂生产的大量剪纸中随机抽取4幅，记其中“新春优品剪纸”的幅数为，且各件产品是否为“优品”相互独立．求的分布列并计算数学期望与方差． 18. （本题15分） 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望。 19. （本题17分） 《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 周至六中2025-2026学年度第二学期期中考试 高 二 数学答题 纸 ) ( 条形码粘贴区域 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) ) ( 试卷类型 A B 缺考标记 （禁止考生填涂） ) ( 姓 名 准考证号 ) ( 注意事项 选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。 非选择题必须使用黑色签字笔书写，笔迹清楚。 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域，以及在草稿纸和试题上的答案均无效。 请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 填 涂 样 例 正确填涂 ) ( 第一部分 选择题 (共 58 分) 一、 选择题 ) ( 7 8 9 10 11    ) ( 1 2 3 4 5 6 ) ( 第二部分 非选择题 三 、填空题 （每小题5分，共 15 分） 1 2 . 1 3 . 1 4 . 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 1 6 . （ 15 分） 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 四 、解答题 （ 5 小题，共7 7 分） 1 5 . （ 15 分） 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17. （ 15 分） 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18 . （ 15 分） 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19 . （ 17 分） 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 数学 第2页 共2页 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 数学 第1页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二数学期中考试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B D C A C AD ABD 题号 11 答案 AD 12．或 13．/ 14． 15．（1）因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． 所以，解得．………………………………………………5分 （2）二项式展开式的通项为，， 令，解得：， 所以当时，， 故展开式中含项的系数为．…………………………………………10分 （3）根据（2）可得，二项式展开式的通项为，， 令，可得，所以展开式的第六项为 ……………………………………………………………………………………15分 16．【详解】（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种.…………………………5分 （2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种..…………………………10分 （3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种..………………………15分 17．【详解】（1）由得． 由图知，中位数在区间内，设中位数为m， 则，解得．.…………………6分 （2）通过频率分布直方图计算得：P（优品），即， 由题意可知：服从二项分布，即． 由二项分布概率公式得： ； ； ； ； ． 所以X的分布列为： ；.………………………………………13分 ．.………………………………………15分 18．【详解】（1）名同学中，会法语的人数为人， 从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法； 所以选派的人中恰有人会法语的概率．.…………………7分 （2）由题意可知，所有可能的取值为， ，， ，， 所以的分布列为 数学期望为．.……………………………15分 19．【详解】（1）由题意得小明背诵首古诗的概率..………5分 （2）已知小明背诵的古诗数为，则的可能取值为、、， ，，， 所以， ..……………………12分 （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，, 显然，，所以选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适..………………………………………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度高二数学期中考试卷参考答案 题号 y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B & B D c A C AD ABD 题号 11 答案 AD 12.3或7 13. -/0.5 3 14 3 n 15.(1)因为二项 2x 的展开式中各项的二项式系数之和为128. 所以2m=128,解得n=7 .5分 (2)二项式 展开式的通项为 3-7 (-2x)=C(-2yx9,r=0,1,2,3,4,5,6,7, 令37 =1,解得：r=3, 2 所以当r=3时，(-2)C=-280, 故展开式中含x项的系数为-280 ..10分 3-7 (3)根据(2)可得，二项 展开式的通项为T1=C(-2x?, r=0,1,2,3,4,5,6,7, 3×5-7 令r=5,可得T,=C(-2)x?=-672x,所以展开式的第六项为-672x ..15分 16.【详解】(1)因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有A4=4×3×2×1=24种， .5分 (2)因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有4×4=16种..…...10分 (3)因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 答案第1页，共4页 所以不同的选择方法有CC4A=6×4×6=144种........15分 17.【详解】(1)由(0.010+0.015+a+0.025+0.030)×10=1得a=0.020. 由图知，中位数在区间[20,30)内，设中位数为m, 80 则0.1+0.2+(m-20)×0.03=0.5,解得m= =26 3 3 ……….6分 (2)通过频率分布直方图计算得：P(优品)=0.4，即p=0.4, 由题意可知：X服从二项分布，即X~B(4,0.4). 由二项分布概率公式P(X=k)=C4pI-p)4得： P(X=0)=C0.41-0.4)=81 625 P(X=)=C04a-04-216 PX=2)=Cg0.41-0.42-216 625 P(X=3)=C0.431-0.4)1= 96 625 PX=4)=C040-0.4°=16 625 所以X的分布列为： X 0 2 3 4 81 216 216 96 16 P 625 625 625 625 625 E(X)=np= P 5 ....13分 D(X)=np(-p)= 24 25 ………….15分 答案第2页，共4页 18.【详解】(1)7名同学中，会法语的人数为5人， 从7人中选派3人，共有C种选法；其中恰有2人会法语共有CC种选法： 所以选派的3人中恰有2人会法语的概率P= C3C_4 .7分 (2)由题意可知，X所有可能的取值为0,1,2,3， Pxo等0Pr-器 35 x答号动 、1 35 所以X的分布列为 X 0 2 3 4 18 12 1 35 35 35 35 数学期望为 18 E(X)=0× 4 +1× +3x19 12 35 +2× 35 3 357· …..15分 19.【详解】(1)由题意得小明背诵2首古诗的概幸P= cic _3 C85 5分 (2)已知小明背诵的古诗数为X,则X的可能取值为1、2、3， P(X=1)= P苦x C4C-1 5 所以E(X)=1×+2x3+3x1=2, 3 5 5 5 px)=02写2-2f(8-2i×g号 ...12分 《3)设小华背诵的古诗数为Y,由题意可知上~3号门 答案第3页，共4页 由二项分布的期望和方差公式可得B()=3x2=2,D(T)=3×2×}-2 3 333 显然E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),所以选小明同学代表班级参加学校总决 赛更合适………….17分 答案第4页，共4页周至六中2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学答题纸 姓 名 条形码粘贴区域 准考证号 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 0 试卷类型A☐ B☐ 缺考标记（禁止考生填涂) 1.选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡 注 皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。 填 意 2.非选择题必须使用黑色签字笔书写，笔迹清楚。 正确填涂 事 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题 样 口 项 区域，以及在草稿纸和试题上的答案均无效。 4.请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 第一部分选择题（共58分） 一、 选择题 1▣BCDI 7 AJBC]D 2ABC]D 8 A]B]C]D 3ABCD 9 ABCD 4ADB☐CD□ 10 ABC ]D] 11 A]B]C]D 6A0B☐C☑DI 第二部分非选择题 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14. 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 四、解答题(5小题，共77分) 15.(15分) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 数学第1页共2页 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 16.(15分) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 频率/组距 0.030 0.025 0 0.01 0.010 01020304050质量指标值 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(15分) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 数学第2页共2页 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效