精品解析：陕西榆林市靖边中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

靖边中学2024级2025—2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ） A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合分步乘法计数原理运算求解即可. 【详解】由题意可知：每位同学均有3个运动队选择， 所以不同的报名方法种数是. 故选：D. 2. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以. 故选：B. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以． 故选：C. 4. 若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（ ） A. 90 B. -90 C. 180 D. -180 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式的展开式中系数的规律及二项式展开式的通项公式即可解出. 【详解】由题意可知，二项式的展开式中一共有11项，所以， 设展开式第项为常数项，则， ， ， 该二项式的展开式中常数项为， 故选：C. 5. 若服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为服从两点分布，所以， 已知，可得，解得， 那么，则. 6. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求的值. 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 7. 某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算教师不站在两端的总排列数，再计算该条件下甲乙相邻的符合条件排列数，两者作商得到所求概率. 【详解】设“甲、乙相邻”为事件A，“教师不站在两端”为事件B，则“教师不站在两端且甲乙相邻”为事件， 因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列， 所以 ； 将甲乙看作1个整体，内部排列有种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师）， 要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列：  ， 根据条件概率公式： . 8. 除以9的余数为（ ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先将 转化为与9相关的表达式，再利用二项式定理展开，通过分析展开式各项与9的关系，从而确定 被9除所得的余数即可. 【详解】因为 ，又因为 ，所以 ， 根据二项式定理，当，，时，则： 由于9是9的倍数，那么对于展开式中的每一项 （）， 当 时， 是9的倍数，所以这些项都能被9整除， 当 时，该项为 ， 因为 展开式中除最后一项 外，其余各项都能被9整除， 所以 除以9的余数为 （因为余数要为正数）， 则 除以9的余数就相当于 除以9的余数，，所以余数为7. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项分布的数学期望和方差公式、进行求解 【详解】由题意可得， 则，， 故A，C，D均正确，B错误． 故选：ACD. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过分别令、、代入原式求出​、所有系数和、奇次项系数和，再对原式两边求导后令得到，逐一验证各选项. 【详解】对于A： 令 ，代入原式左边得： ，因此  ，A错误； 对于B： 令 ，代入原式左边得： ， 因此 ，B正确； 对于C： 设 ​，​， 由得：  （1）；  令 ，代入左边得： ，即：  （2）； （1）（2）得  ，即 ，C正确； 对于D： 对原式两边关于求导， 左边导数为： ， 右边导数为：， 令 ，代入左边导数得：  ，  即 ，D正确. 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 的展开式中，的系数为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 13. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，用表示个区域，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】如图，用表示个区域， 分4步进行分析： ①，对于区域，有5种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种. 故答案为：. 14. 一个袋子中装有形状大小完全相同的6个球，其中有2个红球，4个白球，从中随机逐一取球，每次抽取后不放回，记为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则的数学期望_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可能取值为：，求出对应的概率，利用期望的公式求解即可. 【详解】由题可得：可能取值为：， ：表示前两次都抽到红色，, ：表示前两次都抽到一红一白，第三次抽完红球，, ：表示前三次都抽到一红两白，第四次抽完红球，或者前四次抽的全是白色, ：表示前四次都抽到一红三白，第五次抽完红球，或者前四次抽到一红三白，第五次抽完白球， 则, 所以 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有多少种？ （2）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ 【答案】（1）60；（2）156 【解析】 【分析】（1）据给定条件，利用分步乘法计数原理列式求解； （2）分为末位为和不为两种情况计算即可. 【详解】（1）从5种课外读物中任取1种为甲乙共同的，有5种方法； 再从余下4种中取1种给甲，有4种方法；最后从3种中取1种给乙，有3种方法， 所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（种）； （2）若末位为，则可组成个无重复数字的四位偶数； 若末位不为，则可组成个无重复数字的四位偶数； 共可组成个无重复数字的四位偶数. 16. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）性别与使用AI工具的熟练度无关； （2） 0 1 2 3 数学期望为1. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【小问1详解】 设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关， 由统计表得， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关. 【小问2详解】 男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 因此的可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 17. 甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响. （1）甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小； （2）丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值. 【答案】（1）甲恰好投中1次的概率大. （2），最大值为. 【解析】 【分析】（1）分别求出甲乙各命中1次的概率，即可求解. （2）求出丙恰好投中1次的概率为，再令，然后利用导数求出最值，即可求解. 【小问1详解】 甲恰好投中1次的概率为， 乙恰好投中1次的概率为， 所以甲恰好投中1次的概率大. 【小问2详解】 丙恰好投中1次的概率为. 令. 求导得：. 由，解得，故在上单调递增： 由，解得，故在上单调递减， 所以. 所以当时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为. 18. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值； （3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值． 【小问1详解】 样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为， 平均一棵的材积量为 【小问2详解】 则 【小问3详解】 设该林区这种树木的总材积量的估计值为， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得，解之得． 则该林区这种树木的总材积量估计为 19. 甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为． （1）求，和，； （2）求的数学期望（用含有的式子表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先结合独立事件乘法公式求出，，再利用全概率公式求，. （2）当乙口袋中有个黄球时，甲口袋中有个黄球，乙口袋中有个红球，甲口袋中有个红球．先求一次操作后乙口袋黄球数的条件期望，再取期望得到递推关系． 【小问1详解】 依题意，，， ， . 【小问2详解】 设某次操作前乙口袋中有个黄球，其中． 则甲口袋中有个黄球，乙口袋中有个红球，甲口袋中有个红球． 一次操作中，乙口袋中黄球数增加的概率为，乙口袋中黄球数减少的概率为． 因此，在已知 的条件下， 两边取期望，得． 令 ，则．又 ，所以 ，即 ． 故，从而． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖边中学2024级2025—2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ） A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 2. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（ ） A. 90 B. -90 C. 180 D. -180 5. 若服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 7. 某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 除以9的余数为（ ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 的展开式中，的系数为______ 13. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种（用数字作答）. 14. 一个袋子中装有形状大小完全相同的6个球，其中有2个红球，4个白球，从中随机逐一取球，每次抽取后不放回，记为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则的数学期望_________． 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有多少种？ （2）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ 16. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响. （1）甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小； （2）丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值. 18. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数． 19. 甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为． （1）求，和，； （2）求的数学期望（用含有的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $