·第五章 分式与分式方程单元综合练习2025-2026学年北师大版数学八年级下学期

**基本信息** 聚焦分式与分式方程全章核心，以“概念理解-运算求解-方程应用-综合探究”为逻辑主线，渗透抽象能力、运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1/填空13|考查分式有意义条件、值为零的条件|从分式定义到字母取值限制，构建概念认知基础| |运算求解|选择2/5/解答17|分式化简求值、最简公分母确定|以分式基本性质为核心，衔接分式加减乘除运算规则| |方程应用|选择3/7/解答19/21|含增根分式方程、行程与购物问题建模|从方程求解到实际问题转化，体现模型意识与应用能力| |综合探究|解答23|糖水浓度与分式不等式证明|结合生活情境，通过推理意识实现知识迁移与拓展|

八年级数学（北师大版）单元综合练习 第五章 分式与分式方程 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2. 下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3. 关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 4. 分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 5. 无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 6. 某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7. 若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 8. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 9. 若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 10. 定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”．若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知实数，满足，则的值为______． 12．若，互为倒数，则的值为_____． 13．若分式的值为零，则______． 14．若关于x的方程有增根，则a的值是______． 15．计算：________． 16．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）先化简，再求值：，其中． 18. （8分）先化简：，再从、、0、1中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 19. （10分）某学校开展了课外活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度． 20. （10分）计算 (1)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． (2) 计算：． 21. （12分）年月日至年月日，第一届“梵超”（梵净山足球联赛）在铜仁各区县举行，文创产品“傩戏吊坠”“朱砂吊坠”深受大家喜爱，某文旅中心在售“傩戏吊坠”和“朱砂吊坠”两种文创产品吊坠，已知每个“朱砂吊坠”的价格是每个“傩戏吊坠”价格的，用元购买“朱砂吊坠”的数量比用元购买“傩戏吊坠”的数量多7个． (1)求每个“傩戏吊坠”的价格． (2)某游客计划用不超过元购买“傩戏吊坠”和“朱砂吊坠”两种吊坠，且购买“朱砂吊坠”的数量比“傩戏吊坠”的数量多5个，求该游客最多购买多少个“傩戏吊坠”． 22. （12分）完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 23. （12分）【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． (1)【任务1】直接写出①“__________”处的内容： (2)【任务2】证明②中的不等式： (3)【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D A C B A D D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11． 12． 13． 14．4 15． 16．且 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解： ， 当时，原式． 18．解：      ，    ∵，且 ∴且， ∴只能     ∴当时，原式． 19．解：设乙同学骑自行车的速度是x千米/小时，依题意得 ， 解得 经检验，当时，， 所以是原方程的解． 答：乙同学骑自行车的速度是12千米/小时． 20．（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上如图， （2）解： 21．（1）解：设每个“傩戏吊坠”的价格为x元，每个“朱砂吊坠”的价格为元 由题可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每个“傩戏吊坠”的价格为元． （2）设该游客最多购买m个“傩戏吊坠”，则购买个“朱砂吊坠”， 又结合（1）每个“傩戏吊坠”的价格为元，每个“朱砂吊坠”的价格为元， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大整数解为， 答：游客最多购买个“傩戏吊坠”． 22．（1）解：， ， ， ． ∵方程的解是， ∴，且， 解得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 当时，． ∵方程有增根， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 23．（1）解：如果加入克水，糖水的浓度变为， 由糖水变淡可得不等式； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴； — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $