辽宁大连市第四十八中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

科目：高一数学 注意事项： 1.答题前，学生务必将自己的姓名、班级等信息写在答题卡指定位 置上，并认真核对条形码上的相关信息，确认无误后，将条形码粘贴在 答题卡指定位置上。 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本题和草稿纸上作答 无效。学生在答题卡上按如下要求答题： (1)选择题部分请按对应题号用2B铅笔规范填涂方框，如需修改， 请用橡皮擦除干净，不要留有痕迹。 (2)非选择题部分请用0.5毫米黑色签字笔在对应区域作答。 (3)请勿折叠答题卡。答题时保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 3.答题结束后，将本题和答题卡一并交回。 4.本题共5页，如有缺页，学生须及时报告老师，否则后果自负。 学校：大连市第四十八中学 姓名： Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同 2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将 准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效： 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.设扇形的半径为2cm,弧长为6cm,则扇形的圆心角的弧度数是（) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知向量a,满足a==1,a-=5,则a+=（) A.1 B.√2 C.5 D.2 3.在△4BC中，anA、tanB是方程x2+√5x-2=0的两个实根，则tanC的值为() A.-√5 B.√5 C.、g D.3 3 4.已知名，马是单位向量，且<，>=，若向量=名+2e在6上的投影向量为 e(2eR),则=() A。2 B.3 C.5 D. 5.已知函数f倒=如(-引，若方程f)-专的解为0<<名<，侧 sin(+x2)=() 高一数学第1页共5页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 B.⑤ C. 2 2 6者a[ 且sin2a=5 ,sin(B-a)=o 则sin(a+)=() 10 A. 2 B.5或- C.-V2 D.2 2 2 2 10 7.某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系； f间=10-5cos受-s受1e0,24).若实验室温度不低于1C时需要降温，则在- 天时间内实验室需要降温的时长为() A.6小时 B.8小时 C.9小时 D.12小时 8、已知题数f=sm2x引若%[受引， 总存在唯一实数x2∈[0，a],使得 f(:)+f(x,)=0,则实数a的取值范围是() [ B [原 C. π5π 412 D [哥 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分 9.下列各式中运算正确的是() A.sim15°cos15°=4 1 B.cos cos2-sin元si nπ=6+V2 si 12 6 12 64 C.tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1 -5 D. 10.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C,则下列说法正确的是() A.若sinA=cosB,则△ABC不是锐角三角形 B.若sinA>cosB,则△ABC是锐角三角形 C.若(e+bee+b-q=b,则C=号 D.若血4_BcoB,则B=号 高一数学第2页共5页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 11.如图所示，线段AB是⊙C的弦，其中AB=8,AC=5,点D为⊙C上任意一点，则以 下结论正确的是() A.AD≤10 B.ACAB=32 C.当ABc西=0时，sin∠DAB=25 D.ABAD的最大值是72 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若ina=写则eo2a= 13.设当x=日时，函数f(x)=simx+3cosx取得最大值，则cos日=一 14.sin40'(tan10°-vB）= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量a=（-1,1),万=(2,1)，c=ma+b(meR). (1)若c与ā-2b共线，求实数m的值； (2)若与c的夹角为锐角，求实数m的取值范围. 16.(15分) 已知平面向最a-(5 in.co--》5=(eoax-,肠数f(=a6. (1)求f(x)的单调递增区间； 2诺锐角a满足f(侣)-京，求sm2a+君)的值， 高一数学第3页共5页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 17.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别是a,b,c,且bcosC+ccosB=2 acos A. (1)求角A的大小； (2)若a=V13,b=3,求△ABC的面积； (3)若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围. 18.(17分) 如图，设Or、Oy是平面内相交成a(0<&<)的两条射线，、E,分别为Ox、Oy同向 的单位向量，定义平面坐标系xOy为xOy@仿射坐标系，在xOya仿射坐标系中，若 O驴=x,+y2,则记0P=(x,y): (在0月仿射坐标系中，若ā=(5，，求同， 2在x0。仿射坐标系中，若a=(,3),石=(3,1，且a与万的夹角为于，求cosa, ⊙)蜘如图所示，在0旬仿射坐标系中，B、C分别在x辅、y轴正半轴上，BC-1, OD=OC,E、F分别为BD、BC中点，求O丽.O丽的最大值。 19 高一数学 第4页共5页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效可 19.(17分) 如图，有一块矩形铁皮ABCD,其中AB=(t24),AD=4,阴影部分AMN是一个半径 为3的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀 的部分截下一块其边落在BC与CD上的矩形铁皮PQCR,使点P在弧MN上.设 ∠MP=0s9s 矩形PQCR的面积的表达式为f(O). C (①当t=6时，设g0-@-9血9eos0418血0-sin26,求g(0)的值域； 12 (2)当t=4时，求f(⊙)的最小值，并求出当f(Θ)取得最小值时，所对应的si血B的值. 高一数学 第5页共5页 Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效2025-2026学年度第二学期期中考试试题 高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D A C B C AC ACD 题号 11 答案 ABD 8.C因为∈ 所以 11.ABD z-e 由题意可知，⊙C的半径为5 AD=Ac+C而=VAc+C可-VAC+2AccD+c而 所以fs)e o小则 =25+2x5x5xcos(4Cc⑦+25=01+os ACCD）》 因为(AC,CD)∈[0，]，所以， 5π cos(Ac,cD)∈[-1 总存在唯一实数 所以0≤501+cos(AC,cD》s10,所以 x∈[0，a],使得f(x)+f(s)=0, A正确； 即y∈ 0, 3 2 使得f(s)=y在[0，a]上 AC.AB=AC4 cos∠CAB 4 有唯一解， -40cos∠C1B40×名=32，所以B正确： 当ABCD=0时，取AB的中点，记作E, 因为∈[0，a],所以 则C,D,E三点共线， 当DE=CD+CE=5+√25-16=8时， 因为总存在唯一实数x2,使得 DA=VDE2+AE2=V⑧2+4？=4V5,所以 f)e 2 sim∠D4B=DE-8=2V5 DA 4V55: 所以.即a 当DE=CD-CE=5-√25-16=2时， 4 12 DA=√DE2+AE2=√2+4平=25，所 第1页共5页 以.sin/DAB= DE 25 DA 25 5 c=ma+b=m(1,1)+(2,1)上(2-，m+1), 所以C错误； 若6与的夹角为锐角，则bc>0且b,c不 同向， 由bc=2×(2-m)+1×m+1)=5-m>0, 解得m<5, ABAD-AB(AC+CD)=32+ABCD 由1×(2-m)=2x(m+1),解得m=0,此 -32+40cos4B,cD)因为(AB,CD)∈[0，， 时b,c同向，不符合题意， 所以cos(AB,cD)∈[-1,1]， 因此实数m的取值范围为(-∞，0)U(0,5). 所以ABAD的最大值是32+40=72，所以 16.(1))a万V3 sinxcosx-cos2x+月 D正确. 3.2 2一+2 三、填空题 sin 2x-cos2x-sin (2x-), 1 13. 3W10 14.-1 取2m-s2x-工s21m+k∈Z,解得 10 6 君rsm+e2. 3 四、解答题 故f(x)的单调增区间为 15.(1)因为a=(-1,1),b=(2,1),所以 血+kez, a-2b=（-1,1)22,1)=（5,-1), 2)由知)加2)则 c=ma+b=m(1,1)+(2,1)=(2-,m+1), c与a-2b共线，则 周m (-5)x(m+1)=(-1)x×(2-m),解得 所以sim(2a+9）=sim[(2a）+ =cos(2a）l-2sin(a3 (2)已知b=(2,1), 第2页共5页 17.(1)因为△ABC中， 18D6g-9 2 bcosC+ccos B=2 acosA,由正弦定理得 因为a=(2,,则a=2g+g, sin B cosC+sin Ccos B=2sin Acos A, 所以sin(B+C)=2 sinAcosA,即 则a-(V2E+e,)广=2E+2√2瓦，+e sinA=2sin AcosA, =2+2.9+15, 又4e00,s面A+0,则cosA-方所 所以园=√5. 以A (2)由a=(1,3),b=(3,1),得a=+3, (2)由余弦定理a=b+c2-2 bc cosA得 13=9+c2-6c0s5,即c2-3c-4=0, i=38+e,且ee,=1×1xcos=cosa, 3 所以 解得c=4(c=-1舍去)， a=日+3，)=g2+6e-e+,=10+6cosa 所以 S.ABC= Ibesin A=x3x4xsim=33: 2=(3g+e)=e+6e,e+e2-10+6cos& 2 2 (3) 则=5=V0+6cosa, sinC=sin (-4-)=sin(+B)=sin a.6=(+e)(e+e2) sin B+sin C-sin B+sin(+B =3g2+38+10e6,=6+10cosa, +2 =snB+9cosB+片sinB=mB+号cosB 因为a与6的夹角为学所以 m8+cw)店sm8合分 、π 6+10cosa 1 COS ab 83 可5 10+6cos2, 因为△ABC是锐角三角形，所以 0<B< 解得cos&=- 2-B<7 6 (3)依题意，设B(m,0)、C(0,n)（m>0, 0< 2 63 m(8+3s1, >0),且∠0c-子加=1. 2 所以s血B+血Cc号V o- 第3页共5页 因为F为BC的中点，则 所以m三万sin日，2/ 3 OF=OB+BF=OB+-BC &8n2+5n2-20 m(e9+号m0 =0丽+(0元-0B=0C+08- 321-cos20 2mei+nez, 3 2 3 2 因为E为BD中点，同理可得 2 1-cos20)+51+1c 8 o-00-o-喝+， 所以 oi.o=(（传m,+片e,)（派+品e） 11 ,p为锐角，且tanp= 55, =m+品re+(民m时w·可， 因为0<0<行，则-9<20-p<号-0， 4π 由题意知g=6,=1, 故当28-p=匹时，82+5r取最大值 Γ2 .π1 e1e2=12×cos= 3-2 0) 40 则o正o示+完r+(层m*月 761 则 =m+n2+岩， 0o丽.o-58m+5)-2格60g- 7619376228 在△OBC中，依据余弦定理得 m2+2-n=1,所以m=m2+n2-1, 19.(1) 代入上式得， D R C 死0示-02+高号824) 在△OBC中，由正弦定理得 EM B BC OB OC 过P作PE⊥AB,垂足为E,由题意可得： sin∠BCO sin∠COB, PE=3si日，AE=3c0s0, 设∠nc0=0,则sn∠C80=na+到) 所以PQ=AB-AE=t-3cos日， π PR=AD-PE=4-3sin0 且0<0<3 第4页共5页 所以矩形POCR的面积 当且仅当sin6+cos8= 3,即 0)-PR PQ-(4-3sin0)(-3cos0)(O0<2) sin+W-sim20-等，1-sim20-（-sin0)1 当t=6时， 2i0-m9+名=0，解得sin0=4+V2 9() 6 _(4-3si0)(6-3cos0)-9sim0c0s9+18sin6 或n0=42时，等号成立. 12 6 7 -sin20 所以f(O)的最小值是2当f(⊙)取得最 =24-12 cos0-18 sine+9sin e cos-9 sine cos+18 sine 小值时，所对应的si血8的值是4+V2或 6 -sin2 4-√5 =2-cos6-1-os0)=cos6-cs6+10s6≤ 6 令cos0=,因为8∈ ,所以u∈[0,1] 则函数y=2-u+1,其对称轴为u= 当u=0或1时yx1,所以(o)[居] 即函数g(θ)的值域为 料 (2)因为 ro-a3nou3ooj08s} 当t=4时， =16-12(sin 0+cos 0)+9 sin 0cos 0 -16-12(sin0+c0)+sin0+c-1) (sin@+cos 0)2-12(sin +cos 0+ (m0w0)好 第5页共5页