精品解析：上海市静安区市西初级中学2025-2026学年第二学期九年级阶段检测（二）数学试卷

2025学年第二学期九年级阶段检测（二） 数学试卷 （满分150分，时间100分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各式中，的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只需找到与相乘后积不含根号的选项． 【详解】解：∵两个含有根式的代数式相乘，若它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式． 又∵，结果不含根号，符合有理化因式的定义． 其余选项与相乘后，结果仍含有根号，不符合要求． 2. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式运算法则，根据同底数幂乘法、同类项合并规则、幂的乘方、同底数幂除法相关的法则逐一判断选项即可． 【详解】选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，选项A不符合题意． 选项B：∵与不是同类项，不能合并，∴，B不符合题意． 选项C：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴，C不符合题意． 选项D：∵同底数幂除法，底数不变，指数相减，∴ ，所以D正确． 3. 如果一个反比例函数的图像在它所在的每个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵该反比例函数在每个象限内，随的增大而减小， ∴， A、 ，符合要求； B 、 ，不符合要求； C 、 ，不符合要求； D 、反比例函数中，图像不经过原点，不符合 要求． 4. 某校为了解学生体育运动时间的情况，将调查所得的50个数据整理成下表： 体育运动时间（小时） 1.5 1.7 1.8 2 2.2 人数（人） 10 10 20 5 5 对于这组数据，下列判断中，正确的是（ ） A. 众数和平均数相等 B. 中位数和平均数相等 C. 中位数和众数相等 D. 中位数、众数和平均数都相等 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵运动时间为1.8小时的人数最多，为20人， ∴众数为； ∵总共有个数据，中位数是从小到大排列后第、个数据的平均数， 累计人数得前两组共个数据，第到个数据均为， ∴第、个数据都是，中位数为； ， 综上，众数，中位数，平均数，中位数和众数相等 ． 5. 已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（ ） A. 边数为6 B. 每个外角都等于 C. 边长与半径长的比为 D. 既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正多边形中心角和为求出正多边形边数，再结合正多边形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵该正多边形的中心角为， ∴边数， ∴该多边形为正六边形． A、边数为，结论正确，故选项不符合题意； B、正六边形每个外角为，结论正确，故选项不符合题意； C、∵正六边形可被中心与顶点的连线分为个全等的等边三角形，正多边形的半径为等边三角形的边长， ∴正六边形的边长等于半径，边长与半径的比为，结论错误，故选项符合题意； D、正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，结论正确，故选项不符合题意． 6. 在中，，，，点是边上一点，若以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的相交，且点在的内部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由勾股定理求出斜边的长度，设，分别根据点在内部、与相交的条件列出不等式，联立求解得到的取值范围． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得 ． 设，则 ，半径为，半径为． 由点在内部得 ，以点C为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，在上，作于点， ∵，， ∴ ∴，即 ∴ 化简整理得 ， 解得． 由与相交，根据两圆相交的条件得 ， 即 ， 解不等式 得； 当时，，解得， 此时的取值范围为， 即此时， 当时，，即， 此时无解， 综上可知，， 即． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 8. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】先通分将异分母分式化为同分母分式，再利用同分母分式减法法则计算，最后化简得到结果. 【详解】解：原式. 9. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】将原无理方程两边平方，转化为一元二次方程求解，再对所得根进行检验，舍去增根即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时平方得：， 整理为一元二次方程一般式得：， 因式分解得：， 解得 ，， 检验：将代入原方程，左边，右边，左边右边，是增根，舍去， 将代入原方程，左边，右边，左边右边，符合原方程． 故原方程的解为． 10. 请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是______． 【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，即可得到符合要求的的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得， 那么的值可以是：0（答案不唯一，满足即可）． 11. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数表达式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设，根据已知400度的近视眼镜镜片的焦距是，求出的值即可． 【详解】解：设， ∵400度的近视眼镜镜片的焦距是， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数表达式是：， 故答案为：． 12. 已知一次函数经过点且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设一次函数的表达式为，由随的增大而减小，则，图像经过点，可得的值，综合两者取值即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵图像经过点， ∴， ∵随的增大而减小 ∴， 即取负数，当时，函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，开放性试题，答案不唯一，满足条件即可． 13. 不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的个球，其中红色球有个，如果从布袋中任意摸出一个球恰好为红色球的概率是，那么________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据概率公式直接计算即可． 【详解】根据题意可得 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展“逐梦科技强国”为主题的活动，随机抽取了200名学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），整理后将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：，并将结果绘制成扇形统计图（如图所示）．如果该校学生共1200人，请估计全校模型设计成绩不低于80分的学生共有__________人． 【答案】 【解析】 【详解】解：， （人）， 故估计全校模型设计成绩不低于80分的学生共有人 ． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，如果，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的运算法则得到，，根据勾股定理求出，分别求出，，再求比值化简． 【详解】解：， ， 菱形的对角线相交于点， ，，，且， 在中，， 设，则， 由勾股定理可得， ，， 则． 16. 如图，，，与相交于点O，如果，，那么用、表示向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查向量的线性运算，相似的判定和性质；根据平行得到，根据相似的性质得到，再根据向量的三角形法则得到，即可求出． 【详解】解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 故答案为：． 17. 如图，已知正五边形的边长是1，连接、交于点F，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正五边形的性质证明以及，进而解题． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得， 解得（负值舍去）． 18. 如图，在中，，将绕点旋转，的对应点为点，连接交边于点．如果，那么的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论，构造，进而根据勾股定理得到的长度，即可求出结果． 本题考查了三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】解：由题可得： 过点作,过点作, ∵， ∴， ， , , , ∵， , , ,, , 由题可得： 过点作,过点作, ∵， ∴， ， , , , ∵， , , ,, , ． 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】通过分母有理化，负整数指数幂，绝对值的意义，分数指数幂化简，再合并即可． 【详解】解： ． 20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再求出公共部分，最后把解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式得，， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 21. 如图，在中，，． （1）试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使，点、、的对应点分别是点、、．（不必写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为顶点，为一边，作，与延长线交于点； （2）过点作于，根据等腰三角形三线合一得到，在中，由，结合勾股定理列方程即可求得的长，再根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得到的长，最后根据线段和差关系即可得解． 【小问1详解】 解：如图所示，作，与延长线交于点，即为所求； ，， ； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于， ， ， 设， 在中，， ， 根据勾股定理得，， 即， 解得或（负值，舍去）， 即， ， ， ，即， 解得， ． 22. 购物节期间，、两家网店分别推出了促销活动，店活动：当购买的商品总金额在元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过元，超过元的金额打折，店购物的实付总金额(元)与商品总金额(元)之间的函数关系如图所示；店活动：所有商品直接打七折． （1）当A店购买的商品总金额超过元时，求出与之间的函数解析式； （2）A店推出的促销活动中：________； （3）某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现店的单价要比店的单价贵元，如果购买相同数量的优盘，在店的实付总金额是元，而在店的实付总金额是元．请求出店这种型号优盘的单价． 【答案】（1） （2） （3）元 【解析】 【分析】（1）根据图象，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据图象可以求出的值； （3）先求出两个商店的商店金额，再作差，根据店的单价要比店的单价贵元，购买优盘的数量相同，得出两个商店商店总金额的差额即为购买的优盘数，再求出商店优盘单价即可． 【小问1详解】 据图象设当时，与之间的函数解析式为， 把，代入解析式得： ， 解得， ∴； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 在店购买：当时，， 解得， 商品总金额为元； 在店购买商品总金额为：元， 两个商店商品总金额的差为元， 店的单价要比店的单价贵元，购买优盘的数量相同， 店的单价为元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． 23. 如图，已知梯形中，，，对角线与交于点E，将沿着直线翻折得到（点D对应点F）． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果四边形是矩形，且，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先得到梯形是等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质以及折叠的性质，通过两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先根据比例线段证明，然后结合翻折，矩形的性质证明，即可求证． 【小问1详解】 证明：由翻折可得，， ∵梯形中，，， ∴梯形是等腰梯形，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，设， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和点，顶点为． （1）求此抛物线的对称轴及点的坐标； （2）抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线上横坐标为2的一点，与对称轴交于点，连接． ①求的值； ②设直线与轴交于点，过点作的平行线，与轴交于点，当四边形是直角梯形时，求的正切值． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线， （2）①1 ②或 【解析】 【分析】(1)根据对称轴公式代入化简即可求得对称轴；根据抛物线的对称性及点A的坐标即可求得点B的坐标； (2)①首先，根据题意得抛物线的顶点坐标，由点是抛物线上横坐标为2的一点，得点，再求得直线的表达式为，进而得点，得，，即可得出； ②首先，过P作轴于C，由，，得到，然后，分别求得直线的表达式为，得，直线的表达式为，得直线的表达式为，进而得，即，再分两种情况进行分类讨论，情况一：如图2，当时，，证得，得，即，解得，进而得；情况二：如图3，当时，，证得，得，即，解得， 进而得． 【小问1详解】 解：根据题意知抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于和点， ∴抛物线的开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在对称轴的右侧，设点，则，解得， ∴； 【小问2详解】 ①解：如图1， ∵抛物线与轴交于， ∴把，代入，得，得， ∴， ∴抛物线的顶点， ∵点是抛物线上横坐标为2的一点， ∴当时，， ∴点， 设直线的表达式为， 把，分别代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点， ∴，， ∴； ②解：过P作轴于C， ∵，， ∴， ∴． 设直线的表达式为，与y轴交于G， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 当时，，解得；当时，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴设直线的表达式为， 把代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴，即． 情况一：如图2，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴； 情况二：如图3，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴； 综上，当四边形是直角梯形时，求的正切值为或． 【点睛】解题的关键是得到，分别求得直线的表达式为，得，直线的表达式为，直线的表达式为，得，即，再分两种情况进行分类讨论，情况一：如图2，当时，，证得；情况二：如图3，当时，，证得． 25. 如图，已知半圆O的直径为，点A在半径上，B为弧的中点，点C在弧上，以为邻边作矩形，边交于点E． （1）如果，，求边的长； （2）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数； （3）联结并延长，交于点P，如果，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，过点O作于点H，根据题意可得，再由勾股定理可得的长，根据，可得，从而得到的长，即可求解； （2）连接，设，则，，在中，，从而得到，， ，然后两种情况：当时，，当时，，即可求解； （3）证明，可得，设，则，根据，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：连接，过点O作于点H， ∵B为弧的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， ， 当时，， 此时， 解得：； ∴， ∵， ∴； 当时，， 此时，不存在； 综上所述，； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级阶段检测（二） 数学试卷 （满分150分，时间100分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各式中，的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个反比例函数的图像在它所在的每个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 某校为了解学生体育运动时间的情况，将调查所得的50个数据整理成下表： 体育运动时间（小时） 1.5 1.7 1.8 2 2.2 人数（人） 10 10 20 5 5 对于这组数据，下列判断中，正确的是（ ） A. 众数和平均数相等 B. 中位数和平均数相等 C. 中位数和众数相等 D. 中位数、众数和平均数都相等 5. 已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（ ） A. 边数为6 B. 每个外角都等于 C. 边长与半径长的比为 D. 既是轴对称图形也是中心对称图形 6. 在中，，，，点是边上一点，若以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的相交，且点在的内部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解：________． 8. 计算：________． 9. 方程的解为________． 10. 请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是______． 11. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数表达式是_______． 12. 已知一次函数经过点且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：_______． 13. 不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的个球，其中红色球有个，如果从布袋中任意摸出一个球恰好为红色球的概率是，那么________． 14. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展“逐梦科技强国”为主题的活动，随机抽取了200名学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），整理后将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：，并将结果绘制成扇形统计图（如图所示）．如果该校学生共1200人，请估计全校模型设计成绩不低于80分的学生共有__________人． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，如果，那么的值为________． 16. 如图，，，与相交于点O，如果，，那么用、表示向量是______． 17. 如图，已知正五边形的边长是1，连接、交于点F，那么的长是________． 18. 如图，在中，，将绕点旋转，的对应点为点，连接交边于点．如果，那么的长为_______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 21. 如图，在中，，． （1）试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使，点、、的对应点分别是点、、．（不必写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求线段的长． 22. 购物节期间，、两家网店分别推出了促销活动，店活动：当购买的商品总金额在元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过元，超过元的金额打折，店购物的实付总金额(元)与商品总金额(元)之间的函数关系如图所示；店活动：所有商品直接打七折． （1）当A店购买的商品总金额超过元时，求出与之间的函数解析式； （2）A店推出的促销活动中：________； （3）某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现店的单价要比店的单价贵元，如果购买相同数量的优盘，在店的实付总金额是元，而在店的实付总金额是元．请求出店这种型号优盘的单价． 23. 如图，已知梯形中，，，对角线与交于点E，将沿着直线翻折得到（点D对应点F）． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果四边形是矩形，且，求证：． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和点，顶点为． （1）求此抛物线的对称轴及点的坐标； （2）抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线上横坐标为2的一点，与对称轴交于点，连接． ①求的值； ②设直线与轴交于点，过点作的平行线，与轴交于点，当四边形是直角梯形时，求的正切值． 25. 如图，已知半圆O的直径为，点A在半径上，B为弧的中点，点C在弧上，以为邻边作矩形，边交于点E． （1）如果，，求边的长； （2）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数； （3）联结并延长，交于点P，如果，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $